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8. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺. 引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂，触地后多余部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长$ x $尺，可列方程为(
A.$ x^2 + 8^2 = (x + 3)^2 $
B.$ (x - 3)^2 + x^2 = 8^2 $
C.$ (x - 3)^2 + 8^2 = x^2 $
D.$ (x + 3)^2 + x^2 = 8^2 $
C
).A.$ x^2 + 8^2 = (x + 3)^2 $
B.$ (x - 3)^2 + x^2 = 8^2 $
C.$ (x - 3)^2 + 8^2 = x^2 $
D.$ (x + 3)^2 + x^2 = 8^2 $
答案
8. C 【点拨】本题考查勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
【解析】由题意,可得$(x-3)^2 +8^2 =x^2$. 故选 C.
【解析】由题意,可得$(x-3)^2 +8^2 =x^2$. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先将古代数学问题转化为直角三角形模型：设绳索长为$ x $尺，根据题意，木柱的高度等于绳索长度减去多余的3尺，即$(x-3)$尺；当拉绳索退行到离木柱根部8尺处时，木柱、地面退行距离、绳索构成直角三角形，其中木柱高度和退行距离是两条直角边，绳索是斜边。结合勾股定理的内容即可列出方程。
【解析】
设绳索长$ x $尺，由题意得木柱高度为$(x-3)$尺，退行距离为8尺，绳索为斜边，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得方程：$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理应用
【点评】
本题将古代数学问题转化为直角三角形模型，考查勾股定理的实际应用，关键是明确直角三角形各边的对应关系，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先将古代数学问题转化为直角三角形模型：设绳索长为$ x $尺，根据题意，木柱的高度等于绳索长度减去多余的3尺，即$(x-3)$尺；当拉绳索退行到离木柱根部8尺处时，木柱、地面退行距离、绳索构成直角三角形，其中木柱高度和退行距离是两条直角边，绳索是斜边。结合勾股定理的内容即可列出方程。
【解析】
设绳索长$ x $尺，由题意得木柱高度为$(x-3)$尺，退行距离为8尺，绳索为斜边，根据勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得方程：$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理应用
【点评】
本题将古代数学问题转化为直角三角形模型，考查勾股定理的实际应用，关键是明确直角三角形各边的对应关系，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.6
9. 如图,将两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重叠部分构成一个四边形ABCD,对角线AC=4 cm,BD=2 cm,过点D作DH⊥AB于点H,则DH的长是(
A.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{8}{5}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$
B
).A.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{8}{5}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$
答案
9. B 【点拨】本题考查菱形的判定和性质,勾股定理的应用,等面积法的应用. 正确作出辅助线,构造直角三角形使用勾股定理是解题的关键.
【解析】如题图,过点$D$作$DF⊥BC$于点$F$,设$AC$,$BD$交于点$O$.$\because$ 两张纸宽度相同,$\therefore DH = DF$. $\because AB// CD$,$AD// BC$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形. $\because S_{▱ABCD}=AB· DH = BC· DF$. 又$\because DH = DF$,$\therefore AB = BC$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形,$\therefore OB = OD =\dfrac{1}{2}BD =1\ \mathrm{cm}$,$OA = OC =\dfrac{1}{2}AC=2\ \mathrm{cm}$,$AC ⊥ BD$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△AOB$中,$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 +1^2} =\sqrt{5}(\mathrm{cm})$,$\therefore AB· DH =\dfrac{1}{2}AC· BD$,即$\sqrt{5}· DH =\dfrac{1}{2}×4×2$,$\therefore DH =\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$,$\therefore DH$的长是$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$. 故选 B.
