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19. (8 分)如图,将$□ BEDF$的对角线$EF$向两个方向延长,分别至点$A$与点$C$,且使$AE = CF$,连接$AB$,$BC$,$CD$,$DA$.
(1)求证:四边形$ABCD$是平行四边形;
(2)请添加一个与线段相关的条件________,使四边形$ABCD$是菱形.
(1)求证:四边形$ABCD$是平行四边形;
(2)请添加一个与线段相关的条件________,使四边形$ABCD$是菱形.
答案
19. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,证明$△AFB≌△CED$是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形$BEDF$是平行四边形,
$\therefore BF// DE$,$BF=DE$,$\therefore ∠AFB=∠CED$.
$\because AE=CF$,$\therefore AE+EF=CF+EF$,即$AF=CE$.
在$△AFB$和$△CED$中,$\begin{cases} AF=CE, \\ ∠AFB=∠CED, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore △AFB≌△CED(\mathrm{SAS})$,$\therefore AB=CD$,$∠BAF=∠DCE$,$\therefore AB// CD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
(2)当$AB=BC$时,四边形$ABCD$是菱形.
理由:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,且$AB=BC$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形.
故答案为$AB=BC$.(答案不唯一)
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形$BEDF$是平行四边形,
$\therefore BF// DE$,$BF=DE$,$\therefore ∠AFB=∠CED$.
$\because AE=CF$,$\therefore AE+EF=CF+EF$,即$AF=CE$.
在$△AFB$和$△CED$中,$\begin{cases} AF=CE, \\ ∠AFB=∠CED, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore △AFB≌△CED(\mathrm{SAS})$,$\therefore AB=CD$,$∠BAF=∠DCE$,$\therefore AB// CD$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
(2)当$AB=BC$时,四边形$ABCD$是菱形.
理由:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,且$AB=BC$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形.
故答案为$AB=BC$.(答案不唯一)
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问需证明四边形ABCD是平行四边形，可利用平行四边形BEDF的性质结合全等三角形判定推导；第二问需添加线段条件使平行四边形ABCD成为菱形，依据菱形判定定理即可完成。首先，由平行四边形BEDF得到边平行且相等，结合AE=CF推出AF=CE，通过SAS证明三角形全等，得到AB与CD平行且相等，从而证得ABCD是平行四边形；再根据菱形“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定，添加合适的线段条件即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ $BF// DE$，$BF=DE$，
∴ $∠AFB=∠CED$。
∵ $AE=CF$，
∴ $AE + EF = CF + EF$，即$AF=CE$。
在$△ AFB$和$△ CED$中，
$\begin{cases} AF=CE, \\ ∠AFB=∠CED, \\ BF=DE, \end{cases}$
∴ $△ AFB≌△ CED(\mathrm{SAS})$，
∴ $AB=CD$，$∠BAF=∠DCE$，
∴ $AB// CD$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
(2) 添加条件：$AB=BC$（答案不唯一）。
理由：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$AB=BC$，
∴ 四边形ABCD是菱形。
【答案】
(1) 四边形ABCD是平行四边形的证明成立；(2) $AB=BC$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定，解题核心是利用平行四边形的性质推导全等三角形，进而得到边的关系，是几何证明中的典型题型，需学生熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第一问需证明四边形ABCD是平行四边形，可利用平行四边形BEDF的性质结合全等三角形判定推导；第二问需添加线段条件使平行四边形ABCD成为菱形，依据菱形判定定理即可完成。首先，由平行四边形BEDF得到边平行且相等，结合AE=CF推出AF=CE，通过SAS证明三角形全等，得到AB与CD平行且相等，从而证得ABCD是平行四边形；再根据菱形“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定，添加合适的线段条件即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ $BF// DE$，$BF=DE$，
∴ $∠AFB=∠CED$。
∵ $AE=CF$，
∴ $AE + EF = CF + EF$，即$AF=CE$。
在$△ AFB$和$△ CED$中，
$\begin{cases} AF=CE, \\ ∠AFB=∠CED, \\ BF=DE, \end{cases}$
∴ $△ AFB≌△ CED(\mathrm{SAS})$，
∴ $AB=CD$，$∠BAF=∠DCE$，
∴ $AB// CD$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
(2) 添加条件：$AB=BC$（答案不唯一）。
理由：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$AB=BC$，
∴ 四边形ABCD是菱形。
【答案】
(1) 四边形ABCD是平行四边形的证明成立；(2) $AB=BC$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定，解题核心是利用平行四边形的性质推导全等三角形，进而得到边的关系，是几何证明中的典型题型，需学生熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5
20. (8分)如图,一根直立的旗杆高8 m,因刮大风旗杆从点C处折断,顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4 m.
