2. (2025·扬州期末)如图①,在平面直角坐标系中,直线$l:y=x+2$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,点$C$在$x$轴的正半轴上,且$OC=3OB$.
(1)求直线$BC$的表达式;
(2)点$P$是线段$BC$上一动点,过$P$作$PQ ⊥ AB$于$Q$,当$PQ=\sqrt{2}$时,求点$P$的坐标;
(3)如图②,在(2)问条件下,点$M$为直线$AB$上一动点,当$∠ QPM=∠ ACB+45°$时,直接写出所有符合条件的点$M$的坐标.

(1)
∵直线l的表达式为y=x+2,
∴当x=0时,y=2;当y=0时,x=-2,
∴A(-2,0),B(0,2),
∴OB=2.
∵OC=3OB,
∴C(6,0),设直线BC的表达式为y=kx+2(k≠0),把C(6,0)代入得$k=-\frac{1}{3}$,
∴直线BC的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+2$。
(2)如图,过点P作直线垂直于x轴,垂足为N,交直线AB于点G,
∵A(-2,0),B(0,2),
∴OA=OB=2.
∵∠AOB=90°,
∴∠BAO=∠ABO=45°.
∵GN//OB,
∴∠ABO=∠AGN=45°,
∴△AGN为等腰直角三角形,
∴AN=GN.
∵PQ⊥AG,
∴∠PQG=90°.
∵∠AGN=45°,PQ=$\sqrt{2}$,
∴PG=2.又
∵AO=2,NA=NG,
∴NO=NP,设$P(m,-\frac{1}{3}m+2)$,则ON=m,PN=$-\frac{1}{3}m+2$,则有$m=-\frac{1}{3}m+2$,
∴$m=\frac{3}{2}$,
∴$-\frac{1}{3}m+2=\frac{3}{2}$,
∴$P(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。
(3)点M坐标为$(\frac{5}{2},\frac{9}{2})$或$(-\frac{3}{2},\frac{1}{2})$。

3. （2025·镇江丹徒区期末）在平面直角坐标系$xOy$中，直线$AB$分别与$x$轴、$y$轴交于点$A(4,0),B(0,4)$，点$A$与点$C$关于$y$轴对称，作直线$BC$，点$P$为线段$BC$上一点（不与点$B,C$重合），其横坐标为$n$.
(1)求直线$BC$对应的函数表达式.
(2)如图①，连接$AP$，将$△ ABP$沿$AP$所在直线翻折，若点$B$的对应点$B'$落在$x$轴上，则$n=\_\_\_\_\_\_$.
(3)如图②，连接$OP$，作$OQ ⊥ OP$，交直线$AB$于点$Q$.将$△ AOQ$沿$OQ$所在直线折叠，点$A$的对应点记作点$A'$，连接$A'P,A'Q$.
①在点$P$运动的过程中，$∠ PA'Q$的大小是否发生变化？若不变，请求其大小并写出过程；若变化，请说明理由；
②若$n=-3$，作直线$A'B$，此时直线$A'B$对应的函数表达式为________.

(1)
∵点A的坐标为(4,0),点A与点C关于y轴对称,
∴点C的坐标为(-4,0).设直线BC的函数表达式为y=kx+b,把点B,C的坐标代入y=kx+b中,可得$\begin{cases}-4k+b=0,\\b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=4,\end{cases}$
∴直线BC的表达式为y=x+4。
(2)$4-\sqrt{32}$ 解析:设点P的坐标为(n,n+4).
∵点A(4,0),B(0,4),
∴AB=$\sqrt{32}$,∠BAC=45°.
∵B(0,4),C(-4,0).
∴∠BCA=45°,
∴∠ABC=90°.由翻折的性质可知,AB'=AB=$\sqrt{32}$,∠PB'A=∠ABC=90°.
∵AC=4-(-4)=8,
∴B'C=AC-AB'=8-$\sqrt{32}$,在等腰△PCB'中,PB'=n+4=B'C=8-$\sqrt{32}$,解得n=4-$\sqrt{32}$。
(3)①∠PA'Q的大小不发生变化.由(2)可知∠BAC=∠BCA=45°,设∠AOQ=∠A'OQ=α,则∠COP+∠A'OP+2α=180°,而∠POQ=∠A'OP+α=90°,
∴∠COP+α=∠A'OP+α,
∴∠A'OP=∠COP.在△OPA'和△OPC中,$\begin{cases}OP=OP,\\∠A'OP=∠COP,\\OA'=OC,\end{cases}$
∴△OPA'≌△OPC,
∴∠OA'P=∠OCP=45°.由折叠的性质得∠OA'Q=∠QAO=45°,
∴∠PA'Q=∠OA'P+∠OA'Q=45°+45°=90°,
∴∠PA'Q的大小不变化,为90°。
②$y=\frac{1}{2}x+4$