3. （2025·南京建邺区期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点$ P(x,y)(xy≠0) $是平面内任意一点.过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点M和点N，若四边形PMON的周长为6，则点P叫作“周六点”，例如：下图中的$ P(2,-1) $是一个“周六点”.
(1)若$ D(m,2m+2) $为“周六点”，求m的值；
(2)点Q的坐标为$ (2,2) $，若点P是“周六点”，则PQ的最小值为 （）
A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
B. 1
C. $ \sqrt{2} $
D. 2
(3)若一次函数$ y=kx+k-4 $的图象上存在“周六点”，则k的取值范围是.

3.(1)
∵D(m,2m+2)为“周六点”,
∴2(|m|+|2m+2|)=6,
∴|m|+|2m+2|=3,当m≤-1时,可得-m-2m-2=3,解得$m=-\frac{5}{3}$;当-1＜m≤0时,可得-m+2m+2=3,解得m=1(不符合题意,舍去);当m＞0时,可得m+2m+2=3,解得$m=\frac{1}{3}$.综上所述,当$m=-\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$时,D(m,2m+2)为“周六点”.
(2)A 解析:设点P的坐标为(x,y).
∵点P为“周六点”,
∴2(|x|+|y|)=6,
∴|x|+|y|=3.①当x＞0,y＞0时,可得x+y=3,整理可得y=-x+3,如图①所示,当x=2时,可得y=1,
∴点G的坐标为(2,1).当y=2时,可得2=-x+3,解得x=1,
∴点F的坐标为(1,2),
∴FQ=2-1=1,QG=2-1=1,
∴△QFG是等腰直角三角形,∠FQG=90°,
∴FG=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.过点Q作QP⊥FG于点P,则QP是FG上的中线,
∴QP=$\frac{1}{2}FG=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
②当x＜0,y＞0时,可得-x+y=3,整理得y=x+3,如图②所示,作QP⊥AB,OE⊥AB,连接OQ,当x=0时,y=3,
∴点B的坐标为(0,3),当y=0时,可得x+3=0,解得x=-3,
∴点A的坐标为(-3,0),
∴△AOB是等腰三角形,∠AOB=90°,OA=OB=3,
∴AB=$\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$.
∵$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=\frac{1}{2}AB·OE$,
∴3×3=$\sqrt{18}OE$,解得OE=$\frac{9}{\sqrt{18}}$,
∴QP=$\frac{9}{\sqrt{18}}$.
③当x＜0,y＜0时,可得-x-y=3,整理得y=-x-3,如图③所示,
∴点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(0,-3),
∴AB=$\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$,
∴$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}OA·OB=\frac{1}{2}AB·OP$,
∴3×3=$\sqrt{18}OP$,解得OP=$\frac{9}{\sqrt{18}}$.
∵点Q的坐标为(2,2),
∴OQ=$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$,
∴QP=OQ+OP=$\frac{9}{\sqrt{18}}+\sqrt{8}$.
④当x＞0,y＜0时,可得x-y=3,整理可得y=x-3,如图④所示,由②可知QP=OF=$\frac{9}{\sqrt{18}}$.
综上所述,$\frac{\sqrt{2}}{2}＜1$;$\frac{9}{\sqrt{18}}+\sqrt{8}＞\frac{9}{\sqrt{18}}＞1$,
∴PQ的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.故选A.
(3)$k≥ 1或k＜-2$ 解析:设点P是一次函数y=kx+k-4的图象上的“周六点”,由条件可知,点P的图象如图⑤所示,
∵当x=-1时,y=-4,
∴一次函数y=kx+k-4一定经过点(-1,-4),当k＞0时,可知k-4≥-3,解得k≥1;当k＜0时,可得-3k+k-4＞0,解得k＜-2.综上所述,k的取值范围是k≥1或k＜-2.