(1)求旗杆在距地面多高处折断;
(2)在折断点C的下方0.5 m的点P处,有一明显裂痕,如果本次大风将旗杆从点P处吹断,那么行人在距离旗杆底部5 m处是否有被砸到的风险?
(1)求旗杆在距地面多高处折断;
(2)在折断点C的下方0.5 m的点P处,有一明显裂痕,如果本次大风将旗杆从点P处吹断,那么行人在距离旗杆底部5 m处是否有被砸到的风险?
答案
20. 【点拨】本题考查勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
【解析】(1)由题意,得$AC+BC=8\ \mathrm{m}$,$∠A=90°$.
设$AC$长为$x\ \mathrm{m}$,则$BC$长为$(8-x)\mathrm{m}$,
在$\mathrm{Rt}△BAC$中,由勾股定理,得$4^2 +x^2 =(8-x)^2$,解得$x=3$.
答:旗杆在距地面3 m处折断.
(2)如图所示,由题意可知,$AP=3-0.5=2.5(\mathrm{m})$,
$\therefore PB'=8-2.5=5.5(\mathrm{m})$.
在$\mathrm{Rt}△APB'$中,$AB'=\sqrt{PB'^2 -AP^2}=\sqrt{5.5^2 -2.5^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}(\mathrm{m})$.
$\because 2\sqrt{6}＜5$,$\therefore$ 行人在距离旗杆底部5 m处没有被砸到的风险.
解析
【分析】
本题需将旗杆折断的实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理求解。第一问中，已知旗杆总高、折断后顶部落地的水平距离，设未折断部分长度为未知数，根据勾股定理列方程即可求出折断点距地面的高度；第二问中，先确定折断点P的位置，计算折断后顶部落地的水平距离，与5m比较，判断是否有砸到风险。
【解析】
(1) 设旗杆未折断部分AC的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则折断部分BC的长度为$ (8 - x) \, \mathrm{m} $。
因为旗杆直立，所以$ ∠ A = 90° $，在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，由勾股定理得：
$ AC^2 + AB^2 = BC^2 $
代入$ AB = 4 \, \mathrm{m} $，得：
$ x^2 + 4^2 = (8 - x)^2 $
展开并整理方程：
$ x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2 $
消去$ x^2 $后解得：$ 16x = 48 $，即$ x = 3 $。
因此，旗杆在距地面$ 3 \, \mathrm{m} $处折断。
(2) 由(1)知$ AC = 3 \, \mathrm{m} $，点P在C下方$ 0.5 \, \mathrm{m} $，故$ AP = AC - CP = 3 - 0.5 = 2.5 \, \mathrm{m} $。
旗杆总高为$ 8 \, \mathrm{m} $，则折断后顶部到P的长度$ PB' = 8 - AP = 8 - 2.5 = 5.5 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt} △ APB' $中，由勾股定理得：
$ AB' = \sqrt{PB'^2 - AP^2} = \sqrt{5.5^2 - 2.5^2} = \sqrt{30.25 - 6.25} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} \approx 4.9 \, \mathrm{m} $。
因为$ 2\sqrt{6} \approx 4.9 \, \mathrm{m} ＜ 5 \, \mathrm{m} $，所以行人在距离旗杆底部$ 5 \, \mathrm{m} $处没有被砸到的风险。
【答案】
(1) 旗杆在距地面$ 3 \, \mathrm{m} $处折断；(2) 行人在距离旗杆底部$ 5 \, \mathrm{m} $处没有被砸到的风险。
【知识点】
勾股定理应用，直角三角形模型
【点评】
本题结合实际场景考查勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理建立方程求解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题需将旗杆折断的实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理求解。第一问中，已知旗杆总高、折断后顶部落地的水平距离，设未折断部分长度为未知数，根据勾股定理列方程即可求出折断点距地面的高度；第二问中，先确定折断点P的位置，计算折断后顶部落地的水平距离，与5m比较，判断是否有砸到风险。
