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22.(8分)如图,点C在∠MON的一边OM上,过点C的直线AB//ON,CD平分∠OCB,CE⊥CD。
(1)若∠O=40°,求∠BCD的度数。
(2)求证:CE平分∠OCA。
(1)若∠O=40°,求∠BCD的度数。
(2)求证:CE平分∠OCA。
答案
22.(1)因为$AB// ON$,$∠ O=40°$,所以$∠ OCB=180°-∠ O=140°$。因为$CD$平分$∠ OCB$,所以$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ OCB=70°$。
(2)因为$CE⊥ CD$,所以$∠ OCE+∠ DCO=90°$。因为$∠ ACB=180°$,所以$∠ ECA+∠ DCB=90°$。因为$CD$平分$∠ OCB$,所以$∠ DCB=∠ DCO$。所以$∠ ACE=∠ ECO$。所以$CE$平分$∠ OCA$。
(2)因为$CE⊥ CD$,所以$∠ OCE+∠ DCO=90°$。因为$∠ ACB=180°$,所以$∠ ECA+∠ DCB=90°$。因为$CD$平分$∠ OCB$,所以$∠ DCB=∠ DCO$。所以$∠ ACE=∠ ECO$。所以$CE$平分$∠ OCA$。
解析
【分析】
第(1)问，已知AB与ON平行，根据平行线同旁内角互补的性质，先求出∠OCB的度数，再利用角平分线的定义即可算出∠BCD；第(2)问，由CE垂直CD可得直角，结合平角为180°，推出相关角的和为90°，再结合CD平分∠OCB的条件，通过等角的余角相等，就能证明CE平分∠OCA。
【解析】
(1) 因为AB//ON，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠O + ∠OCB = 180°。已知∠O=40°，代入得∠OCB=180°-40°=140°。又因为CD平分∠OCB，根据角平分线的定义，∠BCD = $\frac{1}{2}$∠OCB = $\frac{1}{2}$×140°=70°。
(2) 证明：因为CE⊥CD，所以∠ECD=90°，即∠OCE + ∠DCO = 90°。又因为∠ACB为平角，所以∠ECA + ∠DCB + ∠ECD = 180°，代入∠ECD=90°，得∠ECA + ∠DCB = 90°。因为CD平分∠OCB，所以∠DCB=∠DCO。根据等角的余角相等，可得∠ACE=∠ECO，因此CE平分∠OCA。
【答案】
(1) ∠BCD=70°；(2) CE平分∠OCA，证明成立。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质
【点评】
本题是基础几何题，考查平行线性质、角平分线定义及等角的余角相等的应用，需熟练掌握相关几何定理，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问，已知AB与ON平行，根据平行线同旁内角互补的性质，先求出∠OCB的度数，再利用角平分线的定义即可算出∠BCD；第(2)问，由CE垂直CD可得直角，结合平角为180°，推出相关角的和为90°，再结合CD平分∠OCB的条件，通过等角的余角相等，就能证明CE平分∠OCA。
【解析】
(1) 因为AB//ON，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠O + ∠OCB = 180°。已知∠O=40°，代入得∠OCB=180°-40°=140°。又因为CD平分∠OCB，根据角平分线的定义，∠BCD = $\frac{1}{2}$∠OCB = $\frac{1}{2}$×140°=70°。
(2) 证明：因为CE⊥CD，所以∠ECD=90°，即∠OCE + ∠DCO = 90°。又因为∠ACB为平角，所以∠ECA + ∠DCB + ∠ECD = 180°，代入∠ECD=90°，得∠ECA + ∠DCB = 90°。因为CD平分∠OCB，所以∠DCB=∠DCO。根据等角的余角相等，可得∠ACE=∠ECO，因此CE平分∠OCA。
【答案】
(1) ∠BCD=70°；(2) CE平分∠OCA，证明成立。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质
【点评】
本题是基础几何题，考查平行线性质、角平分线定义及等角的余角相等的应用，需熟练掌握相关几何定理，难度适中。
【难度系数】
0.6
23.(10分)根据以下素材,完成任务。
答案
23. 任务一:根据题意得$\frac{18000}{5x}-\frac{7200}{6x}=160$,解得$x=15$,经检验,$x=15$是所列方程的解,且符合题意。所以$x$的值为15。
任务二:设$C$公司有$m$人,$D$公司有$n$人。因为$17850÷85=210$(人),$210＞200$,所以$m+n＞200$。当$100＜m≤200$时,$\begin{cases}85m+6×15n=18270,\\5×15(m+n)=17850,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=630,\\n=-392\end{cases}$(不符合题意,舍去);当$m＞200$时,$\begin{cases}5×15m+6×15n=18270,\\5×15(m+n)=17850,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=210,\\n=28。\end{cases}$所以$C$公司有210人,$D$公司有28人。
