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15. 如图,在$△ ABC$中,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,BD与CE相交于点O,连接AO并延长交BC于点F,连接DF交EC于点G. 以下结论:①$DF// AE$;②$AO = 2OF$;③$DF ⊥ EC$;④$3S_{△ AEO} = 4S_{△ GFC}$. 其中一定正确的是________(填序号).
答案
15. ①②④ 【点拨】本题考查三角形的中线、重心、中位线,三角形的面积,熟练运用面积转化为线段之间的关系是解题的关键.
【解析】由题意可知,点$O$是$△ABC$的重心,$\therefore AF$是$BC$边上的中线,即$F$是$BC$的中点. $\because D$是$AC$的中点,$\therefore DF$是$△ABC$的中位线,$\therefore DF// AE$. 故①正确;由题可知,$S_{△BOF}=\dfrac{1}{2}S_{△BOC}$,同理可得$S_{△AOE}=\dfrac{1}{2}S_{△AOB}$,$S_{△OAD}=\dfrac{1}{2}S_{△OAC}$. $\because S_{△ABD}=S_{△CBD}$,$\therefore S_{△ABD}-S_{△OAD}=S_{△CBD}-S_{△OCD}$,即$S_{△AOB}=S_{△BOC}$,$\therefore S_{△BOF}=S_{△AOE}=\dfrac{1}{2}S_{△AOB}$. $\because △OBF$和$△OAB$是等高三角形,$\therefore \dfrac{S_{△OAB}}{S_{△OBF}}=\dfrac{AO}{OF}=2$,$\therefore AO=2OF$. 故②正确;$\because DF// AE$,若$DF ⊥ EC$,则$AE ⊥ EC$. $\because CE$是$AB$边上的中线,$\therefore CA=CB$,但题干无法推出此条件. 故③不正确;由①知$DF// AE$,则$FG// AB$. $\because F$是$BC$的中点,$\therefore G$是$CE$的中点. 如题图,连接$EF$,则$S_{△GFC}=\dfrac{1}{2}S_{△CEF}$,由②同理可得$CO=2OE$,$S_{△OBF}=S_{△OFC}=S_{△AEO}$,$\therefore S_{△AEO}=S_{△OFC}=\dfrac{2}{3}S_{△CEF}$,$\therefore \dfrac{S_{△AEO}}{S_{△GFC}}=\dfrac{\dfrac{2}{3}S_{△CEF}}{\dfrac{1}{2}S_{△CEF}}=\dfrac{4}{3}$,$\therefore 3S_{△AEO}=4S_{△GFC}$,故④正确. 综上,一定正确的是①②④. 故答案为①②④.
【解析】由题意可知,点$O$是$△ABC$的重心,$\therefore AF$是$BC$边上的中线,即$F$是$BC$的中点. $\because D$是$AC$的中点,$\therefore DF$是$△ABC$的中位线,$\therefore DF// AE$. 故①正确;由题可知,$S_{△BOF}=\dfrac{1}{2}S_{△BOC}$,同理可得$S_{△AOE}=\dfrac{1}{2}S_{△AOB}$,$S_{△OAD}=\dfrac{1}{2}S_{△OAC}$. $\because S_{△ABD}=S_{△CBD}$,$\therefore S_{△ABD}-S_{△OAD}=S_{△CBD}-S_{△OCD}$,即$S_{△AOB}=S_{△BOC}$,$\therefore S_{△BOF}=S_{△AOE}=\dfrac{1}{2}S_{△AOB}$. $\because △OBF$和$△OAB$是等高三角形,$\therefore \dfrac{S_{△OAB}}{S_{△OBF}}=\dfrac{AO}{OF}=2$,$\therefore AO=2OF$. 故②正确;$\because DF// AE$,若$DF ⊥ EC$,则$AE ⊥ EC$. $\because CE$是$AB$边上的中线,$\therefore CA=CB$,但题干无法推出此条件. 故③不正确;由①知$DF// AE$,则$FG// AB$. $\because F$是$BC$的中点,$\therefore G$是$CE$的中点. 如题图,连接$EF$,则$S_{△GFC}=\dfrac{1}{2}S_{△CEF}$,由②同理可得$CO=2OE$,$S_{△OBF}=S_{△OFC}=S_{△AEO}$,$\therefore S_{△AEO}=S_{△OFC}=\dfrac{2}{3}S_{△CEF}$,$\therefore \dfrac{S_{△AEO}}{S_{△GFC}}=\dfrac{\dfrac{2}{3}S_{△CEF}}{\dfrac{1}{2}S_{△CEF}}=\dfrac{4}{3}$,$\therefore 3S_{△AEO}=4S_{△GFC}$,故④正确. 综上,一定正确的是①②④. 故答案为①②④.
