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15.若二元一次方程组的解$\begin{cases} x=a, \\ y=b \end{cases}$满足$a=2b$或$b=2a$，则称该方程组为“二倍解方程组”。已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} 2x+y=m+1, \\ x-y=2m-7 \end{cases}$是“二倍解方程组”，则$m$的值为________。
答案
15.4或3 【解析】解关于$x,y$的方程组$\begin{cases} 2x+y=m+1, \\ x-y=2m-7, \end{cases}$得$\begin{cases} x=m-2, \\ y=5-m, \end{cases}$因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases} 2x+y=m+1 \\ x-y=2m-7 \end{cases}$是“二倍解方程组”,所以$m-2=2(5-m)$或$5-m=2(m-2)$,解得$m=4$或$m=3$。
解析
【分析】
首先，我们需要用含m的代数式表示出给定二元一次方程组的解；再根据“二倍解方程组”的定义，明确解满足的两种关系，分情况代入得到关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
解方程组$\begin{cases}2x + y = m + 1 \\ x - y = 2m -7 \end{cases}$：
将两个方程相加，得$3x = 3m -6$，解得$x = m -2$；
把$x = m -2$代入$x - y = 2m -7$，得$(m -2) - y = 2m -7$，解得$y =5 - m$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=m-2 \\ y=5 - m \end{cases}$。
因为该方程组是“二倍解方程组”，所以分两种情况：
1. 当$x=2y$时，$m -2 =2(5 - m)$，展开得$m -2 =10 -2m$，移项合并得$3m=12$，解得$m=4$；
2. 当$y=2x$时，$5 - m =2(m -2)$，展开得$5 - m=2m -4$，移项合并得$-3m=-9$，解得$m=3$。
综上，$m$的值为4或3。
【答案】4或3
【知识点】二元一次方程组的解法、新定义运算
【点评】本题是新定义题型，核心是理解“二倍解方程组”的含义，将问题转化为二元一次方程组的求解和分类讨论，需要学生掌握加减消元法解二元一次方程组，同时具备分类讨论的数学思想。
【难度系数】0.5
首先，我们需要用含m的代数式表示出给定二元一次方程组的解；再根据“二倍解方程组”的定义，明确解满足的两种关系，分情况代入得到关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
解方程组$\begin{cases}2x + y = m + 1 \\ x - y = 2m -7 \end{cases}$：
将两个方程相加，得$3x = 3m -6$，解得$x = m -2$；
把$x = m -2$代入$x - y = 2m -7$，得$(m -2) - y = 2m -7$，解得$y =5 - m$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=m-2 \\ y=5 - m \end{cases}$。
因为该方程组是“二倍解方程组”，所以分两种情况：
1. 当$x=2y$时，$m -2 =2(5 - m)$，展开得$m -2 =10 -2m$，移项合并得$3m=12$，解得$m=4$；
2. 当$y=2x$时，$5 - m =2(m -2)$，展开得$5 - m=2m -4$，移项合并得$-3m=-9$，解得$m=3$。
综上，$m$的值为4或3。
【答案】4或3
【知识点】二元一次方程组的解法、新定义运算
【点评】本题是新定义题型，核心是理解“二倍解方程组”的含义，将问题转化为二元一次方程组的求解和分类讨论，需要学生掌握加减消元法解二元一次方程组，同时具备分类讨论的数学思想。
【难度系数】0.5
16.将边长分别为$m,n(m＞n)$的两个正方形按如图所示方式摆放,其中点$B,C,E$在同一条直线上,点$G$在$CD$上,记阴影部分面积为$S$。若$m+n=10,m^2+n^2=54$,则$S^2$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
16.200 【解析】因为$m+n=10,m^2+n^2=54$,而$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$,所以$100=54+2mn$。所以$mn=23$。又因为$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn=100-92=8$,$m＞n＞0$,所以$m-n=2\sqrt{2}$。所以$S=S_{\mathrm{梯形}ADFG}=\frac{1}{2}(m+n)(m-n)=\frac{1}{2}×10×2\sqrt{2}=10\sqrt{2}$。所以$S^2=(10\sqrt{2})^2=200$。
解析
【分析】首先观察图形，阴影部分为梯形ADFG，需先确定梯形的上底、下底和高：上底AD为大正方形边长$m$，下底GF为小正方形边长$n$，高DG为大、小正方形边长之差$m-n$。接下来结合已知的$m+n=10$和$m^2+n^2=54$，利用完全平方公式求出$mn$和$m-n$的值，进而计算阴影面积$S$，最终求得$S^2$。
【解析】
1. 求$mn$的值：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，代入$m+n=10$、$m^2+n^2=54$，得：
$10^2=54+2mn$，即$100=54+2mn$，解得$mn=23$。
2. 求$m-n$的值：
由完全平方公式变形得$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，代入数值：