【解析】如题图,过点$D$作$DF⊥BC$于点$F$,设$AC$,$BD$交于点$O$.$\because$ 两张纸宽度相同,$\therefore DH = DF$. $\because AB// CD$,$AD// BC$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形. $\because S_{▱ABCD}=AB· DH = BC· DF$. 又$\because DH = DF$,$\therefore AB = BC$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形,$\therefore OB = OD =\dfrac{1}{2}BD =1\ \mathrm{cm}$,$OA = OC =\dfrac{1}{2}AC=2\ \mathrm{cm}$,$AC ⊥ BD$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△AOB$中,$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 +1^2} =\sqrt{5}(\mathrm{cm})$,$\therefore AB· DH =\dfrac{1}{2}AC· BD$,即$\sqrt{5}· DH =\dfrac{1}{2}×4×2$,$\therefore DH =\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$,$\therefore DH$的长是$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{cm}$. 故选 B.
解析
【分析】
要解决本题，需先判断重叠四边形ABCD的形状：根据两张等宽纸条对边平行，可确定其为平行四边形；再利用“等宽即点到两边距离相等”结合平行四边形面积公式，推出邻边相等，进而判定为菱形；接着利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合已知对角线长度算出菱形边长；最后通过菱形面积的两种计算方式（底×高、对角线乘积的一半）建立等式，求出高DH的长度。
【解析】
1. 过点D作DF⊥BC于点F，设AC、BD交于点O。
2. 因为两张纸条宽度相同，所以点D到AB、BC的距离相等，即DH = DF。
3. 由纸条对边平行，得AB//CD，AD//BC，故四边形ABCD是平行四边形。
4. 平行四边形面积S = AB·DH = BC·DF，结合DH = DF，可得AB = BC，因此平行四边形ABCD是菱形。
5. 菱形的对角线互相垂直平分，所以OB = OD = 1/2 BD = 1 cm，OA = OC = 1/2 AC = 2 cm，且AC⊥BD。
6. 在Rt△AOB中，由勾股定理得AB = √(OA² + OB²) = √(2² + 1²) = √5 cm。
7. 菱形面积也可表示为S = 1/2 AC·BD，因此AB·DH = 1/2 × AC × BD，代入数值：√5·DH = 1/2 × 4 × 2 = 4，解得DH = 4√5/5 cm。
【答案】
4√5/5 cm
【知识点】
菱形的判定与性质、勾股定理、等面积法
【点评】
本题以等宽纸条交叉的几何模型为载体，综合考查菱形的判定与性质、勾股定理及等面积法的应用，核心是先判定四边形为菱形，再利用面积的不同表示建立关系求解，是初中几何的典型中档题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先判断重叠四边形ABCD的形状：根据两张等宽纸条对边平行，可确定其为平行四边形；再利用“等宽即点到两边距离相等”结合平行四边形面积公式，推出邻边相等，进而判定为菱形；接着利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合已知对角线长度算出菱形边长；最后通过菱形面积的两种计算方式（底×高、对角线乘积的一半）建立等式，求出高DH的长度。
【解析】
1. 过点D作DF⊥BC于点F，设AC、BD交于点O。
2. 因为两张纸条宽度相同，所以点D到AB、BC的距离相等，即DH = DF。
3. 由纸条对边平行，得AB//CD，AD//BC，故四边形ABCD是平行四边形。
4. 平行四边形面积S = AB·DH = BC·DF，结合DH = DF，可得AB = BC，因此平行四边形ABCD是菱形。
5. 菱形的对角线互相垂直平分，所以OB = OD = 1/2 BD = 1 cm，OA = OC = 1/2 AC = 2 cm，且AC⊥BD。
6. 在Rt△AOB中，由勾股定理得AB = √(OA² + OB²) = √(2² + 1²) = √5 cm。
7. 菱形面积也可表示为S = 1/2 AC·BD，因此AB·DH = 1/2 × AC × BD，代入数值：√5·DH = 1/2 × 4 × 2 = 4，解得DH = 4√5/5 cm。
【答案】
4√5/5 cm
【知识点】
菱形的判定与性质、勾股定理、等面积法
【点评】
本题以等宽纸条交叉的几何模型为载体，综合考查菱形的判定与性质、勾股定理及等面积法的应用，核心是先判定四边形为菱形，再利用面积的不同表示建立关系求解，是初中几何的典型中档题。
【难度系数】
0.5
10. 如图,从一个含$60°$内角的大菱形中截去两个面积分别为$S_1$和$S_2$的两个平行四边形,若阴影部分的周长和面积分别是$4\sqrt{3}+8\sqrt{6}$和$6\sqrt{6}$,则$S_1+S_2$的值是(