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需结合三角形中线、重心、中位线的性质及面积转化逐步推导：
1. 由BD、CE是AC、AB边上的中线，交点O是△ABC的重心，故AF为BC边上的中线，F是BC中点；结合D是AC中点，DF是△ABC的中位线，可判断①；
2. 根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍），可判断②；
3. 若DF⊥EC需AE⊥EC，题干未给出CA=CB等条件，故③不成立；
4. 利用DF//AE得FG//AB，结合F是BC中点推出G是CE中点，再通过重心的面积关系转化，推导面积比判断④。
【解析】
1. 证明①：
∵ BD、CE分别是AC、AB边上的中线，交点O是△ABC的重心，
∴ AF是BC边上的中线，即F为BC中点。
又
∵ D是AC中点，
∴ DF是△ABC的中位线，
∴ DF//AE，故①正确。
2. 证明②：
根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，
∵ O是△ABC的重心，AF是中线，
∴ AO=2OF，故②正确。
3. 判断③：
若DF⊥EC，结合①中DF//AE，可得AE⊥EC，即CE⊥AB。
但CE是AB边上的中线，仅能说明E是AB中点，无法推出CE⊥AB（需CA=CB时才成立），题干无此条件，故③错误。
4. 证明④：
由①知DF//AE，即FG//AB，
∵ F是BC中点，
∴ G是CE的中点（平行线分线段成比例）。
连接EF，
∵ E是AB中点，F是BC中点，
∴ EF是△ABC的中位线，EF//AC。
根据重心的面积性质，结合AO=2OF、CO=2OE，可得：
S△GFC=½S△CEF，S△AEO=⅔S△CEF，
∴ S△AEO/S△GFC=(⅔S△CEF)/(½S△CEF)=4/3，
即3S△AEO=4S△GFC，故④正确。
综上，一定正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形重心、三角形中位线、三角形面积
【点评】
本题综合考查三角形中线、重心、中位线的性质及面积转化，需熟练运用重心的线段比例和面积关系，以及中位线的平行性质，逐步推导各结论，关键在于理清线段、面积间的关联，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要判断各结论是否正确，需结合三角形中线、重心、中位线的性质及面积转化逐步推导：
1. 由BD、CE是AC、AB边上的中线，交点O是△ABC的重心，故AF为BC边上的中线，F是BC中点；结合D是AC中点，DF是△ABC的中位线，可判断①；
2. 根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍），可判断②；
3. 若DF⊥EC需AE⊥EC，题干未给出CA=CB等条件，故③不成立；
4. 利用DF//AE得FG//AB，结合F是BC中点推出G是CE中点，再通过重心的面积关系转化，推导面积比判断④。
【解析】
1. 证明①：
∵ BD、CE分别是AC、AB边上的中线，交点O是△ABC的重心，
∴ AF是BC边上的中线，即F为BC中点。
又
∵ D是AC中点，
∴ DF是△ABC的中位线，
∴ DF//AE，故①正确。
2. 证明②：
根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，
∵ O是△ABC的重心，AF是中线，
∴ AO=2OF，故②正确。
3. 判断③：
若DF⊥EC，结合①中DF//AE，可得AE⊥EC，即CE⊥AB。
但CE是AB边上的中线，仅能说明E是AB中点，无法推出CE⊥AB（需CA=CB时才成立），题干无此条件，故③错误。
4. 证明④：
由①知DF//AE，即FG//AB，
∵ F是BC中点，
∴ G是CE的中点（平行线分线段成比例）。
连接EF，
∵ E是AB中点，F是BC中点，
∴ EF是△ABC的中位线，EF//AC。
根据重心的面积性质，结合AO=2OF、CO=2OE，可得：
S△GFC=½S△CEF，S△AEO=⅔S△CEF，
∴ S△AEO/S△GFC=(⅔S△CEF)/(½S△CEF)=4/3，
即3S△AEO=4S△GFC，故④正确。
综上，一定正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形重心、三角形中位线、三角形面积
【点评】
本题综合考查三角形中线、重心、中位线的性质及面积转化，需熟练运用重心的线段比例和面积关系，以及中位线的平行性质，逐步推导各结论，关键在于理清线段、面积间的关联，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
16. 如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案,记阴影部分的面积为$S_{1}$,空白部分的面积为$S_{2}$,若$S_{1}=S_{2}$,则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为________.
