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7.若关于$x$的分式方程$\dfrac{x+a}{x-1}-1=\dfrac{3}{x}$有增根，则实数$a$的值为 （
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
B
）A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确：增根是分式方程去分母后转化的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题思路为：①先确定原分式方程可能的增根（令各分母为0，解得x的值）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，求出参数a的值，再验证结果的合理性。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-1$和$x$，令分母为0，得$x=0$或$x=1$，即增根只能是$x=0$或$x=1$。
2. 去分母转化为整式方程：两边同乘最简公分母$x(x-1)$，得：
$x(x+a) - x(x-1) = 3(x-1)$
展开并整理左边：$x^2 + ax - x^2 + x = ax + x$，右边：$3x - 3$，移项合并得：$(a-2)x = -3$。
3. 代入增根求a：
若增根为$x=0$，代入$(a-2)x=-3$，左边为0，右边为-3，等式不成立，排除；
若增根为$x=1$，代入得$(a-2)×1=-3$，解得$a=-1$，符合条件。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是掌握增根的定义（使分母为0的整式方程的根），步骤清晰，属于分式方程的基础题型，需注意代入增根后要验证是否满足整式方程。
【难度系数】
0.5
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确：增根是分式方程去分母后转化的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题思路为：①先确定原分式方程可能的增根（令各分母为0，解得x的值）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，求出参数a的值，再验证结果的合理性。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-1$和$x$，令分母为0，得$x=0$或$x=1$，即增根只能是$x=0$或$x=1$。
2. 去分母转化为整式方程：两边同乘最简公分母$x(x-1)$，得：
$x(x+a) - x(x-1) = 3(x-1)$
展开并整理左边：$x^2 + ax - x^2 + x = ax + x$，右边：$3x - 3$，移项合并得：$(a-2)x = -3$。
3. 代入增根求a：
若增根为$x=0$，代入$(a-2)x=-3$，左边为0，右边为-3，等式不成立，排除；
若增根为$x=1$，代入得$(a-2)×1=-3$，解得$a=-1$，符合条件。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是掌握增根的定义（使分母为0的整式方程的根），步骤清晰，属于分式方程的基础题型，需注意代入增根后要验证是否满足整式方程。
【难度系数】
0.5
8. 某工程队铺设一段长为600m的管道，实际施工时每天铺设管道的长度。设原计划每天铺设管道$x$m，可得方程$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$。根据此情境，题中用“”表示的缺失条件为（
A.比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务
B.比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务
C.比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务
D.比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务
A
）A.比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务
B.比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务
C.比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务
D.比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务
答案
8.A
解析
【分析】
