8.某文具店计划购进甲、乙两种不锈钢圆规80个，进货总价不小于382元但不超过384元，两种圆规的进价和售价如下表。
| | 甲 | 乙 |
| --- | --- | --- |
| 进价/(元/个) | | 5 |
| 售价/(元/个) | $a(a＞4)$ | 7 |
(1)该文具店对甲、乙两种圆规有哪几种进货方案？
(2)在全部可销售完的情况下，针对a的不同取值，选择怎样的进货方案所获利润最大？

8.解:(1)设甲种圆规进$x$个,则有$\begin{cases}4x+5(80-x)≤384 \\4x+5(80-x)≥382\end{cases}$,解得$16≤x≤18$。
$\therefore x=16,17,18$ 共有三种购货方案。
(2)设所获利润为$y$,则$y=(a-4)x+2(80-x)=(a-6)x+160$。
当$4＜a＜6$时,$x=16$,$y$最大;当$a=6$时,三种方案获利一样大;当$a＞6$时,$x=18$时,$y$最大。

【分析】
(1) 要确定进货方案，先设购进甲种圆规的数量为x个，乙种圆规数量就为(80-x)个，结合进货总价的上下限列出一元一次不等式组，解出x的取值范围后取正整数解，即可得到所有进货方案。
(2) 先根据“总利润=单个利润×销量”列出总利润关于x的函数表达式，再根据一次函数的增减性，分情况讨论参数a的取值对利润最大值的影响，对应选出最优进货方案。
【解析】
(1) 设购进甲种圆规x个，则购进乙种圆规(80-x)个，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}4x+5(80-x) ≤ 384 \\4x+5(80-x) ≥ 382\end{cases}$
解不等式①：$4x+400-5x ≤ 384$，化简得$-x ≤ -16$，即$x ≥ 16$；
解不等式②：$4x+400-5x ≥ 382$，化简得$-x ≥ -18$，即$x ≤ 18$；
因此x的取值范围为$16 ≤ x ≤ 18$，x为正整数，故x可取16、17、18，对应三种进货方案：
方案1：购进甲16个，乙64个；
方案2：购进甲17个，乙63个；
方案3：购进甲18个，乙62个。
(2) 设总利润为y元，甲单个利润为$(a-4)$元，乙单个利润为$7-5=2$元，因此：
$\begin{aligned}y&=(a-4)x + 2(80-x)\\&=(a-6)x + 160\end{aligned}$
结合一次函数增减性分类讨论：
① 当$4 ＜ a ＜ 6$时，$a-6 ＜ 0$，y随x的增大而减小，因此x取最小值16时y最大，即选购进甲16个、乙64个的方案利润最大；
② 当$a=6$时，$a-6=0$，$y=160$，三种方案获利相等；
③ 当$a ＞ 6$时，$a-6 ＞ 0$，y随x的增大而增大，因此x取最大值18时y最大，即选购进甲18个、乙62个的方案利润最大。
【答案】
(1) 共有3种进货方案：①购进甲16个，乙64个；②购进甲17个，乙63个；③购进甲18个，乙62个。
(2) 当$4 ＜ a ＜ 6$时，购进甲16个、乙64个获利最大；当$a=6$时，三种方案获利相同；当$a ＞ 6$时，购进甲18个、乙62个获利最大。
【知识点】
一元一次不等式组应用、一次函数性质、方案优化
【点评】
本题属于常见的经济类实际应用题，结合了不等式组求方案、一次函数性质求最值两个考点，需要对参数进行分类讨论，能够很好地锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

9.如图，E,F是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF=CE，DF=BE，DF//BE。求证:(1)$△ AFD ≌ △ CEB$；(2)四边形ABCD是平行四边形。

9.证明:(1)$\because DF// BE,\therefore ∠DFE=∠BEF$。又$\because AF=CE,DF=BE,\therefore △AFD≌△CEB(SAS)$。
(2)由(1)知$△AFD≌△CEB$。$\therefore ∠DAC=∠BCA,AD=BC,\therefore AD// BC$。
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。

【分析】
(1) 要证△AFD≌△CEB，已知两组边对应相等：AF=CE、DF=BE，只需证明两边的夹角相等即可。由DF//BE，根据平行线的内错角相等可推出两边的夹角∠AFD=∠CEB，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要证四边形ABCD是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等推导。由(1)的全等结论可得AD=BC，且对应角∠DAC=∠BCA，由内错角相等可推出AD//BC，一组对边平行且相等即可判定为平行四边形。
【解析】
(1) 证明：$\because DF// BE$，$\therefore ∠DFE=∠BEF$。
又$\because AF=CE$，$DF=BE$，
$\therefore △AFD≌△CEB(\mathrm{SAS})$。
(2) 由(1)知$△AFD≌△CEB$，
$\therefore ∠DAC=∠BCA$，$AD=BC$，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) $△ AFD ≌ △ CEB$，证明成立；
(2) 四边形$ABCD$是平行四边形，证明成立。
（证明过程同解析）
【知识点】
全等三角形判定、平行线性质、平行四边形判定
【点评】
本题是全等三角形与平行四边形结合的基础典型题，逻辑链条清晰，解题关键是先通过平行线性质得到等角证全等，再借助全等的性质推导边、角关系判定平行四边形。
【难度系数】
0.7