登录
1. 如果 $ a $ 是任意实数,下列各式中一定有意义的是(
A.$ \sqrt{a} $
B.$ \sqrt{\dfrac{1}{a}} $
C.$ \sqrt{a^2} $
D.$ \sqrt{-a} $
C
).A.$ \sqrt{a} $
B.$ \sqrt{\dfrac{1}{a}} $
C.$ \sqrt{a^2} $
D.$ \sqrt{-a} $
答案
1. C 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件,判断二次根式有意义的关键是被开方数为非负数.
【解析】A.$\sqrt{a}$,当$a≥0$时有意义,故不符合题意;B.$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$,当$a＞0$时有意义,故不符合题意;C.$\sqrt{a^2}$,当$a$取任意实数时都有意义,故符合题意;D.$\sqrt{-a}$,当$-a≥0$,即$a≤0$时有意义,故不符合题意. 故选 C.
【解析】A.$\sqrt{a}$,当$a≥0$时有意义,故不符合题意;B.$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$,当$a＞0$时有意义,故不符合题意;C.$\sqrt{a^2}$,当$a$取任意实数时都有意义,故符合题意;D.$\sqrt{-a}$,当$-a≥0$,即$a≤0$时有意义,故不符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
要判断各式对任意实数a是否有意义，需依据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），同时注意分式分母不能为0的隐含要求，逐一分析每个选项的被开方数取值范围即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，结合分式分母不为0的规则，逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{a}$的被开方数是a，仅当$a≥0$时有意义，不符合“任意实数a都有意义”的要求；
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$的被开方数是$\dfrac{1}{a}$，需满足$a＞0$（分母不为0且被开方数非负），当$a≤0$时无意义，不符合要求；
3. 选项C：$\sqrt{a^2}$的被开方数是$a^2$，对任意实数a，平方数$a^2≥0$恒成立，因此该式对任意实数a都有意义，符合要求；
4. 选项D：$\sqrt{-a}$的被开方数是$-a$，仅当$a≤0$时有意义，不符合要求。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式有意义的基础条件，解题关键是明确被开方数需为非负数，同时注意分式分母的限制，属于概念类基础题，需熟练掌握。
【难度系数】0.7
要判断各式对任意实数a是否有意义，需依据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），同时注意分式分母不能为0的隐含要求，逐一分析每个选项的被开方数取值范围即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，结合分式分母不为0的规则，逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt{a}$的被开方数是a，仅当$a≥0$时有意义，不符合“任意实数a都有意义”的要求；
2. 选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$的被开方数是$\dfrac{1}{a}$，需满足$a＞0$（分母不为0且被开方数非负），当$a≤0$时无意义，不符合要求；
3. 选项C：$\sqrt{a^2}$的被开方数是$a^2$，对任意实数a，平方数$a^2≥0$恒成立，因此该式对任意实数a都有意义，符合要求；
4. 选项D：$\sqrt{-a}$的被开方数是$-a$，仅当$a≤0$时有意义，不符合要求。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题考查二次根式有意义的基础条件，解题关键是明确被开方数需为非负数，同时注意分式分母的限制，属于概念类基础题，需熟练掌握。
【难度系数】0.7
2. 下列二次根式是最简二次根式的是(
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2.5}$
C.$\sqrt{\dfrac{8}{3}}$
D.$\sqrt{32}$
A
).A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2.5}$
C.$\sqrt{\dfrac{8}{3}}$
D.$\sqrt{32}$
答案
2. A 【点拨】本题考查最简二次根式,判断二次根式是否为最简二次根式,需满足两个条件:(1)被开方数不含能开得尽方的因数或因式;(2)分母中不含根号,且被开方数不含分母.
【解析】A. 是最简二次根式,故此项符合题意;B. 被开方数是小数,不是最简二次根式,故此项不符合题意;C. 被开方数含有分母,不是最简二次根式,故此项不符合题意;D. 被开方数含有能开得尽方的因数16,不是最简二次根式,故此项不符合题意. 故选 A.
【解析】A. 是最简二次根式,故此项符合题意;B. 被开方数是小数,不是最简二次根式,故此项不符合题意;C. 被开方数含有分母,不是最简二次根式,故此项不符合题意;D. 被开方数含有能开得尽方的因数16,不是最简二次根式,故此项不符合题意. 故选 A.
