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8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=8$,$AN$平分$∠ BAC$交$BC$于点$N$,点$M$在$BA$上,且$AM=3$,连接$CM$,$P$为$CM$的中点,连接$PN$,则$PN$的长为(
A.2.4
B.2
C.1.5
D.2.5
D
).A.2.4
B.2
C.1.5
D.2.5
答案
8.D 【点拨】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的性质.
【解析】$\because AB = 8,AM = 3, \therefore BM = AB - AM = 8 - 3 = 5. \because AB = AC,AN$ 平分 $∠ BAC, \therefore CN = NB. \because P$ 为 $CM$ 的中点, $\therefore PN$ 是 $△ BCM$ 的中位线, $\therefore PN = \frac{1}{2} BM = 2.5$.故选 D.
【解析】$\because AB = 8,AM = 3, \therefore BM = AB - AM = 8 - 3 = 5. \because AB = AC,AN$ 平分 $∠ BAC, \therefore CN = NB. \because P$ 为 $CM$ 的中点, $\therefore PN$ 是 $△ BCM$ 的中位线, $\therefore PN = \frac{1}{2} BM = 2.5$.故选 D.
解析
【分析】
要计算PN的长度，需先推导PN的性质，再结合已知条件计算。首先，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定N是BC的中点，再结合P是CM的中点，判断PN是△BCM的中位线，最后计算BM的长度，利用中位线定理求出PN。
【解析】
1. 计算BM的长度：已知AB=8，AM=3，因此BM=AB - AM = 8 - 3 = 5。
2. 利用等腰三角形性质：因为AB=AC，AN平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”，AN是BC边上的中线，故N为BC的中点。
3. 计算PN的长度：因为P是CM的中点，N是BC的中点，所以PN是△BCM的中位线。根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，因此PN = ½BM = ½×5 = 2.5。
【答案】D
【知识点】等腰三角形性质、三角形中位线定理
【点评】本题结合等腰三角形性质和三角形中位线定理解题，关键是识别中位线，属于基础几何题型，难度适中。
【难度系数】0.5
要计算PN的长度，需先推导PN的性质，再结合已知条件计算。首先，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定N是BC的中点，再结合P是CM的中点，判断PN是△BCM的中位线，最后计算BM的长度，利用中位线定理求出PN。
【解析】
1. 计算BM的长度：已知AB=8，AM=3，因此BM=AB - AM = 8 - 3 = 5。
2. 利用等腰三角形性质：因为AB=AC，AN平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”，AN是BC边上的中线，故N为BC的中点。
3. 计算PN的长度：因为P是CM的中点，N是BC的中点，所以PN是△BCM的中位线。根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，因此PN = ½BM = ½×5 = 2.5。
【答案】D
【知识点】等腰三角形性质、三角形中位线定理
【点评】本题结合等腰三角形性质和三角形中位线定理解题，关键是识别中位线，属于基础几何题型，难度适中。
【难度系数】0.5
9. 已知$\sqrt{49 - x^2} + \sqrt{15 + x^2} = 10$，则$\sqrt{49 - x^2} - \sqrt{15 + x^2}$的值为(
A.$2\sqrt{7}$
B.$-2\sqrt{7}$
C.$\pm 2\sqrt{7}$
D.以上都不对
C
).A.$2\sqrt{7}$
B.$-2\sqrt{7}$
C.$\pm 2\sqrt{7}$
D.以上都不对
答案
9.C 【点拨】本题考查二次根式的化简求值,灵活运用换元法和完全平方公式是解题的关键.
【解析】设 $\sqrt{49 - x^2} = a, \sqrt{15 + x^2} = b$, 则 $a + b = 10,a^2 + b^2 = 49 - x^2 + 15 + x^2 = 64, \therefore (a + b)^2 = 100$, 即 $a^2 + b^2 + 2ab = 100, \therefore 64 + 2ab = 100, \therefore ab = 18. \because (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 100 - 4 × 18 = 28, \therefore (a - b)^2 = 28, \therefore a - b = \pm 2\sqrt{7}$, 即 $\sqrt{49 - x^2} - \sqrt{15 + x^2}$ 的值为 $\pm 2\sqrt{7}$.故选 C.
