例1 7个杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2个杯子。能否经过若干次翻转,使得7个杯子全部杯口朝下?
分析:根据每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶情况,就可以使问题得以解决。一开始杯口朝上的杯子有7个,是奇数;第一次翻转后,杯口朝上的变为5个,仍是奇数;再继续翻转,因为只能翻转2个杯子,即只有2个杯子改变了上、下方向,所以杯口朝上的杯子数仍不是2的倍数,仍是奇数。以此类推,无论翻转多少次,杯口朝上的杯子数永远是奇数,也就不可能使7个杯子全部杯口朝下。
解答:经过若干次翻转,不可能使7个杯子全部杯口朝下。

初始杯口朝上的杯子数是7，为奇数。
每次翻转2个杯子，杯口朝上的杯子数的变化量为偶数，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数。
杯口全部朝下时，朝上的杯子数为0，是偶数。
答：不能经过若干次翻转，使得7个杯子全部杯口朝下。

1. 在八个房间中,有七个房间开着灯,一个房间关着灯。如果每次同时拨动四个房间的开关,若干次后,能不能把全部房间的灯关上?为什么?

1. 不能,因为七个开着灯的房间,开关需要拨奇数个,灯才会全部关上。而实际每次拨动四个房间的开关,无论拨多少次,拨动开关的总个数都是2的倍数,也就不能把全部房间的灯关上。
提示:共八个房间,有七个房间开着灯,为奇数,一个房间关着灯,也为奇数。每次同时拨动四个房间的开关,拨动开关的总个数必定是2的倍数,所以每次拨动四个,无论怎么拨动,总个数都不会是奇数,即不能把全部房间的灯关上。

2. 甲、乙两人做游戏。任意指定九个连续的整数,甲将这九个整数以任意的顺序填在图中第一行的方格里,乙将这九个整数以任意的顺序填在图中第二行的方格里,然后计算出所有同一列的两个数的差(大数减小数),再将这九个差相乘。游戏规则:若积是偶数,则甲胜;若积是奇数,则乙胜。请说明谁将获胜。

2. 答案不唯一,示例:
|7|5|4|1|8|2|6|3|9|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|1|6|5|9|2|4|7|8|3|
7-1=6 6-5=1 5-4=1 9-1=8 8-2=6
4-2=2 7-6=1 8-3=5 9-3=6 6×1×1×8×6×2×1×5×6=17280 甲将获胜
提示:本题分类讨论可得结果。①若9个连续整数是5个奇数,4个偶数,无论怎样填写,总有一列都是奇数,两个奇数相减得到的数是2的倍数,所以这9个差相乘一定是偶数;②若9个连续整数有5个偶数,4个奇数,无论怎样填写,总有一列都是偶数,两个偶数相减得到的还是2的倍数,所以这9个差相乘一定是偶数。

例2 有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三人年龄数的积是1620,这三个学生的年龄各是多少岁?
分析:本题属于“已知几个数的积,求这几个数”的实际问题,我们可以采用分解质因数的方法来分析解答。先把题目中给出的积分解质因数,然后根据要求把质因数进行相应的组合计算,便可以找到符合题意的几个数,使问题得以解决。
解答:把1620分解质因数可得
$1620=2×2×3×3×3×3×5$
$\begin{aligned}&=(3×3)×(2×2×3)×(3×5)\\&=9×12×15\end{aligned}$
答:这三个学生的年龄分别是9岁、12岁、15岁。

$1620=2×2×3×3×3×3×5$
$\begin{aligned}&=(3×3)×(2×2×3)×(3×5)\\&=9×12×15\end{aligned}$
答：这三个学生的年龄分别是9岁、12岁、15岁。

3. 把一篮苹果分给4人,使四人的苹果数一人比一人多1个,且他们的苹果个数之积是5040。这篮苹果共有几个?

3. 5040=2×2×2×2×3×3×5×7=7×(2×2×2)×(3×3)×(2×5)=7×8×9×10 7+8+9+10=34(个)
提示:先把5040分解质因数,再把质因数进行组合,求出四人分得的苹果个数,再求这篮苹果的总个数。