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24.(12分)一般情况下,一个分式通过适当的变形,可以化成一个整式和一个分子为整数的分式的和的形式,例如:
①$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$;
②$\frac{x^2}{x-2}=\frac{x^2-4+4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)+4}{x-2}=(x+2)+\frac{4}{x-2}$;
③$\frac{x^3}{x-1}=\frac{x^3-x^2+x^2}{x-1}=x^2+\frac{x^2}{x-1}=\dots\dots$
(1)仿照上述方法,试将分式$\frac{x+7}{x+3},\frac{2x^2-1}{x+1}$化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式。
(2)仿照上述方法,把$\frac{x^3}{x+3}$化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式。
(3)已知$x,y$均为正整数,$M=\frac{x}{x-5},N=\frac{7y}{7y-5}$,且$M,N$均为正数。若$M+N=3$,请求出$x,y$的值。
①$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$;
②$\frac{x^2}{x-2}=\frac{x^2-4+4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)+4}{x-2}=(x+2)+\frac{4}{x-2}$;
③$\frac{x^3}{x-1}=\frac{x^3-x^2+x^2}{x-1}=x^2+\frac{x^2}{x-1}=\dots\dots$
(1)仿照上述方法,试将分式$\frac{x+7}{x+3},\frac{2x^2-1}{x+1}$化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式。
(2)仿照上述方法,把$\frac{x^3}{x+3}$化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式。
(3)已知$x,y$均为正整数,$M=\frac{x}{x-5},N=\frac{7y}{7y-5}$,且$M,N$均为正数。若$M+N=3$,请求出$x,y$的值。
答案
24.(1)$\frac{x+7}{x+3}=\frac{x+3+4}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$;$\frac{2x^2-1}{x+1}=\frac{2x^2-2+1}{x+1}=\frac{2(x+1)(x-1)+1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$。
(2)$\frac{x^3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2-3x^2}{x+3}=\frac{x^2(x+3)-3x^2+27-27}{x+3}=x^2+\frac{-3(x+3)(x-3)-27}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$。
(3)因为$M=\frac{x}{x-5}=\frac{x-5+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$,$N=\frac{7y}{7y-5}=\frac{7y-5+5}{7y-5}=1+\frac{5}{7y-5}$,$M+N=3$,所以$1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{5}{7y-5}=3$,即$\frac{5}{x-5}+\frac{5}{7y-5}=1$。令$x-5=a$,$7y-5=b$,所以$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=1$。所以$ab-5a-5b=0$。所以$ab-5a-5b+25=25$。所以$(ab-5a)-(5b-25)=25$。所以$a(b-5)-5(b-5)=25$。所以$(a-5)(b-5)=25$。
因为$M,N$均为正数,$x,y$均为正整数,所以$a,b$为正整数。所以$\begin{cases}a-5=1,\\b-5=25\end{cases}$或$\begin{cases}a-5=5,\\b-5=5\end{cases}$或$\begin{cases}a-5=25,\\b-5=1。\end{cases}$
所以$\begin{cases}a=6,\\b=30\end{cases}$或$\begin{cases}a=10,\\b=10,\end{cases}$(此时$y=\frac{15}{7}$,舍去)或$\begin{cases}a=30,\\b=6,\end{cases}$(此时$y=\frac{11}{7}$,舍去)。
所以$x=11$,$y=5$,经检验,符合题意。
(2)$\frac{x^3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2-3x^2}{x+3}=\frac{x^2(x+3)-3x^2+27-27}{x+3}=x^2+\frac{-3(x+3)(x-3)-27}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$。
(3)因为$M=\frac{x}{x-5}=\frac{x-5+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$,$N=\frac{7y}{7y-5}=\frac{7y-5+5}{7y-5}=1+\frac{5}{7y-5}$,$M+N=3$,所以$1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{5}{7y-5}=3$,即$\frac{5}{x-5}+\frac{5}{7y-5}=1$。令$x-5=a$,$7y-5=b$,所以$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=1$。所以$ab-5a-5b=0$。所以$ab-5a-5b+25=25$。所以$(ab-5a)-(5b-25)=25$。所以$a(b-5)-5(b-5)=25$。所以$(a-5)(b-5)=25$。
因为$M,N$均为正数,$x,y$均为正整数,所以$a,b$为正整数。所以$\begin{cases}a-5=1,\\b-5=25\end{cases}$或$\begin{cases}a-5=5,\\b-5=5\end{cases}$或$\begin{cases}a-5=25,\\b-5=1。\end{cases}$
所以$\begin{cases}a=6,\\b=30\end{cases}$或$\begin{cases}a=10,\\b=10,\end{cases}$(此时$y=\frac{15}{7}$,舍去)或$\begin{cases}a=30,\\b=6,\end{cases}$(此时$y=\frac{11}{7}$,舍去)。