答案
16. $\sqrt{3}+1$ 【点拨】本题考查勾股定理,完全平方公式,熟练掌握相关知识是解题的关键.
【解析】如图,由勾股定理可知$b^2 +(a +b)^2 =c^2$①.
$\because S_1 =\dfrac{1}{2}ab ×4 +a^2 =a^2 +2ab$,$S_2 =\dfrac{1}{2}b^2 ×4 =2b^2$. 又$\because S_1 =S_2$,$\therefore a^2 +2ab =2b^2$,$\therefore (a +b)^2 =3b^2$②,把②代入①,得$b^2 +3b^2 =c^2$,即$4b^2 =c^2$,$\therefore c=2b$,$\therefore a^2 +ac =\dfrac{1}{2}c^2$,整理,得$(\dfrac{c}{a})^2 -2·\dfrac{c}{a} -2 =0$,$\therefore (\dfrac{c}{a}-1)^2 =3$,解得$\dfrac{c}{a}=\sqrt{3}+1$(负值舍去). 故答案为$\sqrt{3}+1$.
解析
【分析】
首先设定变量：设小正方形边长为$a$，直角三角形短直角边为$b$，长直角边为$a+b$，大正方形边长为$c$。先根据勾股定理得到边长关系，再分别计算阴影、空白部分的面积，利用$S_1=S_2$建立等式，最后通过代数变形求出大正方形与小正方形的边长比值。
【解析】
设小正方形的边长为$a$，直角三角形的短直角边长为$b$，长直角边长为$(a+b)$，大正方形的边长为$c$。
1. 根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：$b^2 + (a + b)^2 = c^2$ ①。
2. 计算阴影部分面积：阴影由4个全等直角三角形和中间小正方形组成，因此$S_1 = 4×\frac{1}{2}ab + a^2 = a^2 + 2ab$。
3. 计算空白部分面积：空白为4个全等直角三角形，因此$S_2 = 4×\frac{1}{2}b^2 = 2b^2$。
4. 由题意$S_1 = S_2$，代入得：$a^2 + 2ab = 2b^2$，整理得$(a + b)^2 = 3b^2$ ②。
5. 将②代入①式：$b^2 + 3b^2 = c^2$，即$c^2 = 4b^2$，因边长为正，故$c = 2b$。
6. 求边长比值：由②式，$a + b = \sqrt{3}b$（边长为正，舍去负根），则$a = \sqrt{3}b - b = b(\sqrt{3} - 1)$，因此$\frac{c}{a} = \frac{2b}{b(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$，分母有理化后得$\sqrt{3} + 1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，结合面积关系与勾股定理建立方程，考查代数变形能力，需要理清图形中各部分的边长与面积关联，是中等难度的几何代数综合题。
【难度系数】
0.5
首先设定变量：设小正方形边长为$a$，直角三角形短直角边为$b$，长直角边为$a+b$，大正方形边长为$c$。先根据勾股定理得到边长关系，再分别计算阴影、空白部分的面积，利用$S_1=S_2$建立等式，最后通过代数变形求出大正方形与小正方形的边长比值。
【解析】
设小正方形的边长为$a$，直角三角形的短直角边长为$b$，长直角边长为$(a+b)$，大正方形的边长为$c$。
1. 根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：$b^2 + (a + b)^2 = c^2$ ①。
2. 计算阴影部分面积：阴影由4个全等直角三角形和中间小正方形组成，因此$S_1 = 4×\frac{1}{2}ab + a^2 = a^2 + 2ab$。
3. 计算空白部分面积：空白为4个全等直角三角形，因此$S_2 = 4×\frac{1}{2}b^2 = 2b^2$。
4. 由题意$S_1 = S_2$，代入得：$a^2 + 2ab = 2b^2$，整理得$(a + b)^2 = 3b^2$ ②。
5. 将②代入①式：$b^2 + 3b^2 = c^2$，即$c^2 = 4b^2$，因边长为正，故$c = 2b$。
6. 求边长比值：由②式，$a + b = \sqrt{3}b$（边长为正，舍去负根），则$a = \sqrt{3}b - b = b(\sqrt{3} - 1)$，因此$\frac{c}{a} = \frac{2b}{b(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$，分母有理化后得$\sqrt{3} + 1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，结合面积关系与勾股定理建立方程，考查代数变形能力，需要理清图形中各部分的边长与面积关联，是中等难度的几何代数综合题。
【难度系数】
0.5
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出过程)
17. (8分)计算:
(1)$( \sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) - ( \sqrt{\dfrac{1}{8}} + \sqrt{6} )$;
(2)$2\sqrt{12} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{2}$.