$(m-n)^2=10^2-4×23=100-92=8$，因$m＞n＞0$，故$m-n=2\sqrt{2}$。
3. 计算阴影面积$S$：
梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，代入梯形ADFG的参数：
$S=\frac{1}{2}(m+n)(m-n)=\frac{1}{2}×10×2\sqrt{2}=10\sqrt{2}$。
4. 计算$S^2$：
$S^2=(10\sqrt{2})^2=100×2=200$。
【答案】200
【知识点】完全平方公式、梯形面积计算、代数式求值
【点评】本题将几何图形面积计算与代数公式变形结合，考查学生对公式的灵活应用能力，需先明确阴影部分的面积表达式，再逐步推导求解，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 求$mn$的值：
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，代入$m+n=10$、$m^2+n^2=54$，得：
$10^2=54+2mn$，即$100=54+2mn$，解得$mn=23$。
2. 求$m-n$的值：
由完全平方公式变形得$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，代入数值：
$(m-n)^2=10^2-4×23=100-92=8$，因$m＞n＞0$，故$m-n=2\sqrt{2}$。
3. 计算阴影面积$S$：
梯形面积公式为$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，代入梯形ADFG的参数：
$S=\frac{1}{2}(m+n)(m-n)=\frac{1}{2}×10×2\sqrt{2}=10\sqrt{2}$。
4. 计算$S^2$：
$S^2=(10\sqrt{2})^2=100×2=200$。
【答案】200
【知识点】完全平方公式、梯形面积计算、代数式求值
【点评】本题将几何图形面积计算与代数公式变形结合，考查学生对公式的灵活应用能力，需先明确阴影部分的面积表达式，再逐步推导求解，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】0.5
17.(8分)计算:
(1)$(π - 2)^0 + (\dfrac{1}{3})^{-1}$。
(2)$2020 × 2030 - 2025^2$。
(1)$(π - 2)^0 + (\dfrac{1}{3})^{-1}$。
(2)$2020 × 2030 - 2025^2$。
答案
17.(1)原式=4。 (2)原式=-25。
解析
【分析】
第(1)题需掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算两项后求和；第(2)题观察数字特征，将2020和2030转化为与2025相关的两数和与差，利用平方差公式简化运算，避免直接计算大数平方的繁琐。
【解析】
(1) 根据零指数幂法则：任何非零数的0次幂等于1，得$(π - 2)^0 = 1$；根据负整数指数幂法则：$a^{-p} = \frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$；因此原式$=1 + 3 = 4$。
(2) 把2020变形为$2025 - 5$，2030变形为$2025 + 5$，则原式$=(2025 - 5)(2025 + 5) - 2025^2$；根据平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，展开得$2025^2 - 5^2 - 2025^2$；化简后得$-25$。
【答案】
(1)4；(2)-25
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、平方差公式
【点评】
本题为基础运算题，考查幂的基本运算和平方差公式的应用，第(2)题通过公式简化计算，体现了简便运算的技巧，整体难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.8
第(1)题需掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算两项后求和；第(2)题观察数字特征，将2020和2030转化为与2025相关的两数和与差，利用平方差公式简化运算，避免直接计算大数平方的繁琐。
【解析】
(1) 根据零指数幂法则：任何非零数的0次幂等于1，得$(π - 2)^0 = 1$；根据负整数指数幂法则：$a^{-p} = \frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$；因此原式$=1 + 3 = 4$。
(2) 把2020变形为$2025 - 5$，2030变形为$2025 + 5$，则原式$=(2025 - 5)(2025 + 5) - 2025^2$；根据平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，展开得$2025^2 - 5^2 - 2025^2$；化简后得$-25$。
【答案】
(1)4；(2)-25
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、平方差公式
【点评】
本题为基础运算题，考查幂的基本运算和平方差公式的应用，第(2)题通过公式简化计算，体现了简便运算的技巧，整体难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.8
18.(8分)因式分解:
(1)$x^2 - 2x$。
(2)$a^2 - 2ab + b^2 - 9$。
(1)$x^2 - 2x$。
(2)$a^2 - 2ab + b^2 - 9$。
答案
18.(1)原式=$x(x-2)$。 (2)原式=$(a-b+3)(a-b-3)$。
解析
【分析】
因式分解需先观察多项式结构，选择合适方法：(1)式为二项式，含公因式，用提公因式法；(2)式为四项式，前三项符合完全平方公式，分组后用公式法分解。
【解析】
(1) 提取公因式$x$：
