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四、解答题
11.在三个整式$x^2 + 2xy, y^2 + 2xy, x^2$中,请你任意选出两个进行加(或减)运算,使所得整式可以分解因式,并分解因式。
11.在三个整式$x^2 + 2xy, y^2 + 2xy, x^2$中,请你任意选出两个进行加(或减)运算,使所得整式可以分解因式,并分解因式。
答案
11. 解:$(x^2+2xy)+x^2=2x^2+2xy=2x(x+y)$;或$(y^2+2xy)+x^2=(x+y)^2$;或$(x^2+2xy)-(y^2+2xy)=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$;或$(y^2+2xy)-(x^2+2xy)=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$。
解析
【分析】
本题是开放性题目，解题思路可分为三步：①先从给出的三个整式中任选两个；②对选出的两个整式做加法或减法运算，合并同类项得到最简整式；③判断所得整式是否可以因式分解，若可以，用八年级所学的提公因式法或公式法（完全平方公式、平方差公式）完成因式分解即可，满足要求的结果均正确。
【解析】
以下是几种符合要求的运算及因式分解过程：
1. 选$x^2 + 2xy$和$x^2$相加：
$\begin{aligned}(x^2+2xy)+x^2&=2x^2+2xy\\&=2x(x+y)\end{aligned}$
2. 选$y^2 + 2xy$和$x^2$相加：
$\begin{aligned}(y^2+2xy)+x^2&=x^2+2xy+y^2\\&=(x+y)^2\end{aligned}$
3. 选$x^2 + 2xy$和$y^2 + 2xy$相减：
$\begin{aligned}(x^2+2xy)-(y^2+2xy)&=x^2-y^2\\&=(x+y)(x-y)\end{aligned}$
4. 选$y^2 + 2xy$和$x^2 + 2xy$相减：
$\begin{aligned}(y^2+2xy)-(x^2+2xy)&=y^2-x^2\\&=(y+x)(y-x)\end{aligned}$
（写出任意一种即可）
【答案】
$(x^2+2xy)+x^2=2x^2+2xy=2x(x+y)$；或$(y^2+2xy)+x^2=(x+y)^2$；或$(x^2+2xy)-(y^2+2xy)=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$；或$(y^2+2xy)-(x^2+2xy)=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$（答案不唯一）
【知识点】
整式的加减、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题属于开放性基础题，答案不唯一，主要考查整式加减运算规则和因式分解方法的应用，熟练掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式的结构特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是开放性题目，解题思路可分为三步：①先从给出的三个整式中任选两个；②对选出的两个整式做加法或减法运算，合并同类项得到最简整式；③判断所得整式是否可以因式分解，若可以，用八年级所学的提公因式法或公式法（完全平方公式、平方差公式）完成因式分解即可，满足要求的结果均正确。
【解析】
以下是几种符合要求的运算及因式分解过程：
1. 选$x^2 + 2xy$和$x^2$相加：
$\begin{aligned}(x^2+2xy)+x^2&=2x^2+2xy\\&=2x(x+y)\end{aligned}$
2. 选$y^2 + 2xy$和$x^2$相加：
$\begin{aligned}(y^2+2xy)+x^2&=x^2+2xy+y^2\\&=(x+y)^2\end{aligned}$
3. 选$x^2 + 2xy$和$y^2 + 2xy$相减：
$\begin{aligned}(x^2+2xy)-(y^2+2xy)&=x^2-y^2\\&=(x+y)(x-y)\end{aligned}$
4. 选$y^2 + 2xy$和$x^2 + 2xy$相减：
$\begin{aligned}(y^2+2xy)-(x^2+2xy)&=y^2-x^2\\&=(y+x)(y-x)\end{aligned}$
（写出任意一种即可）
【答案】
$(x^2+2xy)+x^2=2x^2+2xy=2x(x+y)$；或$(y^2+2xy)+x^2=(x+y)^2$；或$(x^2+2xy)-(y^2+2xy)=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$；或$(y^2+2xy)-(x^2+2xy)=y^2-x^2=(y+x)(y-x)$（答案不唯一）
【知识点】
整式的加减、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题属于开放性基础题，答案不唯一，主要考查整式加减运算规则和因式分解方法的应用，熟练掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式的结构特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
12.如图,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上的一点,连接AC,CE使AB=AC。
(1)求证:△BDA≌△AEC;
(2)若∠B=30°,∠ADC=60°,BD=10,求□ABDE的面积。
(1)求证:△BDA≌△AEC;
(2)若∠B=30°,∠ADC=60°,BD=10,求□ABDE的面积。
答案
12. (1)证明$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ ACB$。
又$\because$ 四边形ABDE是平行四边形，$\therefore AE// BD,AE=BD$
$\therefore ∠ ACB=∠ CAE=∠ B,\therefore △ BDA≌△ AEC(SAS)$。
(2)解:过点A作$AG⊥ BC$,垂足为G。$\because ∠ B=30°,∠ ADC=60°,\therefore ∠ BAD=30°,\therefore AD=BD=10$。
在$\mathrm{Rt}△ AGD$中,$\because ∠ ADC=60°$,
