24. (12 分)$M$为正方形$ABCD$内一点.
(1)如图1,若点$M$在对角线$AC$上,$∠ ADM=20°$,则$∠ ABM=\_\_\_\_\_\_°$,$∠ CMB=\_\_\_\_\_\_°$;
(2)如图2,点$M$在对角线$AC$上,延长$DM$交$AB$于点$Q$,$MQ=BQ$,$AM=\sqrt{6}$,求$AB$的长;
(3)如图3,若$AM=4$,$DM=2\sqrt{10}$,$BM=2\sqrt{2}$.
①$CM$的长为________;
②求$△ ADM$的面积.

24. 【点拨】本题考查正方形的性质,等腰直角三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键.
【解析】(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAC = 45°,AD = AB$.
又 $AM = AM, \therefore △ ADM ≌ △ ABM(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ABM = ∠ ADM = 20°$,
$\therefore ∠ CMB = ∠ BAC + ∠ ABM = 45° + 20° = 65°$.
故答案为 $20,65$.
(2)如题图2,过点 $M$ 作 $MH ⊥ AB$ 于点 $H$.
$\because ∠ MAH = 45°,MH ⊥ AB$,
$\therefore △ AMH$ 是等腰直角三角形,
$\therefore AH = MH = \frac{\sqrt{2}}{2} AM = \sqrt{3}$.
$\because MQ = BQ, \therefore ∠ QBM = ∠ QMB$,
$\therefore ∠ AQD = 2∠ ABM$.
由(1)可知, $∠ ADM = ∠ ABM, \therefore ∠ AQD = 2∠ ADM$.
$\because ∠ ADM + ∠ AQD = 90°, \therefore ∠ ADM = ∠ ABM = 30°$.
在 $Rt△ BHM$ 中, $BH = \sqrt{3} MH = 3, \therefore AB = AH + BH = \sqrt{3} + 3$.
(3)①过点 $M$ 作直线 $EF ⊥ AB$ 于点 $F$, 交 $CD$ 于点 $E$, 过点 $M$ 作 $MH ⊥ AD$ 于点 $H$, 如图1.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore ∠ ADC = ∠ DAB = ∠ ABC = ∠ BCD = 90°$.
$\because EF ⊥ AB,MH ⊥ AD$,
$\therefore$ 四边形 $AFED$, 四边形 $BCEF$, 四边形 $AFMH$ 和四边形 $DEMH$ 都是矩形,
$\therefore AH = MF,AF = HM = DE,DH = EM,BF = EC$.
$\because AM = 4,DM = 2\sqrt{10},BM = 2\sqrt{2}$,
$\therefore AF^2 + MF^2 = AM^2 = 16,DE^2 + EM^2 = DM^2 = 40,BF^2 + MF^2 = BM^2 = 8,EC^2 + EM^2 = CM^2$.
$\because AF^2 + MF^2 + EC^2 + EM^2 = DE^2 + EM^2 + BF^2 + MF^2$,
$\therefore 16 + CM^2 = 40 + 8, \therefore CM = 4\sqrt{2}$.
故答案为 $4\sqrt{2}$.

②如图2,将 $△ ABM$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$, 得到 $△ ADH$, 过点 $D$ 作 $DN ⊥$ 直线 $AH$ 于点 $N$, 连接 $HM$,
$\therefore AM = AH = 4,DH = BM = 2\sqrt{2}, ∠ HAM = 90°$,
$\therefore ∠ AHM = 45°,HM = \sqrt{2} AH = 4\sqrt{2}$.
$\because DH^2 + HM^2 = 8 + 32 = 40,DM^2 = 40$,
$\therefore DH^2 + HM^2 = DM^2$,
$\therefore ∠ DHM = 90°, \therefore ∠ DHN = 45°$.
$\because DN ⊥ AN$,
$\therefore △ DNH$ 是等腰直角三角形, $\therefore DN = \frac{\sqrt{2}}{2} DH = 2$,
$\therefore △ ADM$ 的面积 $= S_{△ AHM} + S_{△ DHM} - S_{△ AHD} = \frac{1}{2} × 4 × 4 + \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 4\sqrt{2} - \frac{1}{2} × 4 × 2 = 12$.

【分析】
本题是正方形相关的几何综合题，需结合正方形的性质、全等三角形、等腰直角三角形、旋转、勾股定理等知识解题。(1)利用正方形对角线平分内角的性质，证明三角形全等得到对应角，结合外角性质求角；(2)作垂线构造等腰直角三角形，利用角度关系和直角三角形边的关系计算边长；(3)通过作辅助线构造矩形，结合勾股定理的等式关系求线段长，再用旋转构造直角三角形，通过面积和差计算三角形面积。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAC=∠DAC=45°，AD=AB，
又AM=AM，
∴ △ADM≌△ABM(SAS)，
∴ ∠ABM=∠ADM=20°，
∵ ∠CMB是△ABM的外角，
∴ ∠CMB=∠BAC+∠ABM=45°+20°=65°。
(2) 过点M作MH⊥AB于点H，
∵ ∠MAH=45°，MH⊥AB，
∴ △AMH是等腰直角三角形，
∴ AH=MH= (√2/2)AM= (√2/2)×√6=√3。
∵ MQ=BQ，
∴ ∠QBM=∠QMB，
∴ ∠AQD=2∠ABM，
由(1)知∠ADM=∠ABM，
∴ ∠AQD=2∠ADM，
又
∵ ∠ADM+∠AQD=90°，
∴ ∠ADM=∠ABM=30°，
在Rt△BHM中，∠ABM=30°，
∴ BH=√3 MH=√3×√3=3，
∴ AB=AH+BH=√3+3。
(3) ① 过点M作EF⊥AB于点F，交CD于点E，过点M作MH⊥AD于点H，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∵ EF⊥AB，MH⊥AD，
∴ 四边形AFED、BCEF、AFMH、DEMH都是矩形，
∴ AH=MF，AF=HM=DE，DH=EM，BF=EC，
由勾股定理：AF²+MF²=AM²=16，DE²+EM²=DM²=40，BF²+MF²=BM²=8，EC²+EM²=CM²，
∵ AF²+MF²+EC²+EM²=DE²+EM²+BF²+MF²，
∴ 16 + CM² = 40 + 8，解得CM=4√2。
② 将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，过点D作DN⊥直线AH于点N，连接HM，
∴ AM=AH=4，DH=BM=2√2，∠HAM=90°，
∴ ∠AHM=45°，HM=√2 AH=4√2，
∵ DH² + HM²=(2√2)² + (4√2)²=8+32=40，DM²=(2√10)²=40，
∴ DH² + HM²=DM²，
∴ ∠DHM=90°，
∴ ∠DHN=45°，
∵ DN⊥AN，
∴ △DNH是等腰直角三角形，DN=(√2/2)DH=(√2/2)×2√2=2，
∴ △ADM的面积=S△AHM + S△DHM - S△AHD = (1/2)×4×4 + (1/2)×2√2×4√2 - (1/2)×4×2 = 12。
【答案】
(1) 20，65；
(2) AB=3+√3；
(3) ①4√2；②12；

【知识点】
正方形性质，全等三角形，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质及几何变换，解题关键是添加辅助线构造全等三角形或直角三角形，利用图形性质转化边、角关系，对几何综合能力要求较高，是典型的几何压轴题。
【难度系数】
0.5