要确定缺失的条件，需先分析方程中各量的实际意义：原计划每天铺设管道$x$米，实际每天铺设$1.5x$米，说明实际效率是原计划的$1.5$倍，即比原计划增加了$50\%$；再看等式$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$，左边$\frac{600}{x}$是原计划总时间，右边$\frac{600}{1.5x}$是实际总时间，等式表示原计划总时间比实际总时间多4天，即实际提前4天完成任务，由此可确定缺失条件。
【解析】
设原计划每天铺设管道$x$米，则实际每天铺设$1.5x$米，说明实际效率比原计划增加了$50\%$；
原计划完成任务的时间为$\frac{600}{x}$天，实际完成任务的时间为$\frac{600}{1.5x}$天；
方程$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$表示：原计划总时间 = 实际总时间 + 4天，即实际比原计划提前4天完成任务；
综上，缺失条件为“比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用、工程问题
【点评】
本题是分式方程在工程问题中的基础应用，核心是理解方程中各量对应的实际意义，区分原计划与实际的效率、时间关系，难度适中，属于需掌握的典型题型。
【难度系数】
0.6
要确定缺失的条件，需先分析方程中各量的实际意义：原计划每天铺设管道$x$米，实际每天铺设$1.5x$米，说明实际效率是原计划的$1.5$倍，即比原计划增加了$50\%$；再看等式$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$，左边$\frac{600}{x}$是原计划总时间，右边$\frac{600}{1.5x}$是实际总时间，等式表示原计划总时间比实际总时间多4天，即实际提前4天完成任务，由此可确定缺失条件。
【解析】
设原计划每天铺设管道$x$米，则实际每天铺设$1.5x$米，说明实际效率比原计划增加了$50\%$；
原计划完成任务的时间为$\frac{600}{x}$天，实际完成任务的时间为$\frac{600}{1.5x}$天；
方程$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$表示：原计划总时间 = 实际总时间 + 4天，即实际比原计划提前4天完成任务；
综上，缺失条件为“比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用、工程问题
【点评】
本题是分式方程在工程问题中的基础应用，核心是理解方程中各量对应的实际意义，区分原计划与实际的效率、时间关系，难度适中，属于需掌握的典型题型。
【难度系数】
0.6
9. 甲、乙两班同学对最喜欢的球类运动进行投票,每人从“篮球”“足球”“乒乓球”中选择一项,结果如图所示。下列说法中,正确的是
(
A.甲班最喜欢篮球的人数一定比乙班多
B.若甲、乙两班最喜欢乒乓球的人数相同,则乙班总人数多
C.若甲、乙两班最喜欢足球的人数分别为12和14,则乙班的总人数较多
D.若甲班人数为50人,乙班人数为60人,则甲班最喜欢篮球的人数较多
(
D
)A.甲班最喜欢篮球的人数一定比乙班多
B.若甲、乙两班最喜欢乒乓球的人数相同,则乙班总人数多
C.若甲、乙两班最喜欢足球的人数分别为12和14,则乙班的总人数较多
D.若甲班人数为50人,乙班人数为60人,则甲班最喜欢篮球的人数较多
答案
9.D 【解析】A.因为两个班的总人数不知道,所以甲、乙两个班最喜欢篮球的人数是无法比较的,故不符合题意。B.若甲、乙两班最喜欢乒乓球的人数相同,则甲班总人数多,故不符合题意。C.若甲、乙两班最喜欢足球的人数分别为12人和14人,则甲班总人数为$12÷30\%=40$(人),乙班总人数为$14÷35\%=40$(人),故不符合题意。D.若甲班人数为50人,乙班人数为60人,则甲班最喜欢篮球的人数为$50×40\%=20$(人),乙班最喜欢篮球的人数为$60×30\%=18$(人),故符合题意。故选D。
解析
【分析】本题考查扇形统计图的应用，解题关键是明确：扇形统计图中，某部分的人数=总人数×该部分对应的百分比，总人数=某部分人数÷该部分对应的百分比。分析选项时，需结合总人数的情况，判断能否根据百分比确定部分人数的多少，总人数未知时，仅靠百分比无法比较部分人数。
【解析】逐个分析选项：
A. 甲班最喜欢篮球的人数=甲班总人数×40%，乙班最喜欢篮球的人数=乙班总人数×30%，由于甲、乙两班总人数未知，无法确定两者的大小关系，该选项错误；
B. 设两班最喜欢乒乓球的人数均为x，则甲班总人数为$x÷30\%$，乙班总人数为$x÷35\%$，因为$30\%＜35\%$，所以$x÷30\% ＞ x÷35\%$，即甲班总人数更多，该选项错误；
C. 甲班总人数=$12÷30\%=40$（人），乙班总人数=$14÷35\%=40$（人），两班总人数相同，该选项错误；
D. 甲班最喜欢篮球的人数=$50×40\%=20$（人），乙班最喜欢篮球的人数=$60×30\%=18$（人），$20＞18$，故甲班最喜欢篮球的人数较多，该选项正确。
【答案】D
【知识点】扇形统计图、百分比计算
【点评】本题结合扇形统计图考查百分比的实际应用，需掌握部分人数、总人数与百分比的关系，准确计算并比较，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】逐个分析选项：