任务二:设$C$公司有$m$人,$D$公司有$n$人。因为$17850÷85=210$(人),$210＞200$,所以$m+n＞200$。当$100＜m≤200$时,$\begin{cases}85m+6×15n=18270,\\5×15(m+n)=17850,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=630,\\n=-392\end{cases}$(不符合题意,舍去);当$m＞200$时,$\begin{cases}5×15m+6×15n=18270,\\5×15(m+n)=17850,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=210,\\n=28。\end{cases}$所以$C$公司有210人,$D$公司有28人。
解析
【分析】
任务一：根据素材，A公司人数小于100，收费标准为6x元/人，花费7200元，可表示A公司人数；B公司人数大于200，收费标准为5x元/人，花费18000元，可表示B公司人数；结合“A公司比B公司少160人”的条件，列一元一次方程求解x。
任务二：先计算C、D联合组团的总人数，结合x的值和收费标准确定总人数；再根据C（人数＞100）、D（人数＜100）的人数范围，分两种情况讨论C的收费标准，列二元一次方程组求解，舍去不符合实际的解，得到C、D公司的人数。
【解析】
任务一：
由题意，A公司人数为$\frac{7200}{6x}$，B公司人数为$\frac{18000}{5x}$，因为A公司比B公司少160人，所以列方程：
$\frac{18000}{5x} - \frac{7200}{6x} = 160$
化简得：$\frac{3600}{x} - \frac{1200}{x} = 160$，即$\frac{2400}{x}=160$，解得$x=15$。
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合题意。因此$x$的值为15。
任务二：
先计算C、D联合组团的总人数：因为$x=15$，当人数＞200时，收费标准为$5x=75$元/人，总花费17850元，所以总人数为$17850÷75=238$人，设C公司有$m$人，D公司有$n$人，则$m+n=238$（$m＞100$，$n＜100$）。
分情况讨论：
① 当$100＜m≤200$时，C公司收费标准为85元/人，D公司收费标准为$6x=90$元/人，列方程组：
$\begin{cases}85m + 90n = 18270 \\ m + n = 238\end{cases}$
将$n=238 - m$代入第一个方程，解得$m=630$，此时$n=-392$，人数为负，不符合题意，舍去。
② 当$m＞200$时，C公司收费标准为$5x=75$元/人，D公司收费标准为90元/人，列方程组：
$\begin{cases}75m + 90n = 18270 \\ m + n = 238\end{cases}$
将$n=238 - m$代入第一个方程，解得$m=210$，此时$n=28$，符合题意。
因此，C公司有210人，D公司有28人。
【答案】
$x=15$；C公司210人，D公司28人
【知识点】
一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；分类讨论思想
【点评】
本题为实际应用类问题，需结合人数范围确定对应收费标准，通过方程（组）解决问题，分类讨论是解题关键，考查学生的逻辑分析与运算能力。
【难度系数】
0.5
任务一：根据素材，A公司人数小于100，收费标准为6x元/人，花费7200元，可表示A公司人数；B公司人数大于200，收费标准为5x元/人，花费18000元，可表示B公司人数；结合“A公司比B公司少160人”的条件，列一元一次方程求解x。
任务二：先计算C、D联合组团的总人数，结合x的值和收费标准确定总人数；再根据C（人数＞100）、D（人数＜100）的人数范围，分两种情况讨论C的收费标准，列二元一次方程组求解，舍去不符合实际的解，得到C、D公司的人数。
【解析】
任务一：
由题意，A公司人数为$\frac{7200}{6x}$，B公司人数为$\frac{18000}{5x}$，因为A公司比B公司少160人，所以列方程：
$\frac{18000}{5x} - \frac{7200}{6x} = 160$
化简得：$\frac{3600}{x} - \frac{1200}{x} = 160$，即$\frac{2400}{x}=160$，解得$x=15$。
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合题意。因此$x$的值为15。
任务二：
先计算C、D联合组团的总人数：因为$x=15$，当人数＞200时，收费标准为$5x=75$元/人，总花费17850元，所以总人数为$17850÷75=238$人，设C公司有$m$人，D公司有$n$人，则$m+n=238$（$m＞100$，$n＜100$）。
分情况讨论：
① 当$100＜m≤200$时，C公司收费标准为85元/人，D公司收费标准为$6x=90$元/人，列方程组：
$\begin{cases}85m + 90n = 18270 \\ m + n = 238\end{cases}$
将$n=238 - m$代入第一个方程，解得$m=630$，此时$n=-392$，人数为负，不符合题意，舍去。
② 当$m＞200$时，C公司收费标准为$5x=75$元/人，D公司收费标准为90元/人，列方程组：
$\begin{cases}75m + 90n = 18270 \\ m + n = 238\end{cases}$
将$n=238 - m$代入第一个方程，解得$m=210$，此时$n=28$，符合题意。
因此，C公司有210人，D公司有28人。
【答案】
$x=15$；C公司210人，D公司28人
【知识点】
一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用；分类讨论思想
【点评】
本题为实际应用类问题，需结合人数范围确定对应收费标准，通过方程（组）解决问题，分类讨论是解题关键，考查学生的逻辑分析与运算能力。
【难度系数】
0.5
