三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出过程)
17. (8分)计算:
(1)$3\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{2}$;
(2)$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 1)$.

17. 【点拨】本题考查二次根式的运算.
【解析】(1)$3\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{6}$.
(2)$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 1)$
$= 3 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2$
$= 1 - \sqrt{3}$.

【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路：第(1)小题是二次根式的加减运算，可先观察是否有同类二次根式，同类二次根式合并时系数相加减，根式部分不变；第(2)小题是多项式乘多项式，利用多项式乘法法则展开后，再合并同类二次根式即可。
【解析】
(1) $3\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{6} + (-\sqrt{2} + \sqrt{2})$
$= 3\sqrt{6}$
(2) $(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 1)$
$= \sqrt{3} × \sqrt{3} + \sqrt{3} × 1 - 2 × \sqrt{3} - 2 × 1$
$= 3 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2$
$= (3 - 2) + (\sqrt{3} - 2\sqrt{3})$
$= 1 - \sqrt{3}$
【答案】
(1) $3\sqrt{6}$；(2) $1 - \sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的加减运算、多项式乘多项式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，主要考查同类二次根式的合并和多项式乘法法则，难度较低，只要掌握基本运算规则、细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8

18. (8分)如图,在$△ ABC$中,$D$是边$BC$上一点,$AC=13$,$AD=12$,$CD=5$.
(1)求证:$AD ⊥ BC$;
(2)若$AB=15$,求$BD$的长.

18. 【点拨】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理.
【解析】(1)证明:$\because AC = 13,AD = 12,CD = 5,5^2 + 12^2 = 13^2$,$\therefore CD^2 + AD^2 = AC^2, \therefore △ ACD$ 是直角三角形, 且 $∠ ADC = 90°$,$\therefore AD ⊥ BC$.
(2)由(1)可知,$AD ⊥ BC, \therefore ∠ ADB = 90°$.
$\because AB = 15,AD = 12, \therefore BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = 9$.

【分析】
第(1)问要证明AD⊥BC，需利用勾股定理的逆定理，通过计算△ACD三边的平方关系，判断该三角形为直角三角形，进而得到AD与BC垂直；第(2)问由(1)的结论可知△ABD是直角三角形，再利用勾股定理计算BD的长度。
【解析】
(1) 在△ACD中，已知AC=13，AD=12，CD=5，计算得：
$CD^2 + AD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，而$AC^2 = 13^2 = 169$，
因此$CD^2 + AD^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，所以AD⊥BC。
(2) 由(1)知AD⊥BC，故∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$。
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，属于基础几何题型，需熟练掌握定理内容，准确判断直角三角形并进行边长计算。
【难度系数】
0.6

19. (8分)如图,在$□ ABCD$中,对角线$DB$上有两点$E,F$,且$DF = BE$.求证:四边形$AFCE$是平行四边形.

19. 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质,熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.
【解析】证明:如题图,连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore OA = OC,OB = OD$,
$\because DF = BE, \therefore OD - DF = OB - BE$, 即 $OF = OE$,
$\therefore$ 四边形 $AFCE$ 是平行四边形.

【分析】
要证明四边形AFCE是平行四边形，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先根据平行四边形ABCD的性质，其对角线互相平分，连接AC交BD于点O后能得到OA=OC、OB=OD；再结合已知DF=BE，通过线段差运算推出OF=OE，进而证明AFCE的对角线互相平分，完成判定。
【解析】
证明：连接AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵ DF = BE，
∴ OD - DF = OB - BE，即 OF = OE。
∵ OA = OC，OF = OE，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】
证明：连接AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
又
∵ DF = BE，
∴ OD - DF = OB - BE，即 OF = OE。
∴ 四边形AFCE是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与判定，核心是利用对角线互相平分的关系推导，属于基础题型，重点考查学生对平行四边形相关定理的掌握与应用。
【难度系数】
0.6

20. (8 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 C 作 $CE // BD$,过点 D 作 $DE // AC$,CE 与 DE 相交于点 E.
(1)求证:四边形 OCED 是菱形;
(2)若 $AB=6,BC=8$,则四边形 OCED 的面积为 .
第 20 题图
·39·

20. 【点拨】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质,熟练掌握上述知识点是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because CE // BD,DE // AC$,
$\therefore$ 四边形 $OCED$ 是平行四边形.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore AC = BD,AO = CO = \frac{1}{2} AC,BO = DO = \frac{1}{2} BD$,
$\therefore OD = OC = OA = OB, \therefore$ 四边形 $OCED$ 是菱形.
(2)$\because AB = 6,BC = 8$,
$\therefore S_{\mathrm{矩形}ABCD} = AB · BC = 6 × 8 = 48$,
$\therefore S_{△ OCD} = \frac{1}{4} S_{\mathrm{矩形}ABCD} = 12$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}OCED} = 2S_{△ OCD} = 24$. 故答案为 24.

【分析】
第(1)问需先利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形OCED为平行四边形，再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到平行四边形的一组邻边相等，进而证明其为菱形；第(2)问先计算矩形面积，再根据矩形对角线将矩形分成面积相等的四个三角形，求出△OCD的面积，最后利用菱形面积与该三角形面积的关系计算结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ CE // BD，DE // AC，
∴ 四边形OCED是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC = BD，AO = CO = $\frac{1}{2}AC$，BO = DO = $\frac{1}{2}BD$，
∴ OC = OD，
∴ 平行四边形OCED是菱形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴ $S_{矩形ABCD} = AB·BC = 6×8 = 48$，
∵ 矩形对角线互相平分，
∴ $S_{△ OCD} = \frac{1}{4}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{4}×48 = 12$，
∵ 四边形OCED是菱形，
∴ $S_{四边形OCED} = 2S_{△ OCD} = 2×12 = 24$。
【答案】24
【知识点】矩形的性质、菱形的判定、菱形的性质
【点评】本题考查矩形与菱形的性质及判定，属于基础几何综合题，解题关键是熟练运用矩形对角线的性质和菱形的判定方法，难度适中。
【难度系数】0.6