所以$x=11$,$y=5$,经检验,符合题意。
解析
【分析】
本题围绕分式的变形展开，解题思路如下：1. 前两小问需仿照题目示例，将分式分子拆分为“分母的整式倍+常数”的形式，利用分式加法法则拆分，得到“整式+分子为整数的分式”的形式；2. 第三小问先变形M、N，通过换元简化等式，结合整数性质分解因数，再根据x、y为正整数的条件筛选解。
【解析】
(1) 对$\frac{x+7}{x+3}$变形：
$\frac{x+7}{x+3}=\frac{(x+3)+4}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}+\frac{4}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$；
对$\frac{2x^2-1}{x+1}$变形：
$\frac{2x^2-1}{x+1}=\frac{2x^2-2+1}{x+1}=\frac{2(x^2-1)+1}{x+1}=\frac{2(x+1)(x-1)+1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$；
(2) 对$\frac{x^3}{x+3}$变形：
$\frac{x^3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2-3x^2}{x+3}=x^2+\frac{-3x^2}{x+3}$，
$\frac{-3x^2}{x+3}=\frac{-3(x^2-9)-27}{x+3}=\frac{-3(x+1)(x-3)-27}{x+3}=-3x+9-\frac{27}{x+3}$，
故$\frac{x^3}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$；
(3) 先变形M、N：
$M=\frac{x}{x-5}=\frac{(x-5)+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$，
$N=\frac{7y}{7y-5}=\frac{(7y-5)+5}{7y-5}=1+\frac{5}{7y-5}$，
由$M+N=3$得：$1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{5}{7y-5}=3$，化简为$\frac{5}{x-5}+\frac{5}{7y-5}=1$；
令$a=x-5$，$b=7y-5$，则$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=1$，整理得$(a-5)(b-5)=25$；
因x、y为正整数，故a、b为正整数，25的正整数因数对为(1,25)、(5,5)、(25,1)；
当$a-5=1$，$b-5=25$时，$a=6$，$b=30$，得$x=11$，$y=5$，符合题意；
当$a-5=5$，$b-5=5$时，$y=\frac{15}{7}$，非整数，舍去；
当$a-5=25$，$b-5=1$时，$y=\frac{11}{7}$，非整数，舍去；
故$x=11$，$y=5$。
【答案】
(1) $\frac{x+7}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$，$\frac{2x^2-1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$；
(2) $\frac{x^3}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$；
(3) $x=11$，$y=5$
【知识点】
分式的变形、整式与分式的和、整数因数分解
【点评】
本题是分式变形的拓展应用，通过模仿示例考查代数变形能力，第三问结合换元与整数分解，需具备综合分析能力，难度适中，能有效考查代数运算与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
本题围绕分式的变形展开，解题思路如下：1. 前两小问需仿照题目示例，将分式分子拆分为“分母的整式倍+常数”的形式，利用分式加法法则拆分，得到“整式+分子为整数的分式”的形式；2. 第三小问先变形M、N，通过换元简化等式，结合整数性质分解因数，再根据x、y为正整数的条件筛选解。
【解析】
(1) 对$\frac{x+7}{x+3}$变形：
$\frac{x+7}{x+3}=\frac{(x+3)+4}{x+3}=\frac{x+3}{x+3}+\frac{4}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$；
对$\frac{2x^2-1}{x+1}$变形：
$\frac{2x^2-1}{x+1}=\frac{2x^2-2+1}{x+1}=\frac{2(x^2-1)+1}{x+1}=\frac{2(x+1)(x-1)+1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$；
(2) 对$\frac{x^3}{x+3}$变形：
$\frac{x^3}{x+3}=\frac{x^3+3x^2-3x^2}{x+3}=x^2+\frac{-3x^2}{x+3}$，
$\frac{-3x^2}{x+3}=\frac{-3(x^2-9)-27}{x+3}=\frac{-3(x+1)(x-3)-27}{x+3}=-3x+9-\frac{27}{x+3}$，
故$\frac{x^3}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$；
(3) 先变形M、N：
$M=\frac{x}{x-5}=\frac{(x-5)+5}{x-5}=1+\frac{5}{x-5}$，
$N=\frac{7y}{7y-5}=\frac{(7y-5)+5}{7y-5}=1+\frac{5}{7y-5}$，
由$M+N=3$得：$1+\frac{5}{x-5}+1+\frac{5}{7y-5}=3$，化简为$\frac{5}{x-5}+\frac{5}{7y-5}=1$；
令$a=x-5$，$b=7y-5$，则$\frac{5}{a}+\frac{5}{b}=1$，整理得$(a-5)(b-5)=25$；
因x、y为正整数，故a、b为正整数，25的正整数因数对为(1,25)、(5,5)、(25,1)；
当$a-5=1$，$b-5=25$时，$a=6$，$b=30$，得$x=11$，$y=5$，符合题意；
当$a-5=5$，$b-5=5$时，$y=\frac{15}{7}$，非整数，舍去；
当$a-5=25$，$b-5=1$时，$y=\frac{11}{7}$，非整数，舍去；
故$x=11$，$y=5$。
【答案】
(1) $\frac{x+7}{x+3}=1+\frac{4}{x+3}$，$\frac{2x^2-1}{x+1}=2(x-1)+\frac{1}{x+1}$；
(2) $\frac{x^3}{x+3}=x^2-3x+9-\frac{27}{x+3}$；
(3) $x=11$，$y=5$
【知识点】
分式的变形、整式与分式的和、整数因数分解
【点评】
本题是分式变形的拓展应用，通过模仿示例考查代数变形能力，第三问结合换元与整数分解，需具备综合分析能力，难度适中，能有效考查代数运算与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