$\therefore ∠ DAG=30°,DG=5,AG=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3},\therefore S_{□ ABDE}=BD· AG=10×5\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
又$\because$ 四边形ABDE是平行四边形，$\therefore AE// BD,AE=BD$
$\therefore ∠ ACB=∠ CAE=∠ B,\therefore △ BDA≌△ AEC(SAS)$。
(2)解:过点A作$AG⊥ BC$,垂足为G。$\because ∠ B=30°,∠ ADC=60°,\therefore ∠ BAD=30°,\therefore AD=BD=10$。
在$\mathrm{Rt}△ AGD$中,$\because ∠ ADC=60°$,
$\therefore ∠ DAG=30°,DG=5,AG=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3},\therefore S_{□ ABDE}=BD· AG=10×5\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1)要证明△BDA≌△AEC，先梳理已知条件：已知AB=AC，四边形ABDE是平行四边形，可得AE与BD平行且相等。首先由等腰三角形等边对等角得∠B=∠ACB，再由平行线内错角相等得∠ACB=∠CAE，从而得到夹角∠B=∠CAE，结合AB=AC、BD=AE，即可用SAS判定全等。
(2)求平行四边形ABDE的面积，根据公式S=底×高，已知底BD=10，只需求出BD边上的高。过A作AG⊥BC为高，先利用三角形外角性质，由∠ADC=∠B+∠BAD算出∠BAD=30°，得AD=BD=10，再在Rt△AGD中利用30°直角三角形的性质和勾股定理算出AG的长度，代入面积公式即可求解。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE//BD，AE=BD，
∴∠ACB=∠CAE，
∴∠B=∠CAE。
在△BDA和△AEC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ B=∠ CAE\\ BD=AE\end{array} $
∴△BDA≌△AEC（SAS）。
(2)解：过点A作AG⊥BC，垂足为G。
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
已知∠B=30°，∠ADC=60°，
∴∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=10。
在Rt△AGD中，∠ADC=60°，
∴∠DAG=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$AD=5，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{AD^2-DG^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
平行四边形ABDE的面积为底BD乘高AG，即$S_{□ABDE}=BD·AG=10×5\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
【答案】
(1)△BDA≌△AEC得证；(2)$50\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；含特殊角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，第一问结合等腰三角形和平行四边形的性质推导边角相等即可证明全等；第二问需要通过角度关系推导边的等量关系，再结合直角三角形的性质计算高，整体考察学生的几何推理能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△BDA≌△AEC，先梳理已知条件：已知AB=AC，四边形ABDE是平行四边形，可得AE与BD平行且相等。首先由等腰三角形等边对等角得∠B=∠ACB，再由平行线内错角相等得∠ACB=∠CAE，从而得到夹角∠B=∠CAE，结合AB=AC、BD=AE，即可用SAS判定全等。
(2)求平行四边形ABDE的面积，根据公式S=底×高，已知底BD=10，只需求出BD边上的高。过A作AG⊥BC为高，先利用三角形外角性质，由∠ADC=∠B+∠BAD算出∠BAD=30°，得AD=BD=10，再在Rt△AGD中利用30°直角三角形的性质和勾股定理算出AG的长度，代入面积公式即可求解。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE//BD，AE=BD，
∴∠ACB=∠CAE，
∴∠B=∠CAE。
在△BDA和△AEC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ B=∠ CAE\\ BD=AE\end{array} $
∴△BDA≌△AEC（SAS）。
(2)解：过点A作AG⊥BC，垂足为G。
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
已知∠B=30°，∠ADC=60°，
∴∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=10。
在Rt△AGD中，∠ADC=60°，
∴∠DAG=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$AD=5，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{AD^2-DG^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
平行四边形ABDE的面积为底BD乘高AG，即$S_{□ABDE}=BD·AG=10×5\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
【答案】
(1)△BDA≌△AEC得证；(2)$50\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；含特殊角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，第一问结合等腰三角形和平行四边形的性质推导边角相等即可证明全等；第二问需要通过角度关系推导边的等量关系，再结合直角三角形的性质计算高，整体考察学生的几何推理能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
