登录
22.(10分)一列整式依次为:$a_1=2m+3,a_2=a_1+2,a_3=a_2+2,a_4=a_3+2,···$,另一列整式依次为:$A_1=(m+1)^2,A_2=A_1+a_1,A_3=A_2+a_2,A_4=A_3+a_3,···$。
(1)求$a_2$和$a_3$。(用含$m$的代数式表示)
(2)求$A_2$和$A_3$,并归纳出$A_n$的规律。(用含$m,n$的代数式表示)
(3)若$A_{20}-A_{16}=200$,求$m$的值。
(1)求$a_2$和$a_3$。(用含$m$的代数式表示)
(2)求$A_2$和$A_3$,并归纳出$A_n$的规律。(用含$m,n$的代数式表示)
(3)若$A_{20}-A_{16}=200$,求$m$的值。
答案
22.(1)因为$a_1=2m+3$,所以$a_2=a_1+2=2m+3+2=2m+5$,$a_3=a_2+2=2m+5+2=2m+7$。
(2)因为$A_1=(m+1)^2$,所以$A_2=A_1+a_1=(m+1)^2+2m+3=m^2+4m+4=(m+2)^2$,$A_3=A_2+a_2=(m+1)^2+2m+3+2m+3+2=m^2+6m+9=(m+3)^2$。所以$A_n=(m+n)^2$。
(3)当$n=20$时,$A_{20}=(m+20)^2$;当$n=16$时,$A_{16}=(m+16)^2$,所以$A_{20}-A_{16}=4(2m+36)=200$,解得$m=7$。
(2)因为$A_1=(m+1)^2$,所以$A_2=A_1+a_1=(m+1)^2+2m+3=m^2+4m+4=(m+2)^2$,$A_3=A_2+a_2=(m+1)^2+2m+3+2m+3+2=m^2+6m+9=(m+3)^2$。所以$A_n=(m+n)^2$。
(3)当$n=20$时,$A_{20}=(m+20)^2$;当$n=16$时,$A_{16}=(m+16)^2$,所以$A_{20}-A_{16}=4(2m+36)=200$,解得$m=7$。
解析
【分析】
本题围绕两列递推的整式展开，需按步骤分析规律：
1. 第一列{aₙ}是公差为2的等差数列，求a₂、a₃直接用前一项加2即可；
2. 第二列{Aₙ}的递推关系为Aₙ = Aₙ₋₁ + aₙ₋₁，计算A₂、A₃后对比结果，归纳出Aₙ的通用规律；
3. 求m时，利用Aₙ的规律写出A₂₀和A₁₆的表达式，代入等式解方程即可。
【解析】
(1) 已知a₁=2m+3，根据aₙ = aₙ₋₁ + 2（n≥2）：
a₂ = a₁ + 2 = (2m+3) + 2 = 2m+5；
a₃ = a₂ + 2 = (2m+5) + 2 = 2m+7。
(2) 已知A₁=(m+1)²，根据Aₙ = Aₙ₋₁ + aₙ₋₁（n≥2）：
A₂ = A₁ + a₁ = (m+1)² + (2m+3) = m²+2m+1 +2m+3 = m²+4m+4 = (m+2)²；
A₃ = A₂ + a₂ = (m+2)² + (2m+5) = m²+4m+4 +2m+5 = m²+6m+9 = (m+3)²；
观察A₁=(m+1)²、A₂=(m+2)²、A₃=(m+3)²，归纳得：Aₙ=(m+n)²。
(3) 由(2)的规律，A₂₀=(m+20)²，A₁₆=(m+16)²，代入A₂₀ - A₁₆=200：
(m+20)² - (m+16)² = 200；
展开得：(m²+40m+400) - (m²+32m+256) = 200；
化简得：8m + 144 = 200；
移项计算：8m = 56，解得m=7。
【答案】
(1) a₂=2m+5，a₃=2m+7；
(2) A₂=(m+2)²，A₃=(m+3)²，Aₙ=(m+n)²；
(3) m=7。
【知识点】
整式的加减运算；完全平方公式；规律探究
【点评】
本题结合递推整式考查代数运算与规律归纳，解题核心是准确推导Aₙ的表达式，计算时需注意完全平方公式的展开正确性，属于中等难度的代数综合题。
【难度系数】
0.6
本题围绕两列递推的整式展开，需按步骤分析规律：
1. 第一列{aₙ}是公差为2的等差数列，求a₂、a₃直接用前一项加2即可；
2. 第二列{Aₙ}的递推关系为Aₙ = Aₙ₋₁ + aₙ₋₁，计算A₂、A₃后对比结果，归纳出Aₙ的通用规律；
3. 求m时，利用Aₙ的规律写出A₂₀和A₁₆的表达式，代入等式解方程即可。
【解析】
(1) 已知a₁=2m+3，根据aₙ = aₙ₋₁ + 2（n≥2）：
a₂ = a₁ + 2 = (2m+3) + 2 = 2m+5；
a₃ = a₂ + 2 = (2m+5) + 2 = 2m+7。
(2) 已知A₁=(m+1)²，根据Aₙ = Aₙ₋₁ + aₙ₋₁（n≥2）：
A₂ = A₁ + a₁ = (m+1)² + (2m+3) = m²+2m+1 +2m+3 = m²+4m+4 = (m+2)²；
A₃ = A₂ + a₂ = (m+2)² + (2m+5) = m²+4m+4 +2m+5 = m²+6m+9 = (m+3)²；
观察A₁=(m+1)²、A₂=(m+2)²、A₃=(m+3)²，归纳得：Aₙ=(m+n)²。
(3) 由(2)的规律，A₂₀=(m+20)²，A₁₆=(m+16)²，代入A₂₀ - A₁₆=200：
(m+20)² - (m+16)² = 200；
展开得：(m²+40m+400) - (m²+32m+256) = 200；
