登录
20.(8分)解下列方程(组):
(1)$\begin{cases}x - y = 3, \\3x + 2y = 4。\end{cases}$
(2)$\dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1} = 1$。
(1)$\begin{cases}x - y = 3, \\3x + 2y = 4。\end{cases}$
(2)$\dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1} = 1$。
答案
20.(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=-1。 \end{cases}$ (2)$x=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。本题选择代入消元法，先从第一个方程用含y的式子表示x，再代入第二个方程得到一元一次方程，依次求出y和x的值。
(2) 解分式方程需先去分母转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式分母不为0，避免产生增根，这是分式方程与整式方程的关键区别。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 3 &① \\3x + 2y = 4 &②\end{cases}$
由①得：$x = y + 3$ ③
把③代入②，得：$3(y + 3) + 2y = 4$
展开计算：$3y + 9 + 2y = 4$ → $5y = -5$ → $y = -1$
将$y=-1$代入③，得：$x = -1 + 3 = 2$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$
(2) 解分式方程$\dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1} = 1$
最简公分母为$(x+1)(x-1)$，两边同乘该公分母（隐含条件$x≠±1$），得：
$x(x - 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(x - 1)$
展开左右两边：$x² - x - 3x - 3 = x² - 1$
移项合并同类项：$-4x - 2 = 0$ → $x = -\dfrac{1}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$(x+1)(x-1)=-\dfrac{3}{4}≠0$，故$x=-\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$；(2)$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组解法、分式方程解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组的消元解法和分式方程的去分母+检验解法，需掌握消元思想和分式方程的验根步骤，属于学生应熟练掌握的内容。
【难度系数】
0.6
(1) 解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。本题选择代入消元法，先从第一个方程用含y的式子表示x，再代入第二个方程得到一元一次方程，依次求出y和x的值。
(2) 解分式方程需先去分母转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式分母不为0，避免产生增根，这是分式方程与整式方程的关键区别。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 3 &① \\3x + 2y = 4 &②\end{cases}$
由①得：$x = y + 3$ ③
把③代入②，得：$3(y + 3) + 2y = 4$
展开计算：$3y + 9 + 2y = 4$ → $5y = -5$ → $y = -1$
将$y=-1$代入③，得：$x = -1 + 3 = 2$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$
(2) 解分式方程$\dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1} = 1$
最简公分母为$(x+1)(x-1)$，两边同乘该公分母（隐含条件$x≠±1$），得：
$x(x - 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(x - 1)$
展开左右两边：$x² - x - 3x - 3 = x² - 1$
移项合并同类项：$-4x - 2 = 0$ → $x = -\dfrac{1}{2}$
检验：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$(x+1)(x-1)=-\dfrac{3}{4}≠0$，故$x=-\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$；(2)$x=-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组解法、分式方程解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组的消元解法和分式方程的去分母+检验解法，需掌握消元思想和分式方程的验根步骤，属于学生应熟练掌握的内容。
【难度系数】
0.6
21.(8分)
(1)若$(x+2)(x^2+kx-6)$展开后不含$x$的一次项,求$k$的值。
(2)先化简,再求值:$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{2x}{2-x}$,其中$x=-1$。
(1)若$(x+2)(x^2+kx-6)$展开后不含$x$的一次项,求$k$的值。
(2)先化简,再求值:$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{2x}{2-x}$,其中$x=-1$。
答案
21.(1)$(x+2)(x^2+kx-6)=x^3+kx^2-6x+2x^2+2kx-12=x^3+(k+2)x^2+(2k-6)x-12$,因为$(x+2)(x^2+kx-6)$展开后不含$x$的一次项,所以$2k-6=0$,解得$k=3$。
(2)原式=$x·\frac{x+2-(x-2)}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=x·\frac{x+2-x+2}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=x·\frac{4}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=-\frac{2}{x+2}$,
当$x=-1$时,原式=$-\frac{2}{-1+2}=-2$。
(2)原式=$x·\frac{x+2-(x-2)}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=x·\frac{x+2-x+2}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=x·\frac{4}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=-\frac{2}{x+2}$,
当$x=-1$时,原式=$-\frac{2}{-1+2}=-2$。
解析
【分析】
第(1)问：多项式乘多项式展开后，若不含某一项，则该项的系数为0，因此先将式子展开并合并同类项，找到x的一次项系数，令其等于0即可求解k；第(2)问：分式混合运算需先算括号内的减法，通分后合并，再将除法转化为乘法，通过约分简化式子，最后代入x的值计算结果。
【解析】
(1) 展开多项式：
$(x+2)(x^2+kx-6)=x^3+kx^2-6x+2x^2+2kx-12=x^3+(k+2)x^2+(2k-6)x-12$
因为展开后不含x的一次项，所以一次项系数为0，即$2k-6=0$，解得$k=3$。
(2) 化简求值：
$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{2x}{2-x}$
先算括号内的减法，通分：
$\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{x^2+2x-x^2+2x}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x}{(x+2)(x-2)}$
将除法转化为乘法（注意$\frac{2x}{2-x}=-\frac{2x}{x-2}$）：
$\frac{4x}{(x+2)(x-2)}×\frac{-(x-2)}{2x}$
约分后得：$-\frac{2}{x+2}$
代入$x=-1$：$-\frac{2}{-1+2}=-2$
【答案】(1)$k=3$；(2)$-2$
【知识点】多项式乘多项式，分式的混合运算，代数式求值
【点评】本题考查初中代数基础运算，涵盖多项式展开、同类项合并、分式通分约分等核心知识点，需注意运算中的符号处理和约分细节，是常规题型。
【难度系数】0.5
第(1)问：多项式乘多项式展开后，若不含某一项，则该项的系数为0，因此先将式子展开并合并同类项，找到x的一次项系数，令其等于0即可求解k；第(2)问：分式混合运算需先算括号内的减法，通分后合并，再将除法转化为乘法，通过约分简化式子，最后代入x的值计算结果。
【解析】
(1) 展开多项式：
$(x+2)(x^2+kx-6)=x^3+kx^2-6x+2x^2+2kx-12=x^3+(k+2)x^2+(2k-6)x-12$
因为展开后不含x的一次项，所以一次项系数为0，即$2k-6=0$，解得$k=3$。
(2) 化简求值：
$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{2x}{2-x}$
先算括号内的减法，通分：
$\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{x^2+2x-x^2+2x}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x}{(x+2)(x-2)}$
将除法转化为乘法（注意$\frac{2x}{2-x}=-\frac{2x}{x-2}$）：
$\frac{4x}{(x+2)(x-2)}×\frac{-(x-2)}{2x}$
约分后得：$-\frac{2}{x+2}$
代入$x=-1$：$-\frac{2}{-1+2}=-2$
【答案】(1)$k=3$；(2)$-2$
【知识点】多项式乘多项式，分式的混合运算，代数式求值
【点评】本题考查初中代数基础运算，涵盖多项式展开、同类项合并、分式通分约分等核心知识点，需注意运算中的符号处理和约分细节，是常规题型。
【难度系数】0.5
