14.(真题·宁波北仑)如图 1,在$□ ABCD$中,M 是 CD 的中点,连结 AM 并延长交 BC 的延长线于点 N,连结 AC,DN。
(1)求证:四边形 ACND 是平行四边形。
(2)如图 2,连结 BM,若$CD=2BC=13,BM=12$。
①求证:$BM⊥AN$;
②求 AN 的值。

14.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD// BC$,所以$∠ ADM=∠ MCN$,又因为M是CD的中点,所以$DM=CM$,$∠ AMD=∠ NMC$,所以$△ ADM≌△ NCM$(ASA),所以$AD=CN$,又因为$AD// CN$,所以四边形ACND是平行四边形。
(2)①证明:在$□ ABCD$中,$CD=BA=2BC$,$AD=BC$,在$□ ACND$中,$AD=CN$,所以$BC=CN$,所以$BN=BC+CN=2BC$,所以$BA=BN$,所以$△ BAN$为等腰三角形,在$□ ACND$中,$AM=MN$,所以BM是等腰三角形BAN底边AN上的中线,所以$BM⊥ AN$;
②由①知:$BN=2BC$。又因为$CD=2BC$,所以$BN=CD=13$,因为$BM⊥ AN$,所以$△ BMN$为直角三角形,根据勾股定理得$MN=\sqrt{BN^2-BM^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,在$□ ACND$中,可得$AN=2MN=2×5=10$。

【分析】
本题为几何综合题，第(1)问要证四边形ACND是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质得到AD与CN平行，再通过证明三角形全等得到AD=CN，结合平行四边形判定定理推导；第(2)问①证BM⊥AN，需结合线段关系推出△BAN为等腰三角形，再利用平行四边形性质得M是AN中点，根据等腰三角形三线合一得垂直；②求AN，利用勾股定理先算MN，再结合平行四边形对角线性质得AN=2MN。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，即AD//CN，
∴ ∠ADM=∠MCN。
∵ M是CD的中点，
∴ DM=CM。
在△ADM和△NCM中，
$\{\begin{array}{l}∠ADM=∠NCM \\DM=CM \\∠AMD=∠NMC\end{array} $
∴ △ADM≌△NCM（ASA），
∴ AD=CN。
又
∵ AD//CN，
∴ 四边形ACND是平行四边形。
(2) ① 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD=BC。
∵ 四边形ACND是平行四边形，
∴ AD=CN，
∴ BC=CN，
∴ BN=BC+CN=2BC。
已知CD=2BC=13，
∴ AB=BN=13，即△BAN是等腰三角形。
∵ 四边形ACND是平行四边形，
∴ AM=MN（平行四边形对角线互相平分），即M是AN中点。
∴ BM是等腰△BAN底边AN的中线，根据等腰三角形三线合一，得BM⊥AN。
② 解：
由①知BN=13，BM=12，且BM⊥AN，故△BMN是直角三角形，
根据勾股定理：$MN=\sqrt{BN^2 - BM^2}=\sqrt{13^2 -12^2}=5$。
∵ 四边形ACND是平行四边形，
∴ AN=2MN=2×5=10。
【答案】
(1) 四边形ACND是平行四边形，证明见解析；
(2) ① BM⊥AN，证明见解析；② AN=10。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查几何核心知识点，需逐步推导线段与图形关系，逻辑要求清晰，是典型的几何综合题，注重知识点的串联应用。
【难度系数】
0.5