A. 甲班最喜欢篮球的人数=甲班总人数×40%，乙班最喜欢篮球的人数=乙班总人数×30%，由于甲、乙两班总人数未知，无法确定两者的大小关系，该选项错误；
B. 设两班最喜欢乒乓球的人数均为x，则甲班总人数为$x÷30\%$，乙班总人数为$x÷35\%$，因为$30\%＜35\%$，所以$x÷30\% ＞ x÷35\%$，即甲班总人数更多，该选项错误；
C. 甲班总人数=$12÷30\%=40$（人），乙班总人数=$14÷35\%=40$（人），两班总人数相同，该选项错误；
D. 甲班最喜欢篮球的人数=$50×40\%=20$（人），乙班最喜欢篮球的人数=$60×30\%=18$（人），$20＞18$，故甲班最喜欢篮球的人数较多，该选项正确。
【答案】D
【知识点】扇形统计图、百分比计算
【点评】本题结合扇形统计图考查百分比的实际应用，需掌握部分人数、总人数与百分比的关系，准确计算并比较，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
10.若$5^{a}· 3^{b}=2025$，则代数式$\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}$的值是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
10.A 【解析】因为$5^{a}·3^{b}=2025=45^{2}=5^{2}×3^{4}$,所以$a=2,b=4$。所以$\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2×2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。故选A。
解析
【分析】
首先观察等式，左边是5的a次方与3的b次方的乘积，右边是2025，需先将2025分解为仅含5和3的幂的乘积形式，再根据同底数幂的性质对应求出a、b的值，最后代入代数式计算结果。
【解析】
解：先分解2025的质因数幂次：
$2025 = 45^2 = (5×9)^2 = 5^2×(3^2)^2 = 5^2×3^4$，
已知$5^a·3^b = 2025$，根据同底数幂相等时指数相等，可得$a=2$，$b=4$，
将$a=2$，$b=4$代入代数式$\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}$：
$\frac{1}{2×2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、代数式求值
【点评】
本题考查幂的运算性质与代数式代入求值，核心是正确分解2025为5和3的幂的乘积，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先观察等式，左边是5的a次方与3的b次方的乘积，右边是2025，需先将2025分解为仅含5和3的幂的乘积形式，再根据同底数幂的性质对应求出a、b的值，最后代入代数式计算结果。
【解析】
解：先分解2025的质因数幂次：
$2025 = 45^2 = (5×9)^2 = 5^2×(3^2)^2 = 5^2×3^4$，
已知$5^a·3^b = 2025$，根据同底数幂相等时指数相等，可得$a=2$，$b=4$，
将$a=2$，$b=4$代入代数式$\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}$：
$\frac{1}{2×2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、代数式求值
【点评】
本题考查幂的运算性质与代数式代入求值，核心是正确分解2025为5和3的幂的乘积，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.7
11.若分式$\dfrac{x - 1}{x - 2}$的值为0,则实数$x$的值为________。
答案
11.1
解析
【分析】要使分式的值为0，需同时满足两个条件：①分子等于0；②分母不等于0，这两个条件缺一不可。解题时先令分子为0求出x的可能值，再代入分母验证是否不为0，最终确定符合要求的x值。
【解析】根据分式值为0的条件：
1. 令分子为0：$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
2. 验证分母：当$x = 1$时，分母$x - 2 = 1 - 2 = -1 ≠ 0$，满足分母不为0的要求；
因此，实数$x$的值为1。
【答案】1
【知识点】分式的值为0的条件
【点评】本题考查分式值为0的基本条件，属于基础题型，需牢记“分子为0且分母不为0”两个条件，避免忽略分母的限制而出错。
【难度系数】0.7
【解析】根据分式值为0的条件：
1. 令分子为0：$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
2. 验证分母：当$x = 1$时，分母$x - 2 = 1 - 2 = -1 ≠ 0$，满足分母不为0的要求；
因此，实数$x$的值为1。
【答案】1