化简得：8m + 144 = 200；
移项计算：8m = 56，解得m=7。
【答案】
(1) a₂=2m+5，a₃=2m+7；
(2) A₂=(m+2)²，A₃=(m+3)²，Aₙ=(m+n)²；
(3) m=7。
【知识点】
整式的加减运算；完全平方公式；规律探究
【点评】
本题结合递推整式考查代数运算与规律归纳，解题核心是准确推导Aₙ的表达式，计算时需注意完全平方公式的展开正确性，属于中等难度的代数综合题。
【难度系数】
0.6
23. (10分)某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物。已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元,购进4只机器狗和1台无人机需58万元。
(1)求机器狗和无人机的采购单价。
(2)满载情况下,每只机器狗比每台无人机单次多载25kg,运送400kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150kg货物所需的无人机数量相同,求机器狗和无人机的单次最高载货量。
(3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完,请根据上述信息列出所有的采购方案,并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高。
(1)求机器狗和无人机的采购单价。
(2)满载情况下,每只机器狗比每台无人机单次多载25kg,运送400kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150kg货物所需的无人机数量相同,求机器狗和无人机的单次最高载货量。
(3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完,请根据上述信息列出所有的采购方案,并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高。
答案
23.(1)设机器狗的采购单价是$x$万元,无人机的采购单价是$y$万元。根据题意得$\begin{cases} 2x+3y=54, \\ 4x+y=58, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=12, \\ y=10, \end{cases}$所以机器狗的采购单价是12万元,无人机的采购单价是10万元。
(2)设无人机的单次最高载货量为$m$kg,则机器狗的单次最高载货量为$(m+25)$kg。根据题意得$\frac{400}{m+25}=\frac{150}{m}$,解得$m=15$,经检验,$m=15$是所列分式方程的解,且符合题意。所以$m+25=15+25=40$。所以机器狗的单次最高载货量为40kg,无人机的单次最高载货量为15kg。
(3)设采购$a$只机器狗,$b$台无人机。根据题意得$12a+10b=160$,所以$b=16-\frac{6}{5}a$。又因为$a,b$均为正整数,所以$\begin{cases} a=5, \\ b=10 \end{cases}$或$\begin{cases} a=10, \\ b=4。 \end{cases}$所以共有2种采购方案,方案1:采购5只机器狗,10台无人机,单次载货总量为$40×5+15×10=350$(kg);方案2:采购10只机器狗,4台无人机,单次载货总量为$40×10+15×4=460$(kg)。因为$350＜460$,所以方案2的单次载货总量最高。
(2)设无人机的单次最高载货量为$m$kg,则机器狗的单次最高载货量为$(m+25)$kg。根据题意得$\frac{400}{m+25}=\frac{150}{m}$,解得$m=15$,经检验,$m=15$是所列分式方程的解,且符合题意。所以$m+25=15+25=40$。所以机器狗的单次最高载货量为40kg,无人机的单次最高载货量为15kg。
(3)设采购$a$只机器狗,$b$台无人机。根据题意得$12a+10b=160$,所以$b=16-\frac{6}{5}a$。又因为$a,b$均为正整数,所以$\begin{cases} a=5, \\ b=10 \end{cases}$或$\begin{cases} a=10, \\ b=4。 \end{cases}$所以共有2种采购方案,方案1:采购5只机器狗,10台无人机,单次载货总量为$40×5+15×10=350$(kg);方案2:采购10只机器狗,4台无人机,单次载货总量为$40×10+15×4=460$(kg)。因为$350＜460$,所以方案2的单次载货总量最高。
解析
【分析】
本题为方程类实际应用问题，分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：设机器狗和无人机的采购单价为未知数，根据两个采购条件的等量关系，列二元一次方程组求解；
2. 第(2)问：设无人机单次载货量为未知数，利用“运送货物的数量与对应设备数量的关系”列分式方程，解后需检验合理性；
3. 第(3)问：设采购设备的数量为正整数，根据总资金列二元一次方程，结合正整数条件找出所有采购方案，再计算各方案的单次载货总量并比较。
【解析】