A.$\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$
B.$\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{27}{4}$
D.$\dfrac{27}{2}$
B
).A.$\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$
B.$\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{27}{4}$
D.$\dfrac{27}{2}$
答案
10. B 【点拨】本题考查菱形的性质,平行四边形的性质,解题的关键是掌握相关性质并灵活运用.
【解析】设含$60°$内角的大菱形的边长为$a$,内角为$60°$,其面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
$\because$ 阴影部分的面积为$6\sqrt{6}$,$\therefore S_1 + S_2 =\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2 -6\sqrt{6}$,阴影部分的周长为$4\sqrt{3} +8\sqrt{6}$. 根据题意可得阴影部分的周长 = 菱形的周长,$\therefore$ 大菱形的边长为$(4\sqrt{3} +8\sqrt{6}) ÷4 =\sqrt{3} +2\sqrt{6}$,此时大菱形的面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3} +2\sqrt{6})^2 =\dfrac{\sqrt{3}}{2}(3 +12\sqrt{2} +24) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}(27 +12\sqrt{2}) =\dfrac{27\sqrt{3}}{2} +6\sqrt{6}$. 故$S_1 + S_2 =\dfrac{27\sqrt{3}}{2} +6\sqrt{6} -6\sqrt{6} =\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$. 故选 B.
【解析】设含$60°$内角的大菱形的边长为$a$,内角为$60°$,其面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
$\because$ 阴影部分的面积为$6\sqrt{6}$,$\therefore S_1 + S_2 =\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2 -6\sqrt{6}$,阴影部分的周长为$4\sqrt{3} +8\sqrt{6}$. 根据题意可得阴影部分的周长 = 菱形的周长,$\therefore$ 大菱形的边长为$(4\sqrt{3} +8\sqrt{6}) ÷4 =\sqrt{3} +2\sqrt{6}$,此时大菱形的面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3} +2\sqrt{6})^2 =\dfrac{\sqrt{3}}{2}(3 +12\sqrt{2} +24) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}(27 +12\sqrt{2}) =\dfrac{27\sqrt{3}}{2} +6\sqrt{6}$. 故$S_1 + S_2 =\dfrac{27\sqrt{3}}{2} +6\sqrt{6} -6\sqrt{6} =\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$. 故选 B.
解析
【分析】
要解决本题，首先观察图形可知：截去两个平行四边形后，阴影部分的周长等于原大菱形的周长，据此可先通过阴影部分的周长求出大菱形的边长；再利用含60°内角的菱形面积公式计算大菱形的面积；最后根据“大菱形面积 = S₁ + S₂ + 阴影部分面积”，即可求出S₁ + S₂的值。
【解析】
设含60°内角的大菱形的边长为$a$，根据菱形周长公式，大菱形周长为$4a$。
由题意，阴影部分周长等于大菱形周长，已知阴影部分周长为$4\sqrt{3} + 8\sqrt{6}$，因此：
$4a = 4\sqrt{3} + 8\sqrt{6}$，解得$a = \sqrt{3} + 2\sqrt{6}$。
含60°内角的菱形面积公式为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$，将$a = \sqrt{3} + 2\sqrt{6}$代入得：
大菱形面积$=\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2$
展开计算：$(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = 3 + 12\sqrt{2} + 24 = 27 + 12\sqrt{2}$
所以大菱形面积$=\frac{\sqrt{3}}{2}(27 + 12\sqrt{2}) = \frac{27\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{6}$。
又因为大菱形面积 = $S₁ + S₂ +$阴影部分面积，已知阴影部分面积为$6\sqrt{6}$，因此：
$S₁ + S₂ = $大菱形面积 - 阴影部分面积$= (\frac{27\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{6}) - 6\sqrt{6} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、菱形面积计算、平行四边形的性质
