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24.(12分)已知长方形纸片ABCD,点E,F在AD上,点G,H在BC上,将纸片分别沿EG,FH折叠,A,B,C,D的对应点分别为A',B',C',D',记∠BGE=α,∠CHF=β。
(1)如图,已知点B'在AD上,点D'在BC上。
①若α=55°,求∠A'B'E的度数。
②若B'G//FD',求α与β满足的关系式。
(2)若点A'始终在AD上方,B'G所在直线与FD'所在直线互相垂直,请直接写出α与β满足的关系式。
(1)如图,已知点B'在AD上,点D'在BC上。
①若α=55°,求∠A'B'E的度数。
②若B'G//FD',求α与β满足的关系式。
(2)若点A'始终在AD上方,B'G所在直线与FD'所在直线互相垂直,请直接写出α与β满足的关系式。
答案
24.(1)①由折叠可得$∠ B'GE=α=55°$,$∠ A'B'G=∠ B=90°$,所以$∠ B'GB=2α=110°$。因为$AD// BC$,所以$∠ AB'G=180°-∠ B'GB=180°-110°=70°$。所以$∠ A'B'E=∠ A'B'G-∠ AB'G=90°-70°=20°$。②因为$AD// BC$,所以$∠ DB'G=∠ BGB'=2α$,$∠ DFH=180°-∠ FHC=180°-β$。由折叠可得$∠ D'FD=2∠ DFH=360°-2β$,又因为$B'G// FD'$,所以$∠ DB'G=∠ DFD'$,即$2α=360°-2β$,整理得$α+β=180°$。
(2)如图1
。因为$B'G$所在直线与$FD'$所在直线互相垂直,所以$B'G$所在直线与$C'H$所在直线互相垂直,即$∠ PMG=90°$。由折叠可得$∠ BGB'=2α$,$∠ C'HC=2∠ FHC=2β$,所以$∠ MGH=180°-∠ BGB'=180°-2α$,$∠ PHG=180°-∠ C'HC=180°-2β$。过点$M$作$MN// AD$,则$MN// AD// BC$,所以$∠ NMG=∠ MGH=180°-2α$,$∠ NMP=∠ PHG=180°-2β$。所以$180°-2α+180°-2β=90°$,解得$α+β=135°$。如图2
,这时$∠ FMG=90°$。由翻折可得$∠ DFM=2∠ DFH=360°-2β$,过交点$M$作$MN// AD$,则$MN// AD// BC$,所以$∠ NMG=∠ MGH=180°-2α$,$∠ NMF=∠ MFD=360°-2β$。所以$180°-2α+360°-2β=90°$,解得$α+β=225°$。综上,$α$与$β$满足的关系式为$α+β=135°$或$α+β=225°$。解析
【分析】
本题是长方形纸片折叠的角度问题，核心利用折叠前后对应角相等和长方形对边平行（AD//BC）的性质，结合平行线的角度关系推导α与β的关系。
（1）①：先由折叠得∠B'GE=α，推出∠B'GB=2α；再利用AD//BC的同旁内角互补得∠AB'G，结合折叠后∠A'B'G=90°，计算∠A'B'E。
（1）②：由AD//BC得∠DB'G和∠DFH的表达式，结合折叠得∠DFD'，再根据B'G//FD'的同位角相等，建立α与β的关系式。
（2）：B'G与FD'垂直需分两种情况，过交点作平行线，利用平行线内错角相等，结合垂直的角度和为90°，推导两种情况下α与β的关系。
【解析】
（1）① 由折叠性质得：∠B'GE=α，∠A'B'G=∠B=90°，
∴ ∠B'GB=∠B'GE + α=2α=2×55°=110°，
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AB'G + ∠B'GB=180°，
∴ ∠AB'G=180° - 110°=70°，
∴ ∠A'B'E=∠A'B'G - ∠AB'G=90° - 70°=20°。
② 由AD//BC得：∠DB'G=∠BGB'=2α，∠DFH=180° - ∠FHC=180° - β，
由折叠性质得：∠D'FD=2∠DFH=2(180° - β)=360° - 2β，
∵ B'G//FD'，
∴ ∠DB'G=∠DFD'，
即2α=360° - 2β，整理得α + β=180°。
（2）分两种情况：
情况1：如图1，B'G与FD'垂直，即∠PMG=90°，
由折叠得：∠BGB'=2α，∠C'HC=2β，
过M作MN//AD，则MN//BC，