解析
【分析】
要判断最简二次根式，需先明确其定义：最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二是被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母，且分母中不含根号）。接下来逐个分析选项是否满足这两个条件，即可得出答案。
【解析】
A选项：$\sqrt{2}$的被开方数是整数2，且2不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{2.5}$的被开方数是小数，可化为$\sqrt{\dfrac{5}{2}}$，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{\dfrac{8}{3}}$的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{32}$中，32=16×2，16是能开得尽方的因数，可化简为$4\sqrt{2}$，不满足条件，不是最简二次根式。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的判定，核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，属于基础题型，需准确对每个选项进行判断。
【难度系数】
0.7
要判断最简二次根式，需先明确其定义：最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二是被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母，且分母中不含根号）。接下来逐个分析选项是否满足这两个条件，即可得出答案。
【解析】
A选项：$\sqrt{2}$的被开方数是整数2，且2不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；
B选项：$\sqrt{2.5}$的被开方数是小数，可化为$\sqrt{\dfrac{5}{2}}$，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式；
C选项：$\sqrt{\dfrac{8}{3}}$的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式；
D选项：$\sqrt{32}$中，32=16×2，16是能开得尽方的因数，可化简为$4\sqrt{2}$，不满足条件，不是最简二次根式。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的判定，核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，属于基础题型，需准确对每个选项进行判断。
【难度系数】
0.7
3. 下列计算正确的是(
A.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{15}$
D.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{9}=2$
C
).A.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{15}$
D.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{9}=2$
答案
3. C 【点拨】本题考查二次根式的运算,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.
【解析】A.2 和$\sqrt{2}$不能合并,故 A 项不符合题意;B.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$,故B 项不符合题意;C.$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{15}$,故 C 项符合题意;D.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{9} =\sqrt{2}$,故 D 项不符合题意. 故选 C.
【解析】A.2 和$\sqrt{2}$不能合并,故 A 项不符合题意;B.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$,故B 项不符合题意;C.$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{15}$,故 C 项符合题意;D.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{9} =\sqrt{2}$,故 D 项不符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
要判断各选项计算是否正确，需依据二次根式的运算法则：①二次根式加减时，只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并；②二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$；③二次根式除法法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a≥0,b＞0)$。接下来逐个分析选项即可。
【解析】
A选项：2是整数，$\sqrt{2}$是最简二次根式，两者不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B选项：根据二次根式减法法则，$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ≠ 3$，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3 × 5} = \sqrt{15}$，计算正确，故C符合题意；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{18} ÷ \sqrt{9} = \sqrt{18 ÷ 9} = \sqrt{2} ≠ 2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，核心是掌握二次根式的加减、乘除运算法则，需注意同类二次根式的合并条件，避免运算时的常见错误，是二次根式章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断各选项计算是否正确，需依据二次根式的运算法则：①二次根式加减时，只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并；②二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$；③二次根式除法法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a≥0,b＞0)$。接下来逐个分析选项即可。
【解析】
A选项：2是整数，$\sqrt{2}$是最简二次根式，两者不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B选项：根据二次根式减法法则，$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ≠ 3$，故B错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{3 × 5} = \sqrt{15}$，计算正确，故C符合题意；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{18} ÷ \sqrt{9} = \sqrt{18 ÷ 9} = \sqrt{2} ≠ 2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，核心是掌握二次根式的加减、乘除运算法则，需注意同类二次根式的合并条件，避免运算时的常见错误，是二次根式章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 用下列长度的线段首尾相连构成三角形,其中不能构成直角三角形的是(
A.7,24,25
B.4,5,$\sqrt{41}$
C.$\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}$
D.40,50,60
D
).A.7,24,25
B.4,5,$\sqrt{41}$
C.$\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}$
D.40,50,60
答案
4. D 【点拨】本题考查勾股定理的逆定理.
【解析】A.$7^2 +24^2 =25^2$,故能构成直角三角形,不符合题意;B.$4^2 +5^2 =( \sqrt{41})^2$,故能构成直角三角形,不符合题意;C.$(\dfrac{3}{4})^2 +1^2 =(\dfrac{5}{4})^2$,故能构成直角三角形,不符合题意;D.$40^2 +50^2 ≠60^2$,故不能构成直角三角形,符合题意. 故选 D.