【解析】设 $\sqrt{49 - x^2} = a, \sqrt{15 + x^2} = b$, 则 $a + b = 10,a^2 + b^2 = 49 - x^2 + 15 + x^2 = 64, \therefore (a + b)^2 = 100$, 即 $a^2 + b^2 + 2ab = 100, \therefore 64 + 2ab = 100, \therefore ab = 18. \because (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 100 - 4 × 18 = 28, \therefore (a - b)^2 = 28, \therefore a - b = \pm 2\sqrt{7}$, 即 $\sqrt{49 - x^2} - \sqrt{15 + x^2}$ 的值为 $\pm 2\sqrt{7}$.故选 C.
解析
【分析】这道题的解题思路是通过换元法简化二次根式的运算，避免直接求解$x$的复杂过程。首先设两个根号表达式分别为新的变量$a$和$b$，将已知条件转化为关于$a$、$b$的等式；接着利用完全平方公式的变形，先求出$ab$的值，再计算$(a-b)^2$，最后开方得到结果，注意开方后存在正负两种情况，对应选项中的结果。
【解析】设$a = \sqrt{49 - x^2}$，$b = \sqrt{15 + x^2}$，则已知条件转化为：
$a + b = 10$，
且$a^2 + b^2 = (49 - x^2) + (15 + x^2) = 64$。
根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入已知得：
$10^2 = 64 + 2ab$，
即$100 = 64 + 2ab$，解得$ab = 18$。
再由完全平方公式变形得：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，
代入数值计算：
$(a - b)^2 = 10^2 - 4×18 = 100 - 72 = 28$，
因此$a - b = ±\sqrt{28} = ±2\sqrt{7}$，即$\sqrt{49 - x^2} - \sqrt{15 + x^2} = ±2\sqrt{7}$，故选C。
【答案】C
【知识点】二次根式化简求值、换元法、完全平方公式
【点评】本题通过换元法将复杂的二次根式问题转化为整式运算，利用完全平方公式的变形简化计算，无需直接求解$x$，体现了代数变形的灵活性；解题时需注意开平方运算的结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】0.6
【解析】设$a = \sqrt{49 - x^2}$，$b = \sqrt{15 + x^2}$，则已知条件转化为：
$a + b = 10$，
且$a^2 + b^2 = (49 - x^2) + (15 + x^2) = 64$。
根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，代入已知得：
$10^2 = 64 + 2ab$，
即$100 = 64 + 2ab$，解得$ab = 18$。
再由完全平方公式变形得：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，
代入数值计算：
$(a - b)^2 = 10^2 - 4×18 = 100 - 72 = 28$，
因此$a - b = ±\sqrt{28} = ±2\sqrt{7}$，即$\sqrt{49 - x^2} - \sqrt{15 + x^2} = ±2\sqrt{7}$，故选C。
【答案】C
【知识点】二次根式化简求值、换元法、完全平方公式
【点评】本题通过换元法将复杂的二次根式问题转化为整式运算，利用完全平方公式的变形简化计算，无需直接求解$x$，体现了代数变形的灵活性；解题时需注意开平方运算的结果有正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】0.6
10. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$M$ 为 $BC$ 边上一点,将 $△ ABM$ 沿 $AM$ 翻折得到 $△ ANM$,点 $B$ 的对应点为$N$,连接 $CN,DN$,则 $\frac{CN}{DN}$ 的最小值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.以上都不对
A
).A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.以上都不对
答案
10.A 【点拨】本题考查正方形的性质,翻折的性质,全等三角形的构造以及用垂线段最短解决几何最值问题.