【解析】
(1) 设旗杆未折断部分AC的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则折断部分BC的长度为$ (8 - x) \, \mathrm{m} $。
因为旗杆直立，所以$ ∠ A = 90° $，在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，由勾股定理得：
$ AC^2 + AB^2 = BC^2 $
代入$ AB = 4 \, \mathrm{m} $，得：
$ x^2 + 4^2 = (8 - x)^2 $
展开并整理方程：
$ x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2 $
消去$ x^2 $后解得：$ 16x = 48 $，即$ x = 3 $。
因此，旗杆在距地面$ 3 \, \mathrm{m} $处折断。
(2) 由(1)知$ AC = 3 \, \mathrm{m} $，点P在C下方$ 0.5 \, \mathrm{m} $，故$ AP = AC - CP = 3 - 0.5 = 2.5 \, \mathrm{m} $。
旗杆总高为$ 8 \, \mathrm{m} $，则折断后顶部到P的长度$ PB' = 8 - AP = 8 - 2.5 = 5.5 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt} △ APB' $中，由勾股定理得：
$ AB' = \sqrt{PB'^2 - AP^2} = \sqrt{5.5^2 - 2.5^2} = \sqrt{30.25 - 6.25} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} \approx 4.9 \, \mathrm{m} $。
因为$ 2\sqrt{6} \approx 4.9 \, \mathrm{m} ＜ 5 \, \mathrm{m} $，所以行人在距离旗杆底部$ 5 \, \mathrm{m} $处没有被砸到的风险。
【答案】
(1) 旗杆在距地面$ 3 \, \mathrm{m} $处折断；(2) 行人在距离旗杆底部$ 5 \, \mathrm{m} $处没有被砸到的风险。
【知识点】
勾股定理应用，直角三角形模型
【点评】
本题结合实际场景考查勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理建立方程求解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
21. (8分)如图是由小正方形组成的7×4网格,每个小正方形的顶点叫格点,每个小正方形的边长为1. A,B,C都是格点,E是BC上一点. 请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示.
(1)在图1中,作平行四边形ABCD;
(2)在图1中的AD上作点F,使得$DF = BE$;
(3)在图2中,G是格点,在AC上作点H,使得$GH // BC$;
(4)在图2中的BC上作点M,使得$BM = \frac{1}{2}BE$.
·46·
(1)在图1中,作平行四边形ABCD;
(2)在图1中的AD上作点F,使得$DF = BE$;
(3)在图2中,G是格点,在AC上作点H,使得$GH // BC$;
(4)在图2中的BC上作点M,使得$BM = \frac{1}{2}BE$.
·46·
答案
21. 【点拨】本题考查作图——应用与设计作图,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质,三角形的重心,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
【解析】(1)如图1,平行四边形$ABCD$即为所求.
(2)如图1,连接$BD$交$AC$于点$O$,连接$EO$并延长,交$AD$于点$F$,则点$F$即为所求.
(3)如图2,取$AC$的中点$H$,此时$GH$为$△ABC$的中位线,$\therefore GH// BC$,则点$H$即为所求.
(4)如图2,连接$AE$交$GH$于点$P$,连接$BP$,$EG$相交于点$Q$,连接$AQ$并延长,交$BC$于点$M$.
$\because G$为$AB$的中点,$H$为$AC$的中点,$\therefore GH$为$△ABC$的中位线,即点$P$为$AE$的中点,$\therefore BP$,$EG$为$△ABE$的中线,即点$Q$为$△ABE$的重心,$\therefore M$为$BE$的中点,则点$M$即为所求.