$x^2 - 2x = x(x - 2)$；
(2) 先分组用完全平方公式，再用平方差公式：
$a^2 - 2ab + b^2 - 9 = (a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)$；
【答案】
(1)$x(x-2)$；(2)$(a-b+3)(a-b-3)$
【知识点】
提公因式法、公式法
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，分别对应提公因式法和公式法，是初中数学因式分解的常规题型，需学生掌握基本分解规则，观察式子结构是解题核心。
【难度系数】
0.7
因式分解需先观察多项式结构，选择合适方法：(1)式为二项式，含公因式，用提公因式法；(2)式为四项式，前三项符合完全平方公式，分组后用公式法分解。
【解析】
(1) 提取公因式$x$：
$x^2 - 2x = x(x - 2)$；
(2) 先分组用完全平方公式，再用平方差公式：
$a^2 - 2ab + b^2 - 9 = (a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)$；
【答案】
(1)$x(x-2)$；(2)$(a-b+3)(a-b-3)$
【知识点】
提公因式法、公式法
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，分别对应提公因式法和公式法，是初中数学因式分解的常规题型，需学生掌握基本分解规则，观察式子结构是解题核心。
【难度系数】
0.7
19.(8分)某校为加强学生的安全意识,提高自我防护能力,组织全体学生开展“安全知识”竞赛活动,从中随机抽取部分学生的成绩(满分100分)进行统计,并将成绩(记为x)分为A(90≤x≤100),B(80≤x＜90),C(70≤x＜80),D(60≤x＜70),E(50≤x＜60)五个等级。下图给出两幅不完整的成绩统计图。
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求本次调查的样本容量和扇形统计图中圆心角α的度数,并补全频数直方图。
(2)学校将对竞赛成绩低于70分的学生举办安全教育讲座,请估计该校1000名学生中需参加讲座的人数。
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求本次调查的样本容量和扇形统计图中圆心角α的度数,并补全频数直方图。
(2)学校将对竞赛成绩低于70分的学生举办安全教育讲座,请估计该校1000名学生中需参加讲座的人数。
答案
19.(1)本次调查的样本容量为$80÷40\%=200$,扇形统计图中圆心角α的度数为$360°×\frac{35}{200}=63°$,$B$组频数为$200×30\%=60$,补全频数直方图如图所示
。(2)$1000×\frac{10+15}{200}=125$(人),所以估计该校1000名学生中需参加讲座的人数为125人。
解析
【分析】
要解决该统计问题，需结合频数分布直方图和扇形统计图的信息：首先利用A组的频数和占比计算样本容量，再求B组频数补全直方图；接着根据C组频数计算圆心角α；最后利用样本中低于70分的人数占比估计总体人数。具体思路：1. 样本容量=某组频数÷该组占比；2. B组频数=样本容量×B组占比，据此补全直方图；3. 圆心角α=360°×C组占比；4. 估计人数=总体数量×（低于70分的样本频数和÷样本容量）。
【解析】
(1) 计算样本容量：A组（90≤x≤100）频数为80，占比40%，则样本容量=80÷40%=200。
计算B组频数：B组占比30%，故B组频数=200×30%=60，据此补全频数直方图（80~90分对应频数为60）。
计算圆心角α：C组（70≤x＜80）频数为35，占比为$\frac{35}{200}$，则α=360°×$\frac{35}{200}$=63°。
(2) 估计需参加讲座的人数：低于70分的是D、E组，频数和为10+15=25，占样本比例为$\frac{25}{200}$，故该校1000名学生中需参加讲座的人数=1000×$\frac{25}{200}$=125（人）。
【答案】
19.(1)本次调查的样本容量为200，扇形统计图中圆心角α的度数为63°，B组频数为60，补全频数直方图如图所示。(2)估计该校1000名学生中需参加讲座的人数为125人。
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图表考查数据处理能力，需掌握统计量的基本计算方法，属于基础题型，侧重对统计知识的应用。
【难度系数】
0.6
要解决该统计问题，需结合频数分布直方图和扇形统计图的信息：首先利用A组的频数和占比计算样本容量，再求B组频数补全直方图；接着根据C组频数计算圆心角α；最后利用样本中低于70分的人数占比估计总体人数。具体思路：1. 样本容量=某组频数÷该组占比；2. B组频数=样本容量×B组占比，据此补全直方图；3. 圆心角α=360°×C组占比；4. 估计人数=总体数量×（低于70分的样本频数和÷样本容量）。
【解析】
(1) 计算样本容量：A组（90≤x≤100）频数为80，占比40%，则样本容量=80÷40%=200。
计算B组频数：B组占比30%，故B组频数=200×30%=60，据此补全频数直方图（80~90分对应频数为60）。
计算圆心角α：C组（70≤x＜80）频数为35，占比为$\frac{35}{200}$，则α=360°×$\frac{35}{200}$=63°。
(2) 估计需参加讲座的人数：低于70分的是D、E组，频数和为10+15=25，占样本比例为$\frac{25}{200}$，故该校1000名学生中需参加讲座的人数=1000×$\frac{25}{200}$=125（人）。
【答案】
19.(1)本次调查的样本容量为200，扇形统计图中圆心角α的度数为63°，B组频数为60，补全频数直方图如图所示
。(2)估计该校1000名学生中需参加讲座的人数为125人。【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图表考查数据处理能力，需掌握统计量的基本计算方法，属于基础题型，侧重对统计知识的应用。
【难度系数】
0.6