【解析】如题图,过点 $A$ 作 $AE ⊥ DN$ 于点 $E$, 过点 $C$ 作 $CF ⊥ DN$ 于点 $F, \therefore ∠ AED = ∠ DFC = 90°$. 在正方形 $ABCD$ 中, $AD = DC = AB$,$∠ ADC = 90°. \because ∠ AED = 90°, \therefore ∠ DAE + ∠ ADE = 90°$. 又 $\because ∠ ADE + ∠ CDF = 90°, \therefore ∠ DAE = ∠ CDF$. 在 $△ ADE$ 和 $△ DCF$ 中,
$\begin{cases}∠ AED = ∠ DFC, \\∠ DAE = ∠ CDF, \\AD = DC,\end{cases} \therefore △ ADE ≌ △ DCF(\mathrm{AAS}), \therefore CF = DE$. 由翻折的性质可得 $AB = AN, \therefore AD = AN$. 又 $\because AE ⊥ DN, \therefore DE = EN = \frac{1}{2} DN$,$\therefore \frac{CF}{DN} = \frac{DE}{DN} = \frac{1}{2}. \because CF ⊥ DN$, 根据垂线段最短可得 $CN \ge CF, \therefore \frac{CN}{DN} \ge \frac{CF}{DN} = \frac{1}{2}, \therefore \frac{CN}{DN}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$. 故选 A.
【解析】如题图,过点 $A$ 作 $AE ⊥ DN$ 于点 $E$, 过点 $C$ 作 $CF ⊥ DN$ 于点 $F, \therefore ∠ AED = ∠ DFC = 90°$. 在正方形 $ABCD$ 中, $AD = DC = AB$,$∠ ADC = 90°. \because ∠ AED = 90°, \therefore ∠ DAE + ∠ ADE = 90°$. 又 $\because ∠ ADE + ∠ CDF = 90°, \therefore ∠ DAE = ∠ CDF$. 在 $△ ADE$ 和 $△ DCF$ 中,
$\begin{cases}∠ AED = ∠ DFC, \\∠ DAE = ∠ CDF, \\AD = DC,\end{cases} \therefore △ ADE ≌ △ DCF(\mathrm{AAS}), \therefore CF = DE$. 由翻折的性质可得 $AB = AN, \therefore AD = AN$. 又 $\because AE ⊥ DN, \therefore DE = EN = \frac{1}{2} DN$,$\therefore \frac{CF}{DN} = \frac{DE}{DN} = \frac{1}{2}. \because CF ⊥ DN$, 根据垂线段最短可得 $CN \ge CF, \therefore \frac{CN}{DN} \ge \frac{CF}{DN} = \frac{1}{2}, \therefore \frac{CN}{DN}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$. 故选 A.
解析
【分析】要解决$\frac{CN}{DN}$的最小值问题，需利用正方形和翻折的性质转化线段关系，结合垂线段最短的性质求解。具体思路：1. 作两条垂线构造直角三角形，通过同角的余角相等证明三角形全等，将$CF$与$DE$建立等量关系；2. 利用翻折和等腰三角形三线合一的性质，得到$DE$与$DN$的关系，进而推出$CF$与$DN$的比值；3. 根据垂线段最短，将$CN$的最小值转化为$CF$，最终求出$\frac{CN}{DN}$的最小值。
【解析】如题图，过点$A$作$AE⊥DN$于点$E$，过点$C$作$CF⊥DN$于点$F$，则$∠ AED=∠ DFC=90°$。在正方形$ABCD$中，$AD=DC=AB$，$∠ ADC=90°$，故$∠ ADE+∠ CDF=90°$。又$\because ∠ AED=90°$，$\therefore ∠ DAE+∠ ADE=90°$，因此$∠ DAE=∠ CDF$。在$△ ADE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}∠ AED=∠ DFC \\∠ DAE=∠ CDF \\AD=DC\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ DCF(\mathrm{AAS})$，得$CF=DE$。由翻折性质知$AB=AN$，结合正方形中$AB=AD$，故$AD=AN$。又$\because AE⊥DN$，根据等腰三角形三线合一，$DE=EN=\frac{1}{2}DN$，因此$\frac{CF}{DN}=\frac{DE}{DN}=\frac{1}{2}$。根据垂线段最短，$CN≥CF$，故$\frac{CN}{DN}≥\frac{CF}{DN}=\frac{1}{2}$，即$\frac{CN}{DN}$的最小值为$\frac{1}{2}$。