17. (8分)计算:
(1)$( \sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) - ( \sqrt{\dfrac{1}{8}} + \sqrt{6} )$;
(2)$2\sqrt{12} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{2}$.
答案
17. 【点拨】本题考查二次根式的混合运算. 解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法.
【解析】(1)$( \sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) - ( \sqrt{\dfrac{1}{8}} + \sqrt{6} ) =2\sqrt{6} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{4} -\sqrt{6} =\sqrt{6} -\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$.
(2)$2\sqrt{12} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{2} =4\sqrt{3} ×\dfrac{\sqrt{3}}{4} ×\dfrac{\sqrt{2}}{10} =\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$.
【解析】(1)$( \sqrt{24} - \sqrt{\dfrac{1}{2}} ) - ( \sqrt{\dfrac{1}{8}} + \sqrt{6} ) =2\sqrt{6} -\dfrac{\sqrt{2}}{2} -\dfrac{\sqrt{2}}{4} -\sqrt{6} =\sqrt{6} -\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$.
(2)$2\sqrt{12} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{2} =4\sqrt{3} ×\dfrac{\sqrt{3}}{4} ×\dfrac{\sqrt{2}}{10} =\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路：对于二次根式的加减运算，需先将每个二次根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类二次根式；对于二次根式的乘除运算，先化简各二次根式，再按照从左到右的顺序，分别计算系数的乘除、被开方数的乘除，最后将结果化为最简二次根式。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简形式：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；
去括号得：$2\sqrt{6} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} - \sqrt{6}$；
合并同类二次根式：$(2\sqrt{6}-\sqrt{6}) + (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}) = \sqrt{6} - \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$。
(2) 先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，则$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；
按照二次根式乘除法则计算：$4\sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{2} = \dfrac{4\sqrt{3} × \sqrt{3}}{4} × \dfrac{1}{5\sqrt{2}}$；
计算得：$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，则$\dfrac{3}{5\sqrt{2}}$；
分母有理化：$\dfrac{3\sqrt{2}}{5×2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$。
【答案】
(1) $\sqrt{6} - \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$；(2) $\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题，重点考查二次根式的化简规则、同类二次根式的合并方法以及乘除运算的法则，计算时需注意去括号的符号变化和结果要化为最简二次根式，属于初中数学的常规运算题型。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的混合运算，解题思路：对于二次根式的加减运算，需先将每个二次根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类二次根式；对于二次根式的乘除运算，先化简各二次根式，再按照从左到右的顺序，分别计算系数的乘除、被开方数的乘除，最后将结果化为最简二次根式。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简形式：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$；
去括号得：$2\sqrt{6} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} - \sqrt{6}$；
合并同类二次根式：$(2\sqrt{6}-\sqrt{6}) + (-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}) = \sqrt{6} - \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$。
(2) 先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，则$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；
按照二次根式乘除法则计算：$4\sqrt{3} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{2} = \dfrac{4\sqrt{3} × \sqrt{3}}{4} × \dfrac{1}{5\sqrt{2}}$；
计算得：$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，则$\dfrac{3}{5\sqrt{2}}$；
分母有理化：$\dfrac{3\sqrt{2}}{5×2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$。
【答案】
(1) $\sqrt{6} - \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$；(2) $\dfrac{3\sqrt{2}}{10}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题，重点考查二次根式的化简规则、同类二次根式的合并方法以及乘除运算的法则，计算时需注意去括号的符号变化和结果要化为最简二次根式，属于初中数学的常规运算题型。
【难度系数】
0.6
18. (8 分)已知 $x=2-\sqrt{3}$.
(1)计算:$x^2=\_\_\_\_\_\_,\dfrac{1}{x}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)求代数式$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}-1$的值.