【解析】A.$7^2 +24^2 =25^2$,故能构成直角三角形,不符合题意;B.$4^2 +5^2 =( \sqrt{41})^2$,故能构成直角三角形,不符合题意;C.$(\dfrac{3}{4})^2 +1^2 =(\dfrac{5}{4})^2$,故能构成直角三角形,不符合题意;D.$40^2 +50^2 ≠60^2$,故不能构成直角三角形,符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
要判断给定长度的线段能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时，对每个选项先确定最长边，再计算两条较短边的平方和，与最长边的平方对比，不相等则不能构成直角三角形，反之则可以。
【解析】
A选项：最长边为25，计算得$7^2 +24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足$7^2 +24^2=25^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
B选项：最长边为$\sqrt{41}$，计算得$4^2 +5^2=16+25=41$，$(\sqrt{41})^2=41$，满足$4^2 +5^2=(\sqrt{41})^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
C选项：最长边为$\frac{5}{4}$，计算得$(\frac{3}{4})^2 +1^2=\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}$，$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，满足$(\frac{3}{4})^2 +1^2=(\frac{5}{4})^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
D选项：最长边为60，计算得$40^2 +50^2=1600+2500=4100$，$60^2=3600$，$4100≠3600$，不能构成直角三角形，符合题意。故选D。
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【点评】本题考查勾股定理逆定理的应用，核心是通过边的平方和关系判断直角三角形，属于基础题型，需准确计算各边平方。
【难度系数】0.7
要判断给定长度的线段能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时，对每个选项先确定最长边，再计算两条较短边的平方和，与最长边的平方对比，不相等则不能构成直角三角形，反之则可以。
【解析】
A选项：最长边为25，计算得$7^2 +24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足$7^2 +24^2=25^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
B选项：最长边为$\sqrt{41}$，计算得$4^2 +5^2=16+25=41$，$(\sqrt{41})^2=41$，满足$4^2 +5^2=(\sqrt{41})^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
C选项：最长边为$\frac{5}{4}$，计算得$(\frac{3}{4})^2 +1^2=\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}$，$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，满足$(\frac{3}{4})^2 +1^2=(\frac{5}{4})^2$，能构成直角三角形，不符合题意；
D选项：最长边为60，计算得$40^2 +50^2=1600+2500=4100$，$60^2=3600$，$4100≠3600$，不能构成直角三角形，符合题意。故选D。
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【点评】本题考查勾股定理逆定理的应用，核心是通过边的平方和关系判断直角三角形，属于基础题型，需准确计算各边平方。
【难度系数】0.7
5. 已知$\sqrt{18 - n}$是整数,则自然数$n$不可能是(
A.2
B.10
C.14
D.17
B
).A.2
B.10
C.14
D.17
答案
5. B 【点拨】本题考查二次根式的化简,掌握二次根式值为整数的条件是解题的关键.
【解析】A. 当$n=2$时,$\sqrt{18-n}=\sqrt{18-2}=\sqrt{16}=4$,是整数,故此项不符合题意;B. 当$n=10$时,$\sqrt{18-n}=\sqrt{18-10}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,不是整数,故此项符合题意;C. 当$n=14$时,$\sqrt{18-n}=\sqrt{18-14}=\sqrt{4}=2$,是整数,故此项不符合题意;D. 当$n=17$时,$\sqrt{18-n}=\sqrt{18-17}=\sqrt{1}=1$,是整数,故此项不符合题意. 故选 B.
【解析】A. 当$n=2$时,$\sqrt{18-n}=\sqrt{18-2}=\sqrt{16}=4$,是整数,故此项不符合题意;B. 当$n=10$时,$\sqrt{18-n}=\sqrt{18-10}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,不是整数,故此项符合题意;C. 当$n=14$时,$\sqrt{18-n}=\sqrt{18-14}=\sqrt{4}=2$,是整数,故此项不符合题意;D. 当$n=17$时,$\sqrt{18-n}=\sqrt{18-17}=\sqrt{1}=1$,是整数,故此项不符合题意. 故选 B.
