登录
21. (8分)如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫作格点.已知A,B,C均为格点,仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.
(1)在图1中,线段$AB=$
(2)在图1中,在线段$CB$上作出点$G$,使得$GB=GA$;
(3)在图2中,线段$CB$交其中一条网格线于点$E$,在线段$AB$上作一个点$Q$,使得$QE⊥AB$;
(4)在图3中,$M$是格点,点$N$在网格线上,将线段$MN$向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度得线段$DF$,且点$M$与点$D$对应.
(1)在图1中,线段$AB=$
3√2
, $∠CAB=$90
$°$;(2)在图1中,在线段$CB$上作出点$G$,使得$GB=GA$;
(3)在图2中,线段$CB$交其中一条网格线于点$E$,在线段$AB$上作一个点$Q$,使得$QE⊥AB$;
(4)在图3中,$M$是格点,点$N$在网格线上,将线段$MN$向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度得线段$DF$,且点$M$与点$D$对应.
答案
21. 【点拨】本题考查作图——平移变换、线段垂直平分线的性质、勾股定理,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
【解析】(1)$AB = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2},BC = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26},AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}, \therefore AB^2 + AC^2 = BC^2, \therefore ∠ CAB = 90°$.
故答案为 $3\sqrt{2},90$.
(2)如图1,点 $G$ 即为所求.
(3)如图2,线段 $QE ⊥ AB$,点 $Q$ 即为所求.
(4)如图3,线段 $DF$ 即为所求.
解析
【分析】
本题是网格中的计算与作图题，解题思路如下：
(1) 利用勾股定理计算AB、AC、BC的长度，再通过勾股定理逆定理判断∠CAB的度数；
(2) 要使GB=GA，点G需在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，其与CB的交点即为G；
(3) 利用网格中线段的垂直关系，找到过E且与AB垂直的线段，该线段与AB的交点即为Q，满足QE⊥AB；
(4) 根据平移性质，对应点平移方向和距离相同，由M到D的平移（右3下1），确定N的对应点F，连接得DF。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1，由勾股定理：
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$；
验证得$AB^2+AC^2=(3\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=26=BC^2$，根据勾股定理逆定理，$∠ CAB=90°$；
(2) 作AB的垂直平分线，该线与CB的交点即为所求点G；
(3) 利用网格中线段的垂直关系，找到过E且与AB垂直的线段，其与AB的交点即为Q，使QE⊥AB；
(4) 按平移规则：点M右移3、下移1得D，将N右移3、下移1得F，连接DF即为所求。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$，$90$；
(2) 如图1，点G即为所求；
(3) 如图2，点Q即为所求；
(4) 如图3，线段DF即为所求；
【知识点】
勾股定理，线段垂直平分线，平移变换
【点评】
本题结合网格考查几何计算与作图，需熟练运用勾股定理、垂直平分线性质、平移性质，利用格点特点解决问题，是一道基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题是网格中的计算与作图题，解题思路如下：
(1) 利用勾股定理计算AB、AC、BC的长度，再通过勾股定理逆定理判断∠CAB的度数；
(2) 要使GB=GA，点G需在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，其与CB的交点即为G；
(3) 利用网格中线段的垂直关系，找到过E且与AB垂直的线段，该线段与AB的交点即为Q，满足QE⊥AB；
(4) 根据平移性质，对应点平移方向和距离相同，由M到D的平移（右3下1），确定N的对应点F，连接得DF。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1，由勾股定理：
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$；
验证得$AB^2+AC^2=(3\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=26=BC^2$，根据勾股定理逆定理，$∠ CAB=90°$；
(2) 作AB的垂直平分线，该线与CB的交点即为所求点G；
(3) 利用网格中线段的垂直关系，找到过E且与AB垂直的线段，其与AB的交点即为Q，使QE⊥AB；
(4) 按平移规则：点M右移3、下移1得D，将N右移3、下移1得F，连接DF即为所求。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$，$90$；
(2) 如图1，点G即为所求；
(3) 如图2，点Q即为所求；
(4) 如图3，线段DF即为所求；
【知识点】
勾股定理，线段垂直平分线，平移变换
【点评】
本题结合网格考查几何计算与作图，需熟练运用勾股定理、垂直平分线性质、平移性质，利用格点特点解决问题，是一道基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
22. (10 分)在四边形 ABCD 中,$∠ADC=∠DAB=90°,AB=DC.$
(1)如图1,求证:四边形 ABCD 为矩形;
(2)如图1,M 为 AD 延长线上一点,连接 CM,BM,P,G 分别为 BM,AD 的中点,$CM=18$,求 PG的长;
(3)如图2,E 为 CD 的中点,将$△ BCE$沿 BE 折叠得到$△ BQE$,点 C 落在点 Q 的位置,射线 BQ 交边AD 于点 F,$BC=8,CD=12$,则$AF=$
(1)如图1,求证:四边形 ABCD 为矩形;
(2)如图1,M 为 AD 延长线上一点,连接 CM,BM,P,G 分别为 BM,AD 的中点,$CM=18$,求 PG的长;
(3)如图2,E 为 CD 的中点,将$△ BCE$沿 BE 折叠得到$△ BQE$,点 C 落在点 Q 的位置,射线 BQ 交边AD 于点 F,$BC=8,CD=12$,则$AF=$
7/2
.答案
22. 【点拨】本题考查矩形的判定和性质,三角形中位线定理,勾股定理,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because ∠ ADC = ∠ DAB = 90°$,
$\therefore ∠ ADC + ∠ DAB = 180°, \therefore AB // CD$.