(1)计算:$x^2=\_\_\_\_\_\_,\dfrac{1}{x}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)求代数式$(7+4\sqrt{3})x^2+(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}-1$的值.
答案
18. 【点拨】本题考查二次根式的化简求值,正确计算是解题的关键.
【解析】(1)$\because x=2-\sqrt{3}$,$\therefore x^2=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$,
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$.
故答案为$7-4\sqrt{3}$,$2+\sqrt{3}$.
(2)$(7+4\sqrt{3})x^2 +(2+\sqrt{3})x +\sqrt{3}-1$
$=(7+4\sqrt{3})×(7-4\sqrt{3}) +(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3}) +\sqrt{3}-1$
$=(49-48)+(4-3)+\sqrt{3}-1$
$=\sqrt{3}+1$.
【解析】(1)$\because x=2-\sqrt{3}$,$\therefore x^2=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$,
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$.
故答案为$7-4\sqrt{3}$,$2+\sqrt{3}$.
(2)$(7+4\sqrt{3})x^2 +(2+\sqrt{3})x +\sqrt{3}-1$
$=(7+4\sqrt{3})×(7-4\sqrt{3}) +(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3}) +\sqrt{3}-1$
$=(49-48)+(4-3)+\sqrt{3}-1$
$=\sqrt{3}+1$.
解析
【分析】
本题已知$x=2-\sqrt{3}$，解题思路：(1) 计算$x^2$时，利用完全平方公式展开化简；计算$\frac{1}{x}$时，通过分母有理化（分子分母同乘$2+\sqrt{3}$）将分母化为有理数。(2) 求代数式的值时，先代入$x^2$和$x$的结果，再利用平方差公式简化乘法运算，减少计算量，快速得出结果。
【解析】
(1) 已知$x=2-\sqrt{3}$，
计算$x^2$：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
$x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4 - 4\sqrt{3} + 3=7 - 4\sqrt{3}$；
计算$\frac{1}{x}$：进行分母有理化，分子分母同乘$2+\sqrt{3}$，
$\frac{1}{x}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$。
(2) 将$x^2=7-4\sqrt{3}$，$x=2-\sqrt{3}$代入代数式：
$\begin{aligned}&(7+4\sqrt{3})x^2 + (2+\sqrt{3})x + \sqrt{3} -1\\=&(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) + \sqrt{3} -1\\=&(49 - 48) + (4 - 3) + \sqrt{3} -1\\=&1 + 1 + \sqrt{3} -1\\=&\sqrt{3} +1\end{aligned}$
【答案】
(1)$7-4\sqrt{3}$，$2+\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{3}+1$
【知识点】
二次根式化简求值，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，核心是利用乘法公式简化运算，避免复杂计算，属于二次根式相关的基础题型，需掌握分母有理化和公式的应用。
【难度系数】
0.6
本题已知$x=2-\sqrt{3}$，解题思路：(1) 计算$x^2$时，利用完全平方公式展开化简；计算$\frac{1}{x}$时，通过分母有理化（分子分母同乘$2+\sqrt{3}$）将分母化为有理数。(2) 求代数式的值时，先代入$x^2$和$x$的结果，再利用平方差公式简化乘法运算，减少计算量，快速得出结果。
【解析】
(1) 已知$x=2-\sqrt{3}$，
计算$x^2$：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
$x^2=(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4 - 4\sqrt{3} + 3=7 - 4\sqrt{3}$；
计算$\frac{1}{x}$：进行分母有理化，分子分母同乘$2+\sqrt{3}$，
$\frac{1}{x}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$。
(2) 将$x^2=7-4\sqrt{3}$，$x=2-\sqrt{3}$代入代数式：
$\begin{aligned}&(7+4\sqrt{3})x^2 + (2+\sqrt{3})x + \sqrt{3} -1\\=&(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) + \sqrt{3} -1\\=&(49 - 48) + (4 - 3) + \sqrt{3} -1\\=&1 + 1 + \sqrt{3} -1\\=&\sqrt{3} +1\end{aligned}$
【答案】
(1)$7-4\sqrt{3}$，$2+\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{3}+1$
【知识点】
二次根式化简求值，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的化简求值，核心是利用乘法公式简化运算，避免复杂计算，属于二次根式相关的基础题型，需掌握分母有理化和公式的应用。
【难度系数】
0.6