【答案】A
【知识点】正方形的性质、翻折的性质、垂线段最短
【点评】本题结合正方形与翻折变换，通过构造全等三角形转化线段关系，利用垂线段最短求解几何最值，考查学生对几何变换、全等判定及最值思想的综合运用能力，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】0.4
【解析】如题图，过点$A$作$AE⊥DN$于点$E$，过点$C$作$CF⊥DN$于点$F$，则$∠ AED=∠ DFC=90°$。在正方形$ABCD$中，$AD=DC=AB$，$∠ ADC=90°$，故$∠ ADE+∠ CDF=90°$。又$\because ∠ AED=90°$，$\therefore ∠ DAE+∠ ADE=90°$，因此$∠ DAE=∠ CDF$。在$△ ADE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}∠ AED=∠ DFC \\∠ DAE=∠ CDF \\AD=DC\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ DCF(\mathrm{AAS})$，得$CF=DE$。由翻折性质知$AB=AN$，结合正方形中$AB=AD$，故$AD=AN$。又$\because AE⊥DN$，根据等腰三角形三线合一，$DE=EN=\frac{1}{2}DN$，因此$\frac{CF}{DN}=\frac{DE}{DN}=\frac{1}{2}$。根据垂线段最短，$CN≥CF$，故$\frac{CN}{DN}≥\frac{CF}{DN}=\frac{1}{2}$，即$\frac{CN}{DN}$的最小值为$\frac{1}{2}$。
【答案】A
【知识点】正方形的性质、翻折的性质、垂线段最短
【点评】本题结合正方形与翻折变换，通过构造全等三角形转化线段关系，利用垂线段最短求解几何最值，考查学生对几何变换、全等判定及最值思想的综合运用能力，需掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】0.4
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 化简二次根式:$\sqrt{8}=$
11. 化简二次根式:$\sqrt{8}=$
2√2
.答案
11. $2\sqrt{2}$ 【点拨】本题考查二次根式的化简.
【解析】$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$. 故答案为 $2\sqrt{2}$.
【解析】$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$. 故答案为 $2\sqrt{2}$.
解析
【分析】化简二次根式时，需将被开方数分解为一个完全平方数与另一个非完全平方数的乘积，再利用二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，把完全平方数开方后得到结果。
【解析】$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = \sqrt{4} × \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
【答案】$2\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的化简
【点评】本题是二次根式化简的基础题，考查学生对二次根式性质的基本应用，难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】0.9
【解析】$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = \sqrt{4} × \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
【答案】$2\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的化简
【点评】本题是二次根式化简的基础题，考查学生对二次根式性质的基本应用，难度较低，属于基础得分题。
【难度系数】0.9
12. 在平面直角坐标系中,点 $ P $ 的坐标为$(2,1)$,则点 $ P $ 到原点的距离是
√5
.答案
12. $\sqrt{5}$ 【点拨】本题考查勾股定理,解题的关键是熟练掌握勾股定理.
【解析】$\because$ 点 $P$ 的坐标是 $(2,1), \therefore$ 点 $P$ 到原点的距离是 $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. 故答案为 $\sqrt{5}$.
【解析】$\because$ 点 $P$ 的坐标是 $(2,1), \therefore$ 点 $P$ 到原点的距离是 $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. 故答案为 $\sqrt{5}$.
