23. (10 分)在菱形 ABCD 中,F 是对角线 AC 上一动点,E 为射线 AD 上一动点,$0° ＜ ∠ BAD ＜ 90°$.
(1)如图1,点 E 在点 D 右边,当$∠ BAD = 64°,BF = EF$时,$S_{△ BCF}$与$S_{△ CDF}$的大小关系为$S_{△ BCF}\_\_\_\_\_\_S_{△ CDF}$;$∠ BFE =\_\_\_\_\_\_°$;
(2)如图2,若 B,E,F 三点共线,且$BE ⊥ AD$于点 E,四边形 CDEF 和$△ BCF$的面积分别记为$S_1$,$S_2,DE = 2,AE = 8$,求$S_1 - S_2$;
(3)如图3,若$∠ BAD = 60°,AB = 8,AF = DE$,则当$∠ BED =$$°$时,$BE + BF$的值最小,最小值是.

23. 【点拨】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点,熟练掌握以上知识是解题的关键.
【解析】(1)根据菱形的性质得,$△ BCF$ 和 $△ CDF$ 关于对角线 $AC$ 对称, 则 $S_{△ BCF} = S_{△ CDF},BF = DF, ∠ BFA = ∠ DFA, ∠ BAF = ∠ DAF$.
$\because BF = EF, \therefore DF = EF, \therefore △ FDE$ 为等腰三角形, $∠ FDE = ∠ FED$.
$\because ∠ AFD = ∠ FDE - ∠ FAD, \therefore 2∠ AFD = 2∠ FDE - 2∠ FAD$,
即 $∠ BFD = (180° - ∠ DFE) - ∠ BAD$,
$\therefore ∠ BFE = ∠ BFD + ∠ DFE = (180° - ∠ DFE) - ∠ BAD + ∠ DFE = 180° - ∠ BAD = 116°$.
故答案为 $=,116$.
(2)$\because AB = AD = AE + DE = 10, \therefore BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = 6$.
$\because AD // BC, \therefore \frac{BF}{FE} = \frac{BC}{AE}$, 即 $\frac{BE}{FE} = \frac{BC + AE}{AE}$.
$\because BC = AD = 10, \therefore FE = \frac{8}{3}$.
如题图2,连接 $FD$, 则 $S_{△ DFE} = \frac{1}{2} FE · DE = \frac{8}{3}$.
由(1)可知, $S_{△ BCF} = S_{△ CDF}$,
$\therefore S_1 - S_2 = (S_{△ DFE} + S_{△ CDF}) - S_{△ BCF} = S_{△ DFE} = \frac{8}{3}$.
(3)如图,过点 $D$ 作 $DG // AC$, 截取 $DG = AB$, 连接 $BG,EG,BD$.
$\because ∠ BAD = 60°,AB = AD, \therefore △ ABD$ 为等边三角形,
$\therefore ∠ BAF = ∠ CAD = 30°$.
$\because AC // DG, \therefore ∠ GDE = ∠ CAD = ∠ BAF$.
在 $△ ABF$ 和 $△ DGE$ 中,
$\begin{cases} AB = DG, \\ ∠ BAF = ∠ GDE, \\ AF = DE, \end{cases}$ 则 $△ ABF ≌ △ DGE(\mathrm{SAS}), \therefore BF = GE$.
由于 $B,G$ 两点为定点, $E$ 为动点,
$\therefore$ 当点 $E$ 在线段 $BG$ 上时, $BE + EG$ 的值最小, 即 $BE + BF$ 的值最小, 最小值为 $BG$ 的长.
$\because ∠ ADB = 60°, \therefore ∠ BDG = ∠ ADB + ∠ ADG = 90°$.
又 $\because BD = AB, \therefore BD = DG, \therefore △ BDG$ 为等腰直角三角形,
$\therefore ∠ DBG = 45°, BG = \sqrt{2} DG = 8\sqrt{2}$.
当 $BE + EG$ 最小, 即点 $E$ 在线段 $BG$ 上时, $∠ BED = 180° - ∠ DBG - ∠ ADB = 75°$. 故答案为 $75,8\sqrt{2}$.

【分析】本题是菱形的综合应用题，需结合菱形的对称性、全等三角形的判定与性质、面积转化、最值问题等知识解题。第(1)问利用菱形对角线的对称性推导面积关系，结合等腰三角形性质求角度；第(2)问先求菱形边长，用勾股定理和相似（平行线分线段成比例）求线段长度，再通过面积转化计算结果；第(3)问构造全等三角形转化线段，利用两点之间线段最短求最值，再计算对应角度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴△BCF与△CDF关于AC对称，故$S_{△BCF}=S_{△CDF}$，且$BF=DF$，$∠BFA=∠DFA$。
∵$BF=EF$，
∴$DF=EF$，即△FDE为等腰三角形，$∠FDE=∠FED$。结合$∠BAD=64°$，推导得$∠BFE=180°-∠BAD=116°$。
(2)
∵$AB=AD=AE+DE=8+2=10$，$BE⊥AD$，由勾股定理得$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵$AD//BC$，
∴$\frac{BF}{FE}=\frac{BC}{AE}$，代入$BC=10$，$BE=BF+FE=6$，解得$FE=\frac{8}{3}$。
连接FD，由(1)知$S_{△BCF}=S_{△CDF}$，故$S_1 - S_2=(S_{△DFE}+S_{△CDF})-S_{△BCF}=S_{△DFE}=\frac{1}{2}×FE×DE=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×2=\frac{8}{3}$。
(3) 过D作$DG//AC$且$DG=AB$，连接BG、EG、BD。
∵$∠BAD=60°$，$AB=AD$，
∴△ABD为等边三角形，$∠BAF=∠CAD=30°$。
∵$AC//DG$，
∴$∠GDE=∠CAD=∠BAF$，又$AB=DG$，$AF=DE$，故△ABF≌△DGE(SAS)，得$BF=GE$。
当E在线段BG上时，$BE+GE$最小，即$BE+BF$最小，最小值为BG的长。
∵$∠ADB=60°$，
∴$∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°$，$BD=AB=DG$，故△BDG为等腰直角三角形，$BG=\sqrt{2}DG=8\sqrt{2}$，此时$∠BED=75°$。
【答案】=；116；$\frac{8}{3}$；75；$8\sqrt{2}$
【知识点】菱形性质、全等三角形判定、最值问题
【点评】本题综合考查菱形的核心性质、全等三角形的构造与应用、面积转化及线段最值问题，需要学生熟练掌握几何定理，具备较强的逻辑推理和辅助线构造能力，是一道综合性较强的几何压轴题。
【难度系数】0.4