【点评】
本题结合菱形和平行四边形的性质，考查周长与面积的计算，关键在于发现阴影部分周长与大菱形周长的等量关系，以及大菱形面积与各部分面积的和差关系，需熟练运用菱形的相关公式。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先观察图形可知：截去两个平行四边形后，阴影部分的周长等于原大菱形的周长，据此可先通过阴影部分的周长求出大菱形的边长；再利用含60°内角的菱形面积公式计算大菱形的面积；最后根据“大菱形面积 = S₁ + S₂ + 阴影部分面积”，即可求出S₁ + S₂的值。
【解析】
设含60°内角的大菱形的边长为$a$，根据菱形周长公式，大菱形周长为$4a$。
由题意，阴影部分周长等于大菱形周长，已知阴影部分周长为$4\sqrt{3} + 8\sqrt{6}$，因此：
$4a = 4\sqrt{3} + 8\sqrt{6}$，解得$a = \sqrt{3} + 2\sqrt{6}$。
含60°内角的菱形面积公式为$\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$，将$a = \sqrt{3} + 2\sqrt{6}$代入得：
大菱形面积$=\frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2$
展开计算：$(\sqrt{3} + 2\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = 3 + 12\sqrt{2} + 24 = 27 + 12\sqrt{2}$
所以大菱形面积$=\frac{\sqrt{3}}{2}(27 + 12\sqrt{2}) = \frac{27\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{6}$。
又因为大菱形面积 = $S₁ + S₂ +$阴影部分面积，已知阴影部分面积为$6\sqrt{6}$，因此：
$S₁ + S₂ = $大菱形面积 - 阴影部分面积$= (\frac{27\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{6}) - 6\sqrt{6} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、菱形面积计算、平行四边形的性质
【点评】
本题结合菱形和平行四边形的性质，考查周长与面积的计算，关键在于发现阴影部分周长与大菱形周长的等量关系，以及大菱形面积与各部分面积的和差关系，需熟练运用菱形的相关公式。
【难度系数】
0.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 计算: $\sqrt{(-2)^2} = \_\_\_\_\_\_$.
11. 计算: $\sqrt{(-2)^2} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
11. 2 【点拨】本题考查二次根式的运算,掌握二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$是解题的关键.
【解析】$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$. 故答案为2.
【解析】$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$. 故答案为2.
解析
【分析】本题考查二次根式的运算，解题关键是牢记二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，二次根式的结果具有非负性，不能直接将平方与开根号的结果算为负数。可直接利用性质转化计算，也可先算被开方数的平方再求二次根式的值。
【解析】根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将$a=-2$代入得：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$。
【答案】2
【知识点】二次根式的性质
【点评】本题是二次根式运算的基础题，核心考查对$\sqrt{a^2}=|a|$这一性质的掌握，易错点是忽略二次根式的非负性，误将结果算为-2，牢记性质即可轻松解答。
【难度系数】0.8
【解析】根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将$a=-2$代入得：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$。
【答案】2
【知识点】二次根式的性质
【点评】本题是二次根式运算的基础题，核心考查对$\sqrt{a^2}=|a|$这一性质的掌握，易错点是忽略二次根式的非负性，误将结果算为-2，牢记性质即可轻松解答。
【难度系数】0.8
12. 如图，$CD=1$，$∠ BCD=90°$，若数轴上点$A$所表示的数为$a$，则$a$的值为________。
答案
12. $\sqrt{5}$ 【点拨】本题考查实数与数轴,勾股定理,解题的关键是掌握数轴的知识,勾股定理.
【解析】由勾股定理,得$BD = \sqrt{2^2 +1^2} =\sqrt{5}$,$\therefore BA = BD =\sqrt{5}$.
$\because B$为原点$O$,$\therefore$ 点$A$所表示的数为$\sqrt{5}$,即$a$的值为$\sqrt{5}$. 故答案为$\sqrt{5}$.