解析
【分析】要计算平面直角坐标系中点$ P(2,1) $到原点的距离，首先明确原点坐标为$(0,0)$，两点间的水平距离为横坐标差的绝对值，垂直距离为纵坐标差的绝对值，根据勾股定理，两点间的距离等于水平距离与垂直距离的平方和的算术平方根，据此计算即可。
【解析】
∵原点坐标为$(0,0)$，点$ P $的坐标为$(2,1)$，
∴点$ P $到原点的距离为$\sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】勾股定理、平面直角坐标系中点的距离
【点评】本题为基础题，考查平面直角坐标系中点到原点的距离计算，核心运用勾股定理，解题思路清晰，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】0.9
【解析】
∵原点坐标为$(0,0)$，点$ P $的坐标为$(2,1)$，
∴点$ P $到原点的距离为$\sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】勾股定理、平面直角坐标系中点的距离
【点评】本题为基础题，考查平面直角坐标系中点到原点的距离计算，核心运用勾股定理，解题思路清晰，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】0.9
13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$CD$是$AB$边上的中线,$CD = 2$,则$AB$的长度是________.
答案
13. 4 【点拨】本题考查直角三角形的性质,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
【解析】在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°,CD$ 是 $AB$ 边上的中线, $CD = 2$,$\therefore AB = 2CD = 4$. 故答案为 4.
【解析】在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°,CD$ 是 $AB$ 边上的中线, $CD = 2$,$\therefore AB = 2CD = 4$. 故答案为 4.
解析
【分析】
本题是直角三角形的基础题型，已知△ABC为直角三角形，CD是斜边AB的中线，解题思路是利用直角三角形的核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，通过已知的中线长度，直接计算出斜边AB的长度。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得AB=2CD。已知CD=2，因此AB=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查直角三角形的基础性质，属于对核心知识点的直接应用，是常见的基础题型，侧重考查学生对基础定理的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形的基础题型，已知△ABC为直角三角形，CD是斜边AB的中线，解题思路是利用直角三角形的核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，通过已知的中线长度，直接计算出斜边AB的长度。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得AB=2CD。已知CD=2，因此AB=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查直角三角形的基础性质，属于对核心知识点的直接应用，是常见的基础题型，侧重考查学生对基础定理的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在正五边形ABCDE中,连接AC,AD,则∠CAD的度数是________度.
答案
14. 36 【点拨】本题考查正五边形的性质,多边形内角和定理.
【解析】$\because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形, $\therefore AB = BC = AE = DE, ∠ B = ∠ BAE = ∠ E = \frac{180° × (5 - 2)}{5} = 108°, \therefore △ BAC ≌ △ EAD(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ CAB = ∠ DAE = \frac{180° - 108°}{2} = 36°, \therefore ∠ CAD = 108° - 36° - 36° = 36°$. 故答案为 36.
【解析】$\because$ 五边形 $ABCDE$ 是正五边形, $\therefore AB = BC = AE = DE, ∠ B = ∠ BAE = ∠ E = \frac{180° × (5 - 2)}{5} = 108°, \therefore △ BAC ≌ △ EAD(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ CAB = ∠ DAE = \frac{180° - 108°}{2} = 36°, \therefore ∠ CAD = 108° - 36° - 36° = 36°$. 故答案为 36.
