3. （2025·扬州期末）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AE ⊥ AB$且$AE = AB$，点$D$在$CA$的延长线上，连接$DE$，$∠ ADE = 135°$。求证：$BC = DC$。
①如图②，小明同学从$∠ ADE = 135°$这个条件出发，给出如下解题思路：过$E$作$EF ⊥ AD$交$AD$的延长线于点$F$，则$∠ EDF = 45°$，$△ EDF$是等腰直角三角形，$EF = DF$，再证明两个三角形全等，转化等量线段。
②如图③，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段$CB$上截取$CG = AC$，则$△ ACG$是等腰直角三角形，得到$∠ AGB = 135°$，将线段$BC$，$DC$之间的数量关系转化为线段$BG$与$AD$之间的数量关系。
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程。
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图①进行变换，提出下面问题，请你解答。
如图④，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，延长$CA$至点$D$，使$AD = AB$，射线$AM ⊥ AB$，点$E$在线段$AB$上，点$F$在射线$AM$上，连接$EF$，$DF$，$EF = DF$且$EF ⊥ DF$，求证：$AF = AE + BC$。
【类比分析】
（3）如图⑤，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，延长$CA$至点$D$，使$AD = AB$，射线$AM ⊥ AB$，点$E$在线段$BA$的延长线上，点$F$在射线$AM$上，连接$EF$，$DF$，$EF = DF$且$EF ⊥ DF$，若$BC = 7$，$AE = 2$，求$△ ADF$的面积。

(1)选择小明同学的解题思路,如图①,过 E 作 EF⊥AD,交 AD 的延长线于点 F,
∴ ∠F = 90°.
∵ ∠ADE = 135°,
∴ ∠EDF = 45°,
∴ △EDF 是等腰直角三角形,
∴ EF = DF.
∵ AB⊥AE,
∴ ∠BAE = 90°,
∴ ∠CAB + ∠EAF = 90°.
∵ ∠C = 90°,
∴ ∠CAB + ∠B = 90°,
∴ ∠B = ∠EAF. 又
∵ ∠C = ∠F = 90°,AB=AE,
∴ △ABC≌△EAF(AAS),
∴ BC = AF,AC = EF,
∴ AC = DF.
∵ AF = AD + DF,
∴ AF = AD + AC = DC,
∴ BC = DC.

(选择小涛同学的解题思路也可:如图②,在 BC 上截取 CG=AC,连接 AG,
∵ ∠C=90°,AC=CG,
∴ △ACG 为等腰直角三角形,
∴ ∠AGC=45°,
∴ ∠AGB=135°.
∵ ∠ADE=135°,
∴ ∠AGB=∠ADE.又
∵ AB⊥AE,
∴ ∠BAE=90°,
∴ ∠DAE+∠BAC=90°.又
∵ ∠B+∠BAC=90°,
∴ ∠B=∠DAE.又
∵ AB=AE,
∴ △ABG≌△EAD(AAS),
∴ BG=AD.
∵ BC=BG+CG,
∴ BC=AD+AC=DC,
∴ BC=DC.)
(2)如图③,过 D 作 DG⊥AF 于点 G,则∠AGD=∠FGD=90°.
∵ AB⊥AM,
∴ ∠BAM=90°,
∴ ∠BAC+∠DAG=90°.又
∵ ∠C=90°,
∴ ∠BAC+∠B=90°,
∴ ∠B=∠DAG.
∵ ∠C=∠AGD=90°,AB=AD,
∴ △ABC≌△DAG(AAS),
∴ BC=AG.
∵ EF⊥DF,
∴ ∠EFD=90°,
∴ ∠AFE+∠AFD=90°.又
∵ ∠AFD+∠FDG=90°,
∴ ∠AFE=∠FDG.又
∵ ∠EAF=∠FGD=90°,EF=DF,
∴ △AEF≌△GFD (AAS),
∴ AE = GF.
∵ AF = GF + AG,
∴ AF=AE+BC.

(3)如图④,过 D 作 DH⊥AM 于点 H,则∠DHF = 90°,
∵ AB⊥AM,
∴ ∠BAM=90°,
∴ ∠DAH+∠BAC=90°.又
∵ ∠C=90°,
∴ ∠B+∠BAC=90°,
∴ ∠B=∠DAH.又
∵ ∠C=∠DHA=90°,AB=DA,
∴ △ABC≌△DAH(AAS),
∴ BC=AH=7.
∵ DF⊥EF,
∴ ∠DFE=90°,
∴ ∠DFH+∠AFE=90°.又
∵ ∠EAF=90°,
∴ ∠E+∠AFE=90°,
∴ ∠E=∠DFH.又
∵ ∠EAF=∠FHD=90°,EF=FD,
∴ △AEF≌△HFD(AAS),
∴ AE=HF=2,AF=HD.
∵ AH=7,
∴ AF=AH-HF=7-2=5,
∴ HD=5,
∴ $S_{△ADF}=\dfrac{1}{2}AF· DH=\dfrac{1}{2}×5×5=\dfrac{25}{2}$.