解析
【分析】要解决本题，需紧扣“$\sqrt{18 - n}$是整数”的条件，将每个选项中的自然数$n$代入二次根式，计算$\sqrt{18 - n}$的结果，判断结果是否为整数，进而选出不符合条件（即不可能）的选项。
【解析】分别将各选项的$n$值代入$\sqrt{18 - n}$计算：
A. 当$n=2$时，$\sqrt{18 - 2}=\sqrt{16}=4$，4是整数，不符合题意；
B. 当$n=10$时，$\sqrt{18 - 10}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$不是整数，符合题意；
C. 当$n=14$时，$\sqrt{18 - 14}=\sqrt{4}=2$，2是整数，不符合题意；
D. 当$n=17$时，$\sqrt{18 - 17}=\sqrt{1}=1$，1是整数，不符合题意；
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】二次根式化简、整数的判断
【点评】本题为基础选择题，考查二次根式值为整数的判断，通过代入验证即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】分别将各选项的$n$值代入$\sqrt{18 - n}$计算：
A. 当$n=2$时，$\sqrt{18 - 2}=\sqrt{16}=4$，4是整数，不符合题意；
B. 当$n=10$时，$\sqrt{18 - 10}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$不是整数，符合题意；
C. 当$n=14$时，$\sqrt{18 - 14}=\sqrt{4}=2$，2是整数，不符合题意；
D. 当$n=17$时，$\sqrt{18 - 17}=\sqrt{1}=1$，1是整数，不符合题意；
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】二次根式化简、整数的判断
【点评】本题为基础选择题，考查二次根式值为整数的判断，通过代入验证即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.8
6. 一个四边形,截一刀后得到新多边形的内角和将(
A.增加 $180°$
B.减少 $180°$
C.不变
D.以上三种情况都有可能
D
).A.增加 $180°$
B.减少 $180°$
C.不变
D.以上三种情况都有可能
答案
6. D 【点拨】本题考查多边形的内角和.
【解析】一个四边形截一刀后得到的新多边形有三种情况:三角形、四边形、五边形,内角和变化分别为减少$180°$,不变,增加$180°$. 故选 D.
【解析】一个四边形截一刀后得到的新多边形有三种情况:三角形、四边形、五边形,内角和变化分别为减少$180°$,不变,增加$180°$. 故选 D.
解析
【分析】要解决这道题，首先需牢记多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为多边形边数，$n≥3$）；其次，四边形截一刀时，截的位置不同，得到的新多边形边数会有三种可能，需逐一分析每种情况的内角和变化，才能得出正确结论。
【解析】多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，原四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$。四边形截一刀后分三种情况：
1. 若截线经过四边形的两个相邻顶点，得到的新多边形是三角形，内角和为$(3-2)×180°=180°$，相比原四边形内角和减少$180°$；
2. 若截线经过四边形的一个顶点和对边的非顶点，得到的新多边形仍是四边形，内角和仍为$360°$，与原四边形内角和不变；
3. 若截线经过四边形相邻两边的非顶点，得到的新多边形是五边形，内角和为$(5-2)×180°=540°$，相比原四边形内角和增加$180°$。
因此内角和的变化有增加、减少、不变三种情况，故选D。
【答案】D
【知识点】多边形内角和公式、多边形的分割
【点评】本题考查多边形内角和的应用，核心是考虑四边形截一刀后的所有可能情况，避免漏解，需全面分析不同截法对应的多边形边数变化，进而判断内角和的变化。
【难度系数】0.6
【解析】多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，原四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$。四边形截一刀后分三种情况：
1. 若截线经过四边形的两个相邻顶点，得到的新多边形是三角形，内角和为$(3-2)×180°=180°$，相比原四边形内角和减少$180°$；
2. 若截线经过四边形的一个顶点和对边的非顶点，得到的新多边形仍是四边形，内角和仍为$360°$，与原四边形内角和不变；
3. 若截线经过四边形相邻两边的非顶点，得到的新多边形是五边形，内角和为$(5-2)×180°=540°$，相比原四边形内角和增加$180°$。
因此内角和的变化有增加、减少、不变三种情况，故选D。
【答案】D
【知识点】多边形内角和公式、多边形的分割
【点评】本题考查多边形内角和的应用，核心是考虑四边形截一刀后的所有可能情况，避免漏解，需全面分析不同截法对应的多边形边数变化，进而判断内角和的变化。
【难度系数】0.6
7. 如图,在矩形ABCD中,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN分别交AD,BC于点F,E,连接AE,CF,若$∠DAE=48°$,则$∠EFC$的度数为(