解析
【分析】要计算正五边形中∠CAD的度数，首先利用多边形内角和定理求出正五边形的每个内角度数；再根据正五边形各边相等的性质，得到等腰三角形，求出∠CAB和∠DAE的度数；最后用正五边形的内角∠BAE减去这两个角，即可得到∠CAD的度数。
【解析】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=AE=DE，∠B=∠BAE=∠E = $\frac{(5-2)×180°}{5}$ = 108°，
在△ABC中，AB=BC，∠B=108°，
∴∠CAB = $\frac{180° - ∠B}{2}$ = $\frac{180° - 108°}{2}$ = 36°，
同理可得∠DAE = 36°，
∴∠CAD = ∠BAE - ∠CAB - ∠DAE = 108° - 36° - 36° = 36°。
【答案】36
【知识点】正五边形性质、多边形内角和定理
【点评】本题考查正五边形的基本性质，结合多边形内角和与等腰三角形的角度计算，属于基础几何题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】0.7
【解析】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=AE=DE，∠B=∠BAE=∠E = $\frac{(5-2)×180°}{5}$ = 108°，
在△ABC中，AB=BC，∠B=108°，
∴∠CAB = $\frac{180° - ∠B}{2}$ = $\frac{180° - 108°}{2}$ = 36°，
同理可得∠DAE = 36°，
∴∠CAD = ∠BAE - ∠CAB - ∠DAE = 108° - 36° - 36° = 36°。
【答案】36
【知识点】正五边形性质、多边形内角和定理
【点评】本题考查正五边形的基本性质，结合多边形内角和与等腰三角形的角度计算，属于基础几何题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】0.7
15. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=45°$,$AD$,$BE$交于点$O$,$∠ AOE=60°$,$BE=AD$,$BD=6\sqrt{2}$,$AE=8$,则$AD$的长为________.
答案
15. $2\sqrt{58}$ 【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
【解析】如图,过点 $A$ 作 $AF // BC$, 过点 $B$ 作 $BF // AD$ 交 $AF$ 于点 $F$, 连接 $EF$, 过点 $E$ 作 $EG ⊥ AF$ 交 $FA$ 的延长线于点 $G, \therefore ∠ G = 90°. \because BF // AD, \therefore ∠ EBF = ∠ AOE = 60°. \because AF // BC,BF // AD, \therefore$ 四边形 $ADBF$ 是平行四边形, $\therefore AF = BD = 6\sqrt{2},BF = AD. \because AD = BE, \therefore BE = BF, \therefore △ BEF$ 是等边三角形, $\therefore EF = BE = AD. \because AF // BC, \therefore ∠ GAE = ∠ C = 45°, \therefore △ AGE$ 是等腰直角三角形. $\because AE = 8, \therefore AG = EG = 4\sqrt{2}, \therefore FG = 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 10\sqrt{2}, \therefore EF = \sqrt{FG^2 + EG^2} = 2\sqrt{58}, \therefore AD = 2\sqrt{58}$. 故答案为 $2\sqrt{58}$.
解析
【分析】
要计算AD的长度，已知BE=AD，需将分散的条件集中，通过构造平行四边形转化线段关系：过点A作AF//BC，过点B作BF//AD，构造平行四边形ADBF，得到AF=BD、BF=AD；结合BE=AD，可推出BE=BF，再由∠AOE=60°得到△BEF为等边三角形，EF=BE=AD；最后利用AF//BC得∠GAE=∠C=45°，构造等腰直角三角形AGE，结合勾股定理计算EF的长度，即可得到AD的长。
【解析】
如图，过点A作AF//BC，过点B作BF//AD交AF于点F，连接EF，过点E作EG⊥AF交FA的延长线于点G，
∴∠G=90°。
∵BF//AD，
∴∠EBF=∠AOE=60°。
∵AF//BC，BF//AD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∴AF=BD=6√2，BF=AD。