解析
【分析】
本题为网格作图题，需结合平行四边形、三角形中位线、重心等几何知识完成作图。
(1) 作平行四边形ABCD：根据平行四边形对边平行且相等的判定，在网格中确定格点D，使AB与CD平行且相等，AC与BD平行且相等，即可得到平行四边形ABCD；
(2) 找点F使DF=BE：利用平行四边形对角线互相平分，连接BD交AC于中点O，连接EO并延长交AD于F，由全等三角形性质得DF=BE；
(3) 找点H使GH//BC：G为AB中点，根据三角形中位线定理，取AC中点H，连接GH，GH为△ABC的中位线，故GH//BC；
(4) 找点M使BM=1/2 BE：利用三角形重心性质，G是AB中点、H是AC中点，GH为中位线，AE交GH于P（AE中点），BP与EG交于Q（△ABE重心），AQ延长交BC于M，M为BE中点，故BM=1/2 BE。
【解析】
(1) 如图1，在网格中取格点D，连接AB、BC、CD、DA，四边形ABCD即为平行四边形；
(2) 如图1，连接BD交AC于点O，连接EO并延长，交AD于点F，点F即为所求；
(3) 如图2，取AC的中点H，连接GH，GH//BC，点H即为所求；
(4) 如图2，连接AE交GH于点P，连接BP、EG交于点Q，连接AQ并延长，交BC于点M，点M即为所求。
【答案】
21. 【点拨】本题考查作图——应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，三角形的重心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。
【解析】(1) 如图1，平行四边形$ABCD$即为所求。
(2) 如图1，连接$BD$交$AC$于点$O$，连接$EO$并延长，交$AD$于点$F$，则点$F$即为所求。
(3) 如图2，取$AC$的中点$H$，此时$GH$为$△ABC$的中位线，$\therefore GH// BC$，则点$H$即为所求。
(4) 如图2，连接$AE$交$GH$于点$P$，连接$BP$，$EG$相交于点$Q$，连接$AQ$并延长，交$BC$于点$M$。
$\because G$为$AB$的中点，$H$为$AC$的中点，$\therefore GH$为$△ABC$的中位线，即点$P$为$AE$的中点，$\therefore BP$，$EG$为$△ABE$的中线，即点$Q$为$△ABE$的重心，$\therefore M$为$BE$的中点，则点$M$即为所求。
【知识点】
作图应用与设计、三角形中位线、三角形重心
【点评】
本题是网格背景下的综合作图题，融合多个几何知识点，重点考查几何性质的应用能力，需灵活运用平行四边形、中位线、重心等知识解决作图问题。
【难度系数】
0.5
本题为网格作图题，需结合平行四边形、三角形中位线、重心等几何知识完成作图。
(1) 作平行四边形ABCD：根据平行四边形对边平行且相等的判定，在网格中确定格点D，使AB与CD平行且相等，AC与BD平行且相等，即可得到平行四边形ABCD；
(2) 找点F使DF=BE：利用平行四边形对角线互相平分，连接BD交AC于中点O，连接EO并延长交AD于F，由全等三角形性质得DF=BE；
(3) 找点H使GH//BC：G为AB中点，根据三角形中位线定理，取AC中点H，连接GH，GH为△ABC的中位线，故GH//BC；
(4) 找点M使BM=1/2 BE：利用三角形重心性质，G是AB中点、H是AC中点，GH为中位线，AE交GH于P（AE中点），BP与EG交于Q（△ABE重心），AQ延长交BC于M，M为BE中点，故BM=1/2 BE。
【解析】
(1) 如图1，在网格中取格点D，连接AB、BC、CD、DA，四边形ABCD即为平行四边形；
(2) 如图1，连接BD交AC于点O，连接EO并延长，交AD于点F，点F即为所求；
(3) 如图2，取AC的中点H，连接GH，GH//BC，点H即为所求；
(4) 如图2，连接AE交GH于点P，连接BP、EG交于点Q，连接AQ并延长，交BC于点M，点M即为所求。
【答案】
21. 【点拨】本题考查作图——应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，三角形的重心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。
【解析】(1) 如图1，平行四边形$ABCD$即为所求。
(2) 如图1，连接$BD$交$AC$于点$O$，连接$EO$并延长，交$AD$于点$F$，则点$F$即为所求。
(3) 如图2，取$AC$的中点$H$，此时$GH$为$△ABC$的中位线，$\therefore GH// BC$，则点$H$即为所求。
(4) 如图2，连接$AE$交$GH$于点$P$，连接$BP$，$EG$相交于点$Q$，连接$AQ$并延长，交$BC$于点$M$。
$\because G$为$AB$的中点，$H$为$AC$的中点，$\therefore GH$为$△ABC$的中位线，即点$P$为$AE$的中点，$\therefore BP$，$EG$为$△ABE$的中线，即点$Q$为$△ABE$的重心，$\therefore M$为$BE$的中点，则点$M$即为所求。
【知识点】
作图应用与设计、三角形中位线、三角形重心
【点评】
本题是网格背景下的综合作图题，融合多个几何知识点，重点考查几何性质的应用能力，需灵活运用平行四边形、中位线、重心等知识解决作图问题。
【难度系数】
0.5