∴ ∠NMG=∠MGH=180° - ∠BGB'=180° - 2α，
∠NMP=∠PHG=180° - ∠C'HC=180° - 2β，
∵ ∠PMG=∠NMG + ∠NMP=90°，
∴ (180° - 2α)+(180° - 2β)=90°，解得α + β=135°。
情况2：如图2，B'G与FD'垂直，即∠FMG=90°，
由折叠得：∠BGB'=2α，∠DFH=180° - β，
∴ ∠DFD'=2∠DFH=360° - 2β，
过M作MN//AD，则MN//BC，
∴ ∠NMG=∠MGH=180° - ∠BGB'=180° - 2α，
∠NMF=∠MFD=∠DFD'=360° - 2β，
∵ ∠FMG=∠NMF - ∠NMG=90°，
∴ (360° - 2β)-(180° - 2α)=90°，解得α + β=225°。
综上，α与β满足的关系式为α + β=135°或α + β=225°。
【答案】
(1)① ∠A'B'E=20°；② α+β=180°；
(2) α+β=135°或α+β=225°
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题是长方形折叠的综合题，考查折叠的对应角相等、平行线的角度关系，以及分类讨论思想，需熟练掌握角度转化，（2）中两种垂直情况易漏解，难度适中。
【难度系数】
0.4
本题是长方形纸片折叠的角度问题，核心利用折叠前后对应角相等和长方形对边平行（AD//BC）的性质，结合平行线的角度关系推导α与β的关系。
（1）①：先由折叠得∠B'GE=α，推出∠B'GB=2α；再利用AD//BC的同旁内角互补得∠AB'G，结合折叠后∠A'B'G=90°，计算∠A'B'E。
（1）②：由AD//BC得∠DB'G和∠DFH的表达式，结合折叠得∠DFD'，再根据B'G//FD'的同位角相等，建立α与β的关系式。
（2）：B'G与FD'垂直需分两种情况，过交点作平行线，利用平行线内错角相等，结合垂直的角度和为90°，推导两种情况下α与β的关系。
【解析】
（1）① 由折叠性质得：∠B'GE=α，∠A'B'G=∠B=90°，
∴ ∠B'GB=∠B'GE + α=2α=2×55°=110°，
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AB'G + ∠B'GB=180°，
∴ ∠AB'G=180° - 110°=70°，
∴ ∠A'B'E=∠A'B'G - ∠AB'G=90° - 70°=20°。
② 由AD//BC得：∠DB'G=∠BGB'=2α，∠DFH=180° - ∠FHC=180° - β，
由折叠性质得：∠D'FD=2∠DFH=2(180° - β)=360° - 2β，
∵ B'G//FD'，
∴ ∠DB'G=∠DFD'，
即2α=360° - 2β，整理得α + β=180°。
（2）分两种情况：
情况1：如图1，B'G与FD'垂直，即∠PMG=90°，
由折叠得：∠BGB'=2α，∠C'HC=2β，
过M作MN//AD，则MN//BC，
∴ ∠NMG=∠MGH=180° - ∠BGB'=180° - 2α，
∠NMP=∠PHG=180° - ∠C'HC=180° - 2β，
∵ ∠PMG=∠NMG + ∠NMP=90°，
∴ (180° - 2α)+(180° - 2β)=90°，解得α + β=135°。
情况2：如图2，B'G与FD'垂直，即∠FMG=90°，
由折叠得：∠BGB'=2α，∠DFH=180° - β，
∴ ∠DFD'=2∠DFH=360° - 2β，
过M作MN//AD，则MN//BC，
∴ ∠NMG=∠MGH=180° - ∠BGB'=180° - 2α，
∠NMF=∠MFD=∠DFD'=360° - 2β，
∵ ∠FMG=∠NMF - ∠NMG=90°，
∴ (360° - 2β)-(180° - 2α)=90°，解得α + β=225°。
综上，α与β满足的关系式为α + β=135°或α + β=225°。
【答案】
(1)① ∠A'B'E=20°；② α+β=180°；
(2) α+β=135°或α+β=225°
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题是长方形折叠的综合题，考查折叠的对应角相等、平行线的角度关系，以及分类讨论思想，需熟练掌握角度转化，（2）中两种垂直情况易漏解，难度适中。
【难度系数】
0.4