∵AD=BE，
∴BE=BF，又∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=AD。
∵AF//BC，
∴∠GAE=∠C=45°，
∴△AGE是等腰直角三角形。
∵AE=8，
∴AG=EG=AE·sin45°=8×(√2/2)=4√2。
∴FG=AF + AG=6√2 + 4√2=10√2。
在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF=√(FG² + EG²)=√[(10√2)² + (4√2)²]=√(200 + 32)=√232=2√58。
∴AD=EF=2√58。
【答案】
2√58
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理
【点评】
本题通过构造平行四边形将分散的线段条件集中，利用特殊三角形的性质简化计算，辅助线的构造是解题核心，综合考查几何图形的性质与转化能力，难度中等。
【难度系数】
0.4
要计算AD的长度，已知BE=AD，需将分散的条件集中，通过构造平行四边形转化线段关系：过点A作AF//BC，过点B作BF//AD，构造平行四边形ADBF，得到AF=BD、BF=AD；结合BE=AD，可推出BE=BF，再由∠AOE=60°得到△BEF为等边三角形，EF=BE=AD；最后利用AF//BC得∠GAE=∠C=45°，构造等腰直角三角形AGE，结合勾股定理计算EF的长度，即可得到AD的长。
【解析】
如图，过点A作AF//BC，过点B作BF//AD交AF于点F，连接EF，过点E作EG⊥AF交FA的延长线于点G，
∴∠G=90°。
∵BF//AD，
∴∠EBF=∠AOE=60°。
∵AF//BC，BF//AD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∴AF=BD=6√2，BF=AD。
∵AD=BE，
∴BE=BF，又∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=AD。
∵AF//BC，
∴∠GAE=∠C=45°，
∴△AGE是等腰直角三角形。
∵AE=8，
∴AG=EG=AE·sin45°=8×(√2/2)=4√2。
∴FG=AF + AG=6√2 + 4√2=10√2。
在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF=√(FG² + EG²)=√[(10√2)² + (4√2)²]=√(200 + 32)=√232=2√58。
∴AD=EF=2√58。
【答案】
2√58
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理
【点评】
本题通过构造平行四边形将分散的线段条件集中，利用特殊三角形的性质简化计算，辅助线的构造是解题核心，综合考查几何图形的性质与转化能力，难度中等。
【难度系数】
0.4
16. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,Q为直线CB上一动点,连接AQ,当$AQ=4\sqrt{5},BQ· CQ=55$时,$AB=$
5或3√15
.答案
16. 5或$3\sqrt{15}$ 【点拨】本题考查勾股定理,等腰三角形的性质等知识,熟练掌握勾股定理,并进行分类讨论是解题的关键.
【解析】如图,过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D. \because AB = AC, \therefore BD = CD$. 设 $BD = CD = x,DQ = y$. 如图 1, 当点 $Q$ 在线段 $BC$ 上,①当点 $Q$ 在 $CD$ 上时,$CQ = CD - DQ = x - y,BQ = BD + DQ = x + y. \because BQ · CQ = 55, \therefore (x + y)(x - y) = 55$, 即 $x^2 - y^2 = 55$. 在 $Rt△ ADQ$ 中, 由勾股定理得 $AQ^2 = AD^2 + DQ^2$, 即 $(4\sqrt{5})^2 = AD^2 + y^2, \therefore AD^2 = 80 - y^2$. 在 $Rt△ ADB$ 中, 由勾股定理得 $AB^2 = AD^2 + BD^2$, 即 $AB^2 = 80 - y^2 + x^2 = (x^2 - y^2) + 80 = 55 + 80 = 135$, 解得 $AB = 3\sqrt{15}$(负值已舍去);②当点 $Q$ 在线段 $BD$ 上时,同理可得 $AB = 3\sqrt{15}$;