A.$60°$
B.$62°$
C.$64°$
D.$66°$
D
).A.$60°$
B.$62°$
C.$64°$
D.$66°$
答案
7. D 【点拨】本题考查作图——基本作图,线段垂直平分线的性质,矩形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,解题的关键是理解题意、灵活运用所学知识解决问题.
【解析】如题图,设$EF$交$AC$于点$O$. 由作图过程可知,直线$MN$为线段$AC$的垂直平分线,则$OA=OC$. $\because$ 四边形$ABCD$为矩形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠FAO = ∠ECO$,$∠AFO = ∠CEO$,$\therefore △AOF≌△COE(\mathrm{AAS})$,$\therefore AF = CE$,$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形. 又$\because EF$垂直平分$AC$,$\therefore ∠EFC =\dfrac{1}{2}∠AFC$. $\because ∠DAE=48°$,$\therefore ∠AFC = 180° - ∠DAE = 180° - 48° = 132°$,$\therefore ∠EFC=\dfrac{1}{2}∠AFC=\dfrac{1}{2}×132°=66°$. 故选 D.
【解析】如题图,设$EF$交$AC$于点$O$. 由作图过程可知,直线$MN$为线段$AC$的垂直平分线,则$OA=OC$. $\because$ 四边形$ABCD$为矩形,$\therefore AD// BC$,$\therefore ∠FAO = ∠ECO$,$∠AFO = ∠CEO$,$\therefore △AOF≌△COE(\mathrm{AAS})$,$\therefore AF = CE$,$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形. 又$\because EF$垂直平分$AC$,$\therefore ∠EFC =\dfrac{1}{2}∠AFC$. $\because ∠DAE=48°$,$\therefore ∠AFC = 180° - ∠DAE = 180° - 48° = 132°$,$\therefore ∠EFC=\dfrac{1}{2}∠AFC=\dfrac{1}{2}×132°=66°$. 故选 D.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确作图得到的直线MN是线段AC的垂直平分线，这是解题的关键。接着利用矩形对边平行的性质，结合垂直平分线得到的线段相等，通过全等三角形证明四边形AECF是平行四边形，再结合垂直平分线推出该四边形为菱形，最后利用菱形的性质和角度关系计算出∠EFC的度数。
【解析】
1. 由作图过程可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，因此OA=OC，且EF⊥AC。
2. 因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，根据平行线的内错角相等，可得∠FAO=∠ECO，∠AFO=∠CEO。
3. 在△AOF和△COE中，$\{\begin{array}{l}∠FAO=∠ECO \\ ∠AFO=∠CEO \\ OA=OC\end{array} $，所以△AOF≌△COE（AAS），进而得到AF=CE。
4. 由于AF//CE且AF=CE，所以四边形AECF是平行四边形。
5. 又因为EF垂直平分AC，所以AF=CF，因此平行四边形AECF是菱形，根据菱形的性质，对角线平分内角，故∠EFC=$\frac{1}{2}$∠AFC。
6. 已知∠DAE=48°，结合AD//BC的性质，可得∠AFC=180°-∠DAE=132°，因此∠EFC=$\frac{1}{2}$×132°=66°。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质
【点评】
本题将基本作图、矩形性质、全等三角形、平行四边形及菱形的判定与性质相结合，综合性较强，要求学生能熟练运用几何性质推导图形关系，逐步求解角度，是一道典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先需明确作图得到的直线MN是线段AC的垂直平分线，这是解题的关键。接着利用矩形对边平行的性质，结合垂直平分线得到的线段相等，通过全等三角形证明四边形AECF是平行四边形，再结合垂直平分线推出该四边形为菱形，最后利用菱形的性质和角度关系计算出∠EFC的度数。
【解析】
1. 由作图过程可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，因此OA=OC，且EF⊥AC。
2. 因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，根据平行线的内错角相等，可得∠FAO=∠ECO，∠AFO=∠CEO。
3. 在△AOF和△COE中，$\{\begin{array}{l}∠FAO=∠ECO \\ ∠AFO=∠CEO \\ OA=OC\end{array} $，所以△AOF≌△COE（AAS），进而得到AF=CE。
4. 由于AF//CE且AF=CE，所以四边形AECF是平行四边形。
5. 又因为EF垂直平分AC，所以AF=CF，因此平行四边形AECF是菱形，根据菱形的性质，对角线平分内角，故∠EFC=$\frac{1}{2}$∠AFC。
6. 已知∠DAE=48°，结合AD//BC的性质，可得∠AFC=180°-∠DAE=132°，因此∠EFC=$\frac{1}{2}$×132°=66°。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质
【点评】
本题将基本作图、矩形性质、全等三角形、平行四边形及菱形的判定与性质相结合，综合性较强，要求学生能熟练运用几何性质推导图形关系，逐步求解角度，是一道典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5