(1) 设机器狗的采购单价为$x$万元，无人机的采购单价为$y$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 54 \\4x + y = 58\end{cases}$
由第二个方程得$y = 58 - 4x$，代入第一个方程：
$2x + 3(58 - 4x) = 54$，解得$x = 12$，则$y = 58 - 4×12 = 10$。
(2) 设无人机的单次最高载货量为$m$kg，则机器狗的单次最高载货量为$(m + 25)$kg，根据题意得：
$\frac{400}{m + 25} = \frac{150}{m}$
交叉相乘化简得$400m = 150(m + 25)$，解得$m = 15$。
经检验，$m = 15$是原分式方程的解且符合题意，故机器狗的载货量为$15 + 25 = 40$kg。
(3) 设采购$a$只机器狗，$b$台无人机，根据总资金160万元得：
$12a + 10b = 160$，化简为$b = 16 - \frac{6}{5}a$。
因为$a$、$b$均为正整数，所以$a$是5的倍数：
当$a = 5$时，$b = 10$；
当$a = 10$时，$b = 4$；
$a≥15$时，$b$为负数，舍去。
共2种采购方案：
方案1：采购5只机器狗、10台无人机，单次载货总量为$40×5 + 15×10 = 350$kg；
方案2：采购10只机器狗、4台无人机，单次载货总量为$40×10 + 15×4 = 460$kg。
因为$350 ＜ 460$，所以方案2的单次载货总量最高。
【答案】
(1) 机器狗的采购单价是12万元，无人机的采购单价是10万元；
(2) 机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg；
(3) 共有2种采购方案：方案1采购5只机器狗、10台无人机；方案2采购10只机器狗、4台无人机；方案2的单次载货总量最高。
【知识点】
二元一次方程组应用、分式方程应用、二元一次方程整数解
【点评】
本题结合实际采购场景考查方程应用，需掌握根据等量关系列方程（组），分式方程要检验解的合理性，整数解需结合正整数条件筛选，最后通过计算比较得出最优方案，考查学生的逻辑分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
本题为方程类实际应用问题，分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：设机器狗和无人机的采购单价为未知数，根据两个采购条件的等量关系，列二元一次方程组求解；
2. 第(2)问：设无人机单次载货量为未知数，利用“运送货物的数量与对应设备数量的关系”列分式方程，解后需检验合理性；
3. 第(3)问：设采购设备的数量为正整数，根据总资金列二元一次方程，结合正整数条件找出所有采购方案，再计算各方案的单次载货总量并比较。
【解析】
(1) 设机器狗的采购单价为$x$万元，无人机的采购单价为$y$万元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 54 \\4x + y = 58\end{cases}$
由第二个方程得$y = 58 - 4x$，代入第一个方程：
$2x + 3(58 - 4x) = 54$，解得$x = 12$，则$y = 58 - 4×12 = 10$。
(2) 设无人机的单次最高载货量为$m$kg，则机器狗的单次最高载货量为$(m + 25)$kg，根据题意得：
$\frac{400}{m + 25} = \frac{150}{m}$
交叉相乘化简得$400m = 150(m + 25)$，解得$m = 15$。
经检验，$m = 15$是原分式方程的解且符合题意，故机器狗的载货量为$15 + 25 = 40$kg。
(3) 设采购$a$只机器狗，$b$台无人机，根据总资金160万元得：
$12a + 10b = 160$，化简为$b = 16 - \frac{6}{5}a$。
因为$a$、$b$均为正整数，所以$a$是5的倍数：
当$a = 5$时，$b = 10$；
当$a = 10$时，$b = 4$；
$a≥15$时，$b$为负数，舍去。
共2种采购方案：
方案1：采购5只机器狗、10台无人机，单次载货总量为$40×5 + 15×10 = 350$kg；
方案2：采购10只机器狗、4台无人机，单次载货总量为$40×10 + 15×4 = 460$kg。
因为$350 ＜ 460$，所以方案2的单次载货总量最高。
【答案】
(1) 机器狗的采购单价是12万元，无人机的采购单价是10万元；
(2) 机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg；
(3) 共有2种采购方案：方案1采购5只机器狗、10台无人机；方案2采购10只机器狗、4台无人机；方案2的单次载货总量最高。
【知识点】
二元一次方程组应用、分式方程应用、二元一次方程整数解
【点评】
本题结合实际采购场景考查方程应用，需掌握根据等量关系列方程（组），分式方程要检验解的合理性，整数解需结合正整数条件筛选，最后通过计算比较得出最优方案，考查学生的逻辑分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