【知识点】分式的值为0的条件
【点评】本题考查分式值为0的基本条件，属于基础题型，需牢记“分子为0且分母不为0”两个条件，避免忽略分母的限制而出错。
【难度系数】0.7
12.已知某班学生的血型情况统计如下表。若A型血有12人,则O型血有
16
人。答案
12.16
解析
【分析】要解决该问题，需先利用A型血的人数和频率求出班级总人数，再计算O型血的频率，最后通过总人数与O型血频率的乘积得到O型血人数。具体步骤：1. 根据“总人数=频数÷频率”，由A型血的人数（频数）和频率算出总人数；2. 所有血型的频率之和为1，据此计算O型血的频率；3. 再根据“频数=总人数×频率”，求出O型血的人数。
【解析】1. 计算班级总人数：已知A型血有12人，频率为0.3，总人数=12÷0.3=40（人）；2. 计算O型血的频率：所有血型频率和为1，故O型血频率=1 - 0.3 - 0.2 - 0.1=0.4；3. 计算O型血人数：O型血人数=总人数×O型血频率=40×0.4=16（人）。
【答案】16
【知识点】频率与频数的关系
【点评】本题是频率与频数的基础应用题，核心是掌握“频数=总人数×频率”的关系，通过已知条件逐步推导，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算班级总人数：已知A型血有12人，频率为0.3，总人数=12÷0.3=40（人）；2. 计算O型血的频率：所有血型频率和为1，故O型血频率=1 - 0.3 - 0.2 - 0.1=0.4；3. 计算O型血人数：O型血人数=总人数×O型血频率=40×0.4=16（人）。
【答案】16
【知识点】频率与频数的关系
【点评】本题是频率与频数的基础应用题，核心是掌握“频数=总人数×频率”的关系，通过已知条件逐步推导，属于基础题型。
【难度系数】0.6
13. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O。若∠1=20°,则∠2的度数为
$70°$
。答案
13.$70°$
解析
【分析】要解决这道题，首先利用垂直的定义得到直角，再结合对顶角相等的性质计算角度：先由OE⊥AB得出∠AOE为90°，结合∠1的度数算出∠AOC，再根据对顶角相等得到∠2的度数。
【解析】
∵OE⊥AB（已知），
∴∠AOE=90°（垂直的定义）。
又
∵∠1=20°（已知），
∴∠AOC=∠AOE - ∠1=90° - 20°=70°。
∵直线AB、CD相交于点O，∠2与∠AOC是对顶角，
∴∠2=∠AOC=70°（对顶角相等）。
【答案】70°
【知识点】垂直的定义；对顶角的性质
【点评】本题是基础的几何角度计算题，核心考查垂直和对顶角的性质，解题思路清晰，属于几何入门的常规题型。
【难度系数】0.3
【解析】
∵OE⊥AB（已知），
∴∠AOE=90°（垂直的定义）。
又
∵∠1=20°（已知），
∴∠AOC=∠AOE - ∠1=90° - 20°=70°。
∵直线AB、CD相交于点O，∠2与∠AOC是对顶角，
∴∠2=∠AOC=70°（对顶角相等）。
【答案】70°
【知识点】垂直的定义；对顶角的性质
【点评】本题是基础的几何角度计算题，核心考查垂直和对顶角的性质，解题思路清晰，属于几何入门的常规题型。
【难度系数】0.3
14.如图,将三角形ABC沿边AC的方向平移到三角形DEF的位置,若点B与点E的距离为5,AF=16,则CD的长为
6
。答案
14.6
解析
【分析】
要解决本题，需运用平移的性质：图形平移后，对应点所连的线段平行且相等。本题中三角形ABC沿AC方向平移到三角形DEF，因此对应点A与D、B与E、C与F的连线长度相等，即AD=BE=CF。结合已知条件AF=16，可通过线段和差关系计算CD的长度。
【解析】
根据平移的性质，可得对应点连线相等：AD = BE = CF = 5。
观察线段AF的组成，AF = AD + CD + CF，将已知AF=16、AD=CF=5代入，得：
CD = AF - AD - CF = 16 - 5 - 5 = 6。
【答案】
6
【知识点】
图形平移性质，线段和差计算
【点评】
本题考查平移的基本性质，核心是明确平移后对应点连线相等，再结合线段和差关系求解，属于基础题型，需熟练掌握平移的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需运用平移的性质：图形平移后，对应点所连的线段平行且相等。本题中三角形ABC沿AC方向平移到三角形DEF，因此对应点A与D、B与E、C与F的连线长度相等，即AD=BE=CF。结合已知条件AF=16，可通过线段和差关系计算CD的长度。
【解析】
根据平移的性质，可得对应点连线相等：AD = BE = CF = 5。
观察线段AF的组成，AF = AD + CD + CF，将已知AF=16、AD=CF=5代入，得：
CD = AF - AD - CF = 16 - 5 - 5 = 6。
【答案】
6
【知识点】
图形平移性质，线段和差计算
【点评】
本题考查平移的基本性质，核心是明确平移后对应点连线相等，再结合线段和差关系求解，属于基础题型，需熟练掌握平移的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.3