$\because AB = DC, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
$\because ∠ DAB = 90°, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形.
(2)如题图1,取 $CM$ 的中点 $Q$,连接 $DQ,PQ$.
在 $Rt△ CDM$ 中,$DQ = \frac{1}{2} CM = 9$.
$\because P$ 是 $BM$ 的中点, $Q$ 是 $CM$ 的中点, $\therefore PQ // BC,PQ = \frac{1}{2} BC$.
$\because G$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore GD = \frac{1}{2} AD$.
在矩形 $ABCD$ 中, $AD = BC$, 且 $AD // BC$,
$\therefore PQ = GD,PQ // GD, \therefore$ 四边形 $PQDG$ 是平行四边形,
$\therefore PG = DQ = 9$.
(3)如题图2,连接 $EF$.
$\because E$ 为 $CD$ 的中点, $CD = 12, \therefore CE = DE = \frac{1}{2} CD = 6$.
同(1)可得,四边形 $ABCD$ 为矩形.
由折叠可知 $BQ = BC = 8,EQ = EC = 6, ∠ BQE = ∠ C = 90°$,
$\therefore EQ = DE, ∠ EQF = 90°$. 在 $Rt△ EQF$ 和 $Rt△ EDF$ 中, $\begin{cases} EF = EF, \\ EQ = ED, \end{cases}$
$\therefore Rt△ EQF ≌ Rt△ EDF(\mathrm{HL}), \therefore DF = QF$.
设 $AF = x$, 则 $DF = QF = 8 - x, \therefore BF = BQ + QF = 16 - x$.
在 $Rt△ ABF$ 中, $AB^2 + AF^2 = BF^2$,
$\therefore 12^2 + x^2 = (16 - x)^2$, 解得 $x = \frac{7}{2}$, 即 $AF = \frac{7}{2}$. 故答案为 $\frac{7}{2}$.
【解析】(1)证明:$\because ∠ ADC = ∠ DAB = 90°$,
$\therefore ∠ ADC + ∠ DAB = 180°, \therefore AB // CD$.
$\because AB = DC, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
$\because ∠ DAB = 90°, \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形.
(2)如题图1,取 $CM$ 的中点 $Q$,连接 $DQ,PQ$.
在 $Rt△ CDM$ 中,$DQ = \frac{1}{2} CM = 9$.
$\because P$ 是 $BM$ 的中点, $Q$ 是 $CM$ 的中点, $\therefore PQ // BC,PQ = \frac{1}{2} BC$.
$\because G$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore GD = \frac{1}{2} AD$.
在矩形 $ABCD$ 中, $AD = BC$, 且 $AD // BC$,
$\therefore PQ = GD,PQ // GD, \therefore$ 四边形 $PQDG$ 是平行四边形,
$\therefore PG = DQ = 9$.
(3)如题图2,连接 $EF$.
$\because E$ 为 $CD$ 的中点, $CD = 12, \therefore CE = DE = \frac{1}{2} CD = 6$.
同(1)可得,四边形 $ABCD$ 为矩形.
由折叠可知 $BQ = BC = 8,EQ = EC = 6, ∠ BQE = ∠ C = 90°$,
$\therefore EQ = DE, ∠ EQF = 90°$. 在 $Rt△ EQF$ 和 $Rt△ EDF$ 中, $\begin{cases} EF = EF, \\ EQ = ED, \end{cases}$
$\therefore Rt△ EQF ≌ Rt△ EDF(\mathrm{HL}), \therefore DF = QF$.
设 $AF = x$, 则 $DF = QF = 8 - x, \therefore BF = BQ + QF = 16 - x$.