【解析】由勾股定理,得$BD = \sqrt{2^2 +1^2} =\sqrt{5}$,$\therefore BA = BD =\sqrt{5}$.
$\because B$为原点$O$,$\therefore$ 点$A$所表示的数为$\sqrt{5}$,即$a$的值为$\sqrt{5}$. 故答案为$\sqrt{5}$.
解析
【分析】要确定数轴上点A表示的数，需先求出线段BA的长度。观察图形可知BA与BD长度相等，因此只需计算BD的长度。BD在直角三角形BCD中，已知直角边BC和CD的长度，可利用勾股定理求出BD，进而得到BA的长度，结合点B是原点，即可确定点A表示的数。
【解析】在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由数轴可知BC=2，CD=1。根据勾股定理，斜边BD的长度为：$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。由图形的等量关系可知$BA = BD = \sqrt{5}$，又因为点B为数轴原点，点A在原点右侧，所以点A所表示的数为$\sqrt{5}$，即$a = \sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】实数与数轴、勾股定理
【点评】本题将勾股定理与数轴结合，考查数形结合思想的应用，核心是利用勾股定理计算线段长度，再结合数轴的性质确定点对应的数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由数轴可知BC=2，CD=1。根据勾股定理，斜边BD的长度为：$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。由图形的等量关系可知$BA = BD = \sqrt{5}$，又因为点B为数轴原点，点A在原点右侧，所以点A所表示的数为$\sqrt{5}$，即$a = \sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】实数与数轴、勾股定理
【点评】本题将勾股定理与数轴结合，考查数形结合思想的应用，核心是利用勾股定理计算线段长度，再结合数轴的性质确定点对应的数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
13. 已知$x=\sqrt{5}-1$，则$x^2 + 2x - 7 =$.
答案
13. -3 【点拨】本题考查代数式的化简和求值,应用完全平方公式进行巧妙化简是解题的关键.
【解析】$\because x=\sqrt{5}-1$,$\therefore x^2 +2x -7 =x^2 +2x +1 -8 =(x+1)^2 -8 =(\sqrt{5}-1 +1)^2 -8 =5 -8 =-3$. 故答案为-3.
【解析】$\because x=\sqrt{5}-1$,$\therefore x^2 +2x -7 =x^2 +2x +1 -8 =(x+1)^2 -8 =(\sqrt{5}-1 +1)^2 -8 =5 -8 =-3$. 故答案为-3.
解析
【分析】
本题是代数式求值问题，解题思路是通过配方法对所求代数式变形，利用完全平方公式简化计算，避免直接代入复杂展开的繁琐步骤。具体来说，观察到所求代数式$x^2 + 2x -7$可凑成完全平方形式，结合已知$x=\sqrt{5}-1$，凑出$(x+1)$的形式后代入计算即可快速得到结果。
【解析】
已知$x=\sqrt{5}-1$，对$x^2 + 2x -7$进行配方变形：
$x^2 + 2x -7 = x^2 + 2x +1 -8 = (x+1)^2 -8$
将$x=\sqrt{5}-1$代入，得$x+1=\sqrt{5}$，因此：
$(x+1)^2 -8 = (\sqrt{5})^2 -8 =5 -8 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
代数式化简求值、完全平方公式
【点评】
本题考查代数式求值的常用技巧——配方法，通过凑完全平方简化计算，核心是灵活运用完全平方公式，避免复杂运算，属于基础题型，能较好地考查学生对公式的掌握程度。
【难度系数】
0.6
本题是代数式求值问题，解题思路是通过配方法对所求代数式变形，利用完全平方公式简化计算，避免直接代入复杂展开的繁琐步骤。具体来说，观察到所求代数式$x^2 + 2x -7$可凑成完全平方形式，结合已知$x=\sqrt{5}-1$，凑出$(x+1)$的形式后代入计算即可快速得到结果。
【解析】
已知$x=\sqrt{5}-1$，对$x^2 + 2x -7$进行配方变形：
$x^2 + 2x -7 = x^2 + 2x +1 -8 = (x+1)^2 -8$
将$x=\sqrt{5}-1$代入，得$x+1=\sqrt{5}$，因此：
$(x+1)^2 -8 = (\sqrt{5})^2 -8 =5 -8 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
代数式化简求值、完全平方公式
【点评】
本题考查代数式求值的常用技巧——配方法，通过凑完全平方简化计算，核心是灵活运用完全平方公式，避免复杂运算，属于基础题型，能较好地考查学生对公式的掌握程度。
【难度系数】
0.6
14. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB$ 于点 $D, ∠ ACD = 4∠ BCD, E$ 是斜边 $AB$ 的中点,则 $∠ DCE$ 的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
14. 54° 【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线,熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键.
