1. 定义:在平面直角坐标系中,将直线$L_{1}:y=ax+b(ab≠0)$上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的$k(k＞0)$倍,得到新的直线$L_{2}$,则称直线$L_{2}$为直线$L_{1}$的“$k$倍伴随线”.
【定义辨析】(1)若点$P(1,2)$在直线$L_{1}$上,则下列四个点①$(0,0)$,②$(2,4)$,③$(-2,-4)$,④$(3,6)$,在直线$L_{1}$的“$k$倍伴随线”$L_{2}$上的点有________;(填序号)
(2)下列函数图象是直线$y=x+1$的“2倍伴随线”的是 （）
A.$y=2x+2$
B.$y=x+2$
C.$y=\frac{1}{2}x+2$
D.$y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}$
【定义延伸】(3)若直线$L_{1}:y_{1}=a_{1}x+b_{1}$的“$k$倍伴随线”记为$L_{2}:y_{2}=a_{2}x+b_{2}$.现给出两个关系式:①$ka_{1}=a_{2}$;②$kb_{1}=b_{2}$.其中正确的是________;(填序号)
【定义应用】(4)如图,已知直线$L_{1}:y=-x+1$与$x$轴、$y$轴相交于$A,B$两点,若在它的“$k$倍伴随线”上存在一点$C$,能使$△ ABC$为等腰直角三角形,求$k$的值.

1.(1)②④ 解析:
∵将P(1,2)横、纵坐标都乘2得到(2,4),将P(1,2)横、纵坐标都乘3得到(3,6),
∴在L₁的“k倍伴随线”L₂上的点有②④.
(2)B 解析:直线y=x+1经过(-1,0),(0,1),将这两点横、纵坐标都乘2,得(-2,0),(0,2),设直线y=x+1的“2倍伴随线”表达式为y = mx + n,将(-2,0),(0,2)代入,得$\begin{cases}-2m+n=0,\\n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=2,\end{cases}$
∴直线y=x+1的“2倍伴随线”表达式为y=x+2.故选B.
(3)② 解析:直线L₁:y₁=a₁x+b₁中,令x=0,得y=b₁,令y=0,得$x=-\frac{b_1}{a_1}$,
∴L₁:y₁=a₁x+b₁经过$(-\frac{b_1}{a_1},0)$,$(0,b_1)$.将这两点横、纵坐标都乘k,得$(-\frac{kb_1}{a_1},0)$,$(0,kb_1)$.
∵直线L₁:y₁=a₁x+b₁的“k倍伴随线”记为L₂:y₂=a₂x+b₂,
∴将(0,kb₁)代入L₂:y₂=a₂x+b₂得kb₁=b₂,故正确的是②.
(4)直线L₁:y=-x+1中,令x=0,得y=1,令y=0,得x=1,
∴A(1,0),B(0,1),AB=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.设直线L₁:y=-x+1的“k倍伴随线”为y=px+q,将A(1,0),B(0,1)的横、纵坐标都乘k,得到(k,0),(0,k),
∴$\begin{cases}pk+q=0,\\q=k,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-1,\\q=k,\end{cases}$
∴直线L₁:y=-x+1的“k倍伴随线”为y=-x+k,要使△ABC为等腰直角三角形,如图,分三种情况讨论:
当∠ABC₁=90°且AB=BC₁时,得C₁(1,2),
∴2=-1+k,
∴k=3;当∠BAC₂=90°且AB=AC₂时,得C₂(2,1),
∴1=-2+k,
∴k=3;当∠BC₃A=90°且BC₃=AC₃时,得C₃(1,1),
∴1=-1+k,
∴k=2.综上所述,k=2或3.

2. （2025·宿迁期末）阅读理解:在平面直角坐标系中,给出如下定义:
定义一:若有三点$P,M,N$,且$PM=PN$,则称点$P$是$M,N$的轴美点;
定义二:若函数图象上存在某点$P$到$x$轴和$y$轴的距离中,其中一个距离是另一个距离的$2$倍,则称点$P$为该函数的“倍美点”,此函数称为“倍美函数”,如点$(-2,4)$是函数$y=-\frac{1}{2}x+3$图象上的点,所以函数$y=-\frac{1}{2}x+3$是“倍美函数”,点$(-2,4)$是该函数的“倍美点”.像$y=-\frac{1}{2}x,y=2x$等则是特殊的“倍美函数”.
根据以上材料,完成下列问题:
(1)已知函数$y=x+2$与$x$轴和$y$轴分别相交于点$A,B$,若有三点$C(-3,2),D(-2,2),E(0,-2)$,则其中是$A,B$“轴美点”的是. (只填字母)
(2)已知两点$G(-2,0),H(0,4)$.
①请说明点$G,H$的“轴美点”在函数$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$的图象上;
②在①的条件下,若“倍美函数”$y=mx-3$上存在点$P$,使得点$P$既是$G,H$“轴美点”,又是此函数的“倍美点”,求出$m$的值.
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(3)已知“倍美函数”$y=|x-2|+n$,是否存在整数$n$使得该函数恰好具有三个“倍美点”?若存在,直接写出$n$的值和“倍美点”坐标;若不存在,简要说明理由.

2.(1)D 解析:
∵y=x+2与x轴和y轴分别相交于点A,B,
∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,2).
∵点C(-3,2),D(-2,2),E(0,-2),
∴CA=$\sqrt{(-3+2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$,CB=$\sqrt{3^2+0^2}=3$;DA=2,DB=2;EA=$\sqrt{8}$,EB=4.
∵DA=DB,
∴是A,B“轴美点”的是D.
(2)①设函数$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$图象上一点M为$(x,-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})$.
∵G(-2,0),H(0,4),
∴GM=$\sqrt{(x+2)^2+(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}}$,$HM=\sqrt{x^2+(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-4)^2}=\sqrt{\frac{5}{4}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}}$,
∴GM=HM,
∴G,H的“轴美点”在函数$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$的图象上.
②由题意,得点$P(a,-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2})$,当$2|a|=\left|-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}\right|$时,$2a=-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}$或$-2a=-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}$,解得a=0.6或a=-1;
当$|a|=2\left|-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}\right|$时,$a=2(-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2})$或$-a=2(-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2})$,解得a=1.5或无解.当a=0.6时,点P为(0.6,1.2),
∴1.2=0.6m-3,解得m=7;当a=-1时,点P为(-1,2),
∴2=-m-3,解得m=-5;当a=1.5时,点P为(1.5,0.75),
∴0.75=1.5m-3,解得m=2.5.综上,m的值为7或-5或2.5.
(3)当n=1时,y=|x-2|+n恰好具有三个“倍美点”,分别是(2,1),(1,2),(-3,6);当n=-2时,y=|x-2|+n恰好具有三个“倍美点”,分别是(0,0),$(\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$,(8,4).
解析:
∵“倍美函数”y=|x-2|+n恰好具有三个“倍美点”,
∴y=|x-2|+n与y=±$\frac{1}{2}x$和y=±2x恰好有3个交点,如图,当n=1时,y=|x-2|+n恰好具有三个“倍美点”,分别是(2,1),(1,2),(-3,6);当n=-2时,y=|x-2|+n恰好具有三个“倍美点”,$\begin{cases}y=x-2-2,\\y=-0.5x\end{cases}$,或$\begin{cases}y=x-2-2,\\y=0.5x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{8}{3},\\y=-\frac{4}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=8,\\y=4.\end{cases}$
∴“倍美点”分别是(0,0),$(\frac{8}{3},-\frac{4}{3})$,(8,4).