在 $Rt△ ABF$ 中, $AB^2 + AF^2 = BF^2$,
$\therefore 12^2 + x^2 = (16 - x)^2$, 解得 $x = \frac{7}{2}$, 即 $AF = \frac{7}{2}$. 故答案为 $\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
第(1)问：由已知两个直角可推出AB//CD，结合AB=DC先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”完成证明；第(2)问：通过取CM中点构造辅助线，利用直角三角形斜边中线性质得DQ=9，结合三角形中位线定理和矩形性质证明四边形PQDG是平行四边形，从而PG=DQ；第(3)问：利用折叠性质得对应边和角相等，通过HL证明全等得DF=QF，设未知数后用勾股定理列方程求解AF。
【解析】
(1)证明：
∵∠ADC=∠DAB=90°，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∴AB//CD，
又
∵AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)解：取CM的中点Q，连接DQ、PQ，
在Rt△CDM中，DQ是斜边CM的中线，
∴DQ=½CM=½×18=9，
∵P是BM中点，Q是CM中点，
∴PQ是△BCM的中位线，
∴PQ//BC，PQ=½BC，
∵G是AD中点，矩形ABCD中AD=BC且AD//BC，
∴GD=½AD=½BC，
∴PQ=GD且PQ//GD，
∴四边形PQDG是平行四边形，
∴PG=DQ=9；
(3)解：连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=12，AD=BC=8，∠A=∠D=90°，
∵E是CD中点，CD=12，
∴CE=DE=6，
由折叠性质得：BQ=BC=8，EQ=EC=6，∠BQE=∠C=90°，
∴EQ=DE，∠EQF=90°，
在Rt△EQF和Rt△EDF中，$\{\begin{array}{l} EF=EF \\ EQ=ED \end{array} $，
∴Rt△EQF≌Rt△EDF(HL)，
∴DF=QF，
设AF=x，则DF=8-x，
∴QF=8-x，BF=BQ+QF=8+(8-x)=16-x，
在Rt△ABF中，AB²+AF²=BF²，即12²+x²=(16-x)²，
解得x=$\frac{7}{2}$，即AF=$\frac{7}{2}$；
【答案】(1)证明见解析；(2)9；(3)$\frac{7}{2}$
【知识点】矩形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质
【点评】本题综合考查矩形、三角形中位线、折叠及勾股定理的应用，关键是合理构造辅助线，利用全等和方程思想求解，体现几何与代数结合的解题思路，难度适中。
【难度系数】0.6
第(1)问：由已知两个直角可推出AB//CD，结合AB=DC先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”完成证明；第(2)问：通过取CM中点构造辅助线，利用直角三角形斜边中线性质得DQ=9，结合三角形中位线定理和矩形性质证明四边形PQDG是平行四边形，从而PG=DQ；第(3)问：利用折叠性质得对应边和角相等，通过HL证明全等得DF=QF，设未知数后用勾股定理列方程求解AF。
【解析】
(1)证明：
∵∠ADC=∠DAB=90°，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∴AB//CD，
又
∵AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)解：取CM的中点Q，连接DQ、PQ，
在Rt△CDM中，DQ是斜边CM的中线，
∴DQ=½CM=½×18=9，
∵P是BM中点，Q是CM中点，
∴PQ是△BCM的中位线，
∴PQ//BC，PQ=½BC，
∵G是AD中点，矩形ABCD中AD=BC且AD//BC，
∴GD=½AD=½BC，
∴PQ=GD且PQ//GD，
∴四边形PQDG是平行四边形，
∴PG=DQ=9；
(3)解：连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=12，AD=BC=8，∠A=∠D=90°，
∵E是CD中点，CD=12，
∴CE=DE=6，
由折叠性质得：BQ=BC=8，EQ=EC=6，∠BQE=∠C=90°，
∴EQ=DE，∠EQF=90°，
在Rt△EQF和Rt△EDF中，$\{\begin{array}{l} EF=EF \\ EQ=ED \end{array} $，
∴Rt△EQF≌Rt△EDF(HL)，
∴DF=QF，
设AF=x，则DF=8-x，
∴QF=8-x，BF=BQ+QF=8+(8-x)=16-x，
在Rt△ABF中，AB²+AF²=BF²，即12²+x²=(16-x)²，
解得x=$\frac{7}{2}$，即AF=$\frac{7}{2}$；
【答案】(1)证明见解析；(2)9；(3)$\frac{7}{2}$
【知识点】矩形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质
【点评】本题综合考查矩形、三角形中位线、折叠及勾股定理的应用，关键是合理构造辅助线，利用全等和方程思想求解，体现几何与代数结合的解题思路，难度适中。
【难度系数】0.6