如图 2, 当点 $Q$ 在线段 $BC$ 的延长线上,①当点 $Q$ 在线段 $DC$ 的延长线上时,$CQ = DQ - CD = y - x,BQ = 2BD + CQ = 2x + y - x = x + y. \because BQ · CQ = 55, \therefore (x + y)(y - x) = 55$, 即 $y^2 - x^2 = 55$. 在 $Rt△ ADQ$ 中, 由勾股定理得 $AQ^2 = AD^2 + DQ^2$, 即 $(4\sqrt{5})^2 = AD^2 + y^2, \therefore AD^2 = 80 - y^2$. 在 $Rt△ ADB$ 中, 由勾股定理得 $AB^2 = AD^2 + BD^2$, 即 $AB^2 = 80 - y^2 + x^2 = -(y^2 - x^2) + 80 = -55 + 80 = 25$, 解得 $AB = 5$(负值已舍去);②当点 $Q$ 在线段 $DB$ 的延长线上时,同理可得 $AB = 5$. 综上所述, $AB = 5$ 或 $AB = 3\sqrt{15}$. 故答案为 5 或 $3\sqrt{15}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线，将问题转化为直角三角形的勾股定理应用；其次对动点Q的位置分类讨论（在线段BC上或BC的延长线上），结合BQ·CQ的乘积，利用平方差公式和勾股定理消去中间变量，直接求出AB的平方，进而得到AB的值，注意舍去负值。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴BD=CD（等腰三角形三线合一）。
设BD=CD=x，DQ=y。
①当点Q在线段BC上时：
CQ = CD - DQ = x - y，BQ = BD + DQ = x + y，
由BQ·CQ=55，得：(x+y)(x - y)=55，即x² - y²=55。
在Rt△ADQ中，由勾股定理：AQ²=AD² + DQ²，
代入AQ=4√5，得：(4√5)²=AD² + y² → AD²=80 - y²。
在Rt△ADB中，AB²=AD² + BD²=(80 - y²)+x²=(x² - y²)+80=55+80=135，
∴AB=√135=3√15（负值舍去）。
②当点Q在线段BC的延长线上时：
CQ=DQ - CD = y - x，BQ=BD + DQ=x + y，
由BQ·CQ=55，得：(x+y)(y -x)=55，即y² -x²=55。
在Rt△ADQ中，AD²=AQ² - DQ²=80 - y²，
在Rt△ADB中，AB²=AD² + BD²=(80 - y²)+x²=80 - (y² -x²)=80 -55=25，
∴AB=√25=5（负值舍去）。
综上，AB的值为5或3√15。
【答案】
5或$3\sqrt{15}$
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理、平方差公式
【点评】
本题是等腰三角形与动点结合的综合题，核心是利用等腰三角形三线合一作高，通过分类讨论动点位置，结合勾股定理和平方差公式简化计算，考查学生的分类思想和代数运算能力，需注意舍去线段长度的负值。
【难度系数】
0.4
要解决这道题，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线，将问题转化为直角三角形的勾股定理应用；其次对动点Q的位置分类讨论（在线段BC上或BC的延长线上），结合BQ·CQ的乘积，利用平方差公式和勾股定理消去中间变量，直接求出AB的平方，进而得到AB的值，注意舍去负值。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴BD=CD（等腰三角形三线合一）。
设BD=CD=x，DQ=y。
①当点Q在线段BC上时：
CQ = CD - DQ = x - y，BQ = BD + DQ = x + y，
由BQ·CQ=55，得：(x+y)(x - y)=55，即x² - y²=55。
在Rt△ADQ中，由勾股定理：AQ²=AD² + DQ²，
代入AQ=4√5，得：(4√5)²=AD² + y² → AD²=80 - y²。
在Rt△ADB中，AB²=AD² + BD²=(80 - y²)+x²=(x² - y²)+80=55+80=135，
∴AB=√135=3√15（负值舍去）。
②当点Q在线段BC的延长线上时：
CQ=DQ - CD = y - x，BQ=BD + DQ=x + y，
由BQ·CQ=55，得：(x+y)(y -x)=55，即y² -x²=55。
在Rt△ADQ中，AD²=AQ² - DQ²=80 - y²，
在Rt△ADB中，AB²=AD² + BD²=(80 - y²)+x²=80 - (y² -x²)=80 -55=25，
∴AB=√25=5（负值舍去）。
综上，AB的值为5或3√15。
【答案】
5或$3\sqrt{15}$
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理、平方差公式
【点评】
本题是等腰三角形与动点结合的综合题，核心是利用等腰三角形三线合一作高，通过分类讨论动点位置，结合勾股定理和平方差公式简化计算，考查学生的分类思想和代数运算能力，需注意舍去线段长度的负值。
【难度系数】
0.4