【解析】$\because ∠ACB=90°$,$∠ACD=4∠BCD$,$\therefore ∠BCD =\dfrac{1}{5}∠ACB =\dfrac{1}{5}×90°=18°$. $\because CD ⊥ AB$,$\therefore ∠CDB=90°$,$\therefore ∠B=90°-∠BCD=90°-18°=72°$. $\because E$是斜边$AB$的中点,$\therefore CE = BE =\dfrac{1}{2}AB$,$\therefore ∠B = ∠BCE=72°$,$\therefore ∠DCE = ∠BCE - ∠BCD =72°-18°=54°$. 故答案为54°.
【解析】$\because ∠ACB=90°$,$∠ACD=4∠BCD$,$\therefore ∠BCD =\dfrac{1}{5}∠ACB =\dfrac{1}{5}×90°=18°$. $\because CD ⊥ AB$,$\therefore ∠CDB=90°$,$\therefore ∠B=90°-∠BCD=90°-18°=72°$. $\because E$是斜边$AB$的中点,$\therefore CE = BE =\dfrac{1}{2}AB$,$\therefore ∠B = ∠BCE=72°$,$\therefore ∠DCE = ∠BCE - ∠BCD =72°-18°=54°$. 故答案为54°.
解析
【分析】要计算∠DCE的度数，需逐步推导：首先根据∠ACB=90°和∠ACD与∠BCD的数量关系求出∠BCD；再利用CD⊥AB，在直角三角形BCD中求出∠B；接着利用直角三角形斜边中线的性质，得到CE=BE，从而得出∠B=∠BCE；最后通过∠BCE与∠BCD的差求出∠DCE。
【解析】
1. 已知∠ACB=90°，且∠ACD=4∠BCD，因此∠BCD + ∠ACD = ∠ACB=90°，即5∠BCD=90°，解得∠BCD=18°。
2. 因为CD⊥AB，所以∠CDB=90°，在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD=90°，代入∠BCD=18°，得∠B=90°-18°=72°。
3. 由于E是Rt△ABC斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得CE=BE=½AB，因此∠B=∠BCE=72°。
4. 所以∠DCE=∠BCE - ∠BCD=72°-18°=54°。
【答案】54°
【知识点】直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】本题考查直角三角形的性质应用，核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，进而计算角度，属于基础几何题，需熟练掌握直角三角形的相关性质。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 已知∠ACB=90°，且∠ACD=4∠BCD，因此∠BCD + ∠ACD = ∠ACB=90°，即5∠BCD=90°，解得∠BCD=18°。
2. 因为CD⊥AB，所以∠CDB=90°，在Rt△BCD中，∠B + ∠BCD=90°，代入∠BCD=18°，得∠B=90°-18°=72°。
3. 由于E是Rt△ABC斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得CE=BE=½AB，因此∠B=∠BCE=72°。
4. 所以∠DCE=∠BCE - ∠BCD=72°-18°=54°。
【答案】54°
【知识点】直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】本题考查直角三角形的性质应用，核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，进而计算角度，属于基础几何题，需熟练掌握直角三角形的相关性质。
【难度系数】0.6
