1. （2025·盐城期末）阅读材料：美国总统加菲尔德利用图①验证了勾股定理，过等腰直角$△ ABC$的直角顶点$B$作直线$l$，过点$A$作$AD ⊥ l$于点$D$，过点$C$作$CE ⊥ l$于点$E$，研究图形，不难发现：$△ ADB ≌ △ BEC$.
问题解决：如图②，已知直线$y=kx+b$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，与$y$轴交于点$B(0,2)$，点$C$坐标为$(1,-1)$.
(1)求直线$AB$的表达式.
(2)以$BC$为直角边作等腰直角$△ BCD$($B,C,D$三点按照顺时针顺序排列)，且$∠ BCD=90°$，$BC=CD$，求点$D$的坐标，并判断点$D$是否在直线$AB$上.
(3)在(2)的条件下，点$M$是线段$BD$上一个动点，以$CM$为直角边作等腰直角$△ CMN$($C,M,N$三点按照顺时针顺序排列)，且$∠ CMN=90°$，$CM=MN$.
①在点$M$运动的过程中，$△ CDN$的面积是否变化，若不变，请求出它的面积，若发生变化，请说明理由；
②在点$M$从点$B$运动到点$D$的过程中，点$N$的运动路径长为________.

1.(1)将点A(-1,0)和B(0,2)代入直线方程y=kx+b，
$\begin{cases}-k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得k=2,b=2,
∴直线AB的表达式为y=2x+2.
(2)如图①所示,过点C作y轴的平行线GH,交过点B与x轴平行的线于点G,交过点D与x轴平行的线于点H,
∵△BCD为等腰直角三角形,且BC=DC,∠BCD=90°,
∴∠G=∠H=∠BCD=90°,
∴∠DCH=∠CBG=90°-∠BCG,
∴△CGB≌△DHC(AAS),则CG=2+1=3=DH,BG=1=CH,则点D(-2,-2),当x=-2时,y=2x+2=-2,即点D在直线AB上。
(3)①面积不变为5.理由:点M是线段BD上一个动点,设点M(m,2m+2),当-1≤m≤0时,如图②,过点M作y轴的平行线RT,交过点N和x轴平行的线于点R,交过点C和x轴平行的线于点T.
∵△CMN为等腰直角三角形,同理可得△NRM≌△MTC(AAS),则MT=2m+3=RN,TC=1-m=RM,则点N(3m+3,m+3)。
当$-\frac{3}{2}＜m＜-1$时,如图③,过点M作y轴的平行线R'T',交过点N和x轴平行的线于点R',交过点C和x轴平行的线于点T'.
∵△MNC为等腰直角三角形,同理可得△NR'M≌△MT'C(AAS),则MT'=2m+3=R'N,T'C=1-m=R'M,则点N(3m+3,m+3)。
当$-2≤m≤-\frac{3}{2}$时,如图④,过点M作x轴的平行线R''T'',交过点N和y轴平行的线于点R'',交过点C和y轴平行的线于点T''.
∵△CMN为等腰直角三角形,同理可得△NR''M≌△MT''C(AAS),则MT''=1-m=R''N,T''C=-2m-3=R''M,则点N(3m+3,m+3)。
综上所述,设点M(m,2m+2),则点N(3m+3,m+3),则点N在直线$y=\frac{1}{3}x+2$上,该直线和y轴的交点为B(0,2)。
如图⑤,由点C,D的坐标得,直线CD的表达式为$y=\frac{1}{3}(x-1)-1$,故上述两条直线平行,设CD交y轴于点$H(0,-\frac{4}{3})$,则△CDN的面积=△CDB的面积=$\frac{1}{2}×HB×(x_C-x_D)=\frac{1}{2}×(2+\frac{4}{3})×(1+2)=5$。
②$\sqrt{40}$ 解析:当点M在点B时,即m=0,则点N(3,3),当点M在点D时,即m=-2,则点N'(-3,1),则N的运动路径长为$\sqrt{(3+3)^2+(3-1)^2}=\sqrt{40}$。