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8.(真题·金华金东)如图,在$□ ABCD$中,$∠D=5∠CAB$,在 AC 上取点 P,使$PC=BC$,连结 BP,过点 P 作$EF⊥CD$交 AB,CD 分别于点 E,F。已知$BE=2,AE=x,BP=y$,当 x,y 发生变化时,下列代数式值不变的是 …………(
A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
B
)A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
答案
8.B 解析:设$∠ CAB=α$,则$∠ D=5∠ CAB=5α$,因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$∠ ABC=∠ D=5α$,$AB// CD$,在$△ ABC$中,$∠ ACB=180°-∠ CAB-∠ ABC=180°-α-5α=180°-6α$,因为$PC=BC$,所以$∠ CPB=∠ CBP=\frac{180°-∠ ACB}{2}=\frac{180°-(180°-6α)}{2}=3α$,所以$∠ PBA=∠ ABC-∠ CBP=5α-3α=2α$,如图,
在AE上取$QE=BE=2$,连结PQ。因为$EF⊥ CD$,$AB// CD$,因为$EF⊥ AB$,所以EF是QB的垂直平分线,所以$PQ=PB$,所以$∠ PQB=∠ PBQ=2α$,所以$∠ QPA=∠ PQB-∠ CAB=2α-α=α$,所以$∠ QPA=∠ CAB=α$,所以$AQ=QP=BP=y$,因为$AE=x$,所以$AE-AQ=QE=2$,即$x-y=2$,所以x,y发生变化时,$x-y$不变。故选:B。解析
【分析】
本题是平行四边形背景下的线段定值问题，解题思路：①利用平行四边形的性质，设∠CAB=α，用α表示出各内角的度数；②结合等腰三角形PC=BC，求出∠PBA的度数；③通过作辅助线构造垂直平分线，得到线段相等关系；④利用三角形外角性质推出角相等，进而得到线段AQ=QP=BP，最终结合线段长度关系判断代数式的值是否不变。
【解析】
设∠CAB=α，则∠D=5α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=5α，AB//CD，
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-α-5α=180°-6α，
∵PC=BC，
∴△PCB为等腰三角形，∠CPB=∠CBP=(180°-∠ACB)/2=(180°-(180°-6α))/2=3α，
∴∠PBA=∠ABC - ∠CBP=5α-3α=2α，
在AE上取QE=BE=2，连结PQ，
∵EF⊥CD，AB//CD，
∴EF⊥AB，即EF垂直平分QB，
∴PQ=PB=y，
∴∠PQB=∠PBQ=2α，
根据三角形外角性质，∠QPA=∠PQB - ∠CAB=2α - α=α，
∴∠QPA=∠CAB=α，
∴AQ=QP=y，
又
∵AE=x，QE=AE - AQ=x - y，且QE=2，
∴x - y=2，即x-y的值不变，故选B。
【答案】B
【知识点】平行四边形性质、等腰三角形性质、垂直平分线性质
【点评】本题综合考查平行四边形、等腰三角形及垂直平分线的性质，通过设角推导角度关系，作辅助线转化线段是解题关键，属于中等难度的几何定值问题，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.4
本题是平行四边形背景下的线段定值问题，解题思路：①利用平行四边形的性质，设∠CAB=α，用α表示出各内角的度数；②结合等腰三角形PC=BC，求出∠PBA的度数；③通过作辅助线构造垂直平分线，得到线段相等关系；④利用三角形外角性质推出角相等，进而得到线段AQ=QP=BP，最终结合线段长度关系判断代数式的值是否不变。
【解析】
设∠CAB=α，则∠D=5α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=5α，AB//CD，
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-α-5α=180°-6α，
∵PC=BC，
∴△PCB为等腰三角形，∠CPB=∠CBP=(180°-∠ACB)/2=(180°-(180°-6α))/2=3α，
∴∠PBA=∠ABC - ∠CBP=5α-3α=2α，
在AE上取QE=BE=2，连结PQ，
∵EF⊥CD，AB//CD，
∴EF⊥AB，即EF垂直平分QB，
∴PQ=PB=y，
∴∠PQB=∠PBQ=2α，
根据三角形外角性质，∠QPA=∠PQB - ∠CAB=2α - α=α，
∴∠QPA=∠CAB=α，
∴AQ=QP=y，
又
∵AE=x，QE=AE - AQ=x - y，且QE=2，
∴x - y=2，即x-y的值不变，故选B。
【答案】B
【知识点】平行四边形性质、等腰三角形性质、垂直平分线性质
【点评】本题综合考查平行四边形、等腰三角形及垂直平分线的性质，通过设角推导角度关系，作辅助线转化线段是解题关键，属于中等难度的几何定值问题，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.4
9.(真题·杭州钱塘)某金属零件结构如图所示,主体外框为正六边形ABCDEF,为加固零件,焊接了金属条AE,BD,则∠EAF的度数为________。
答案
9.$30°$
解析
【分析】要计算∠EAF的度数，需先利用正六边形的性质：正六边形各边相等，每个内角为120°。观察图形可知△AEF是等腰三角形（AF=EF），结合三角形内角和定理即可求出∠EAF的度数。
【解析】因为ABCDEF是正六边形，所以AF=EF，∠F=120°。在△AEF中，根据三角形内角和为180°，且等腰三角形两底角相等，可得：
∠EAF = (180° - ∠F) ÷ 2 = (180° - 120°) ÷ 2 = 30°。
【答案】30°
【知识点】正多边形内角、等腰三角形性质
【点评】本题结合正六边形的性质与等腰三角形的内角计算，属于基础几何题，核心是掌握正多边形内角公式和等腰三角形的性质，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】因为ABCDEF是正六边形，所以AF=EF，∠F=120°。在△AEF中，根据三角形内角和为180°，且等腰三角形两底角相等，可得：
∠EAF = (180° - ∠F) ÷ 2 = (180° - 120°) ÷ 2 = 30°。
【答案】30°
【知识点】正多边形内角、等腰三角形性质
【点评】本题结合正六边形的性质与等腰三角形的内角计算，属于基础几何题，核心是掌握正多边形内角公式和等腰三角形的性质，难度不大。
【难度系数】0.6
10.(真题·宁波余姚)如图,在$□ ABCD$中,$AB=6,BC=9$,
$∠ABC$的平分线交$AD$于点$E$,$∠BCD$的平分线交$AD$于点
$F$,则线段$EF$的长是$\underline{\hspace{5em}}$。
$∠ABC$的平分线交$AD$于点$E$,$∠BCD$的平分线交$AD$于点
$F$,则线段$EF$的长是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
10.3
解析
【分析】
要解决本题，需先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，再结合角平分线的性质，通过等角对等边得到等腰三角形，进而求出线段AE、DF的长度，最后根据线段间的重叠关系计算EF的长。具体思路：1. 由平行四边形ABCD得AD//BC，AD=BC=9，AB=CD=6；2. BE平分∠ABC，结合AD//BC推出∠ABE=∠AEB，得AE=AB=6；3. CF平分∠BCD，同理推出DF=CD=6；4. 利用AE+DF=AD+EF的关系，计算EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=9，CD=AB=6，
∴ ∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠EBC，
∴ ∠ABE=∠AEB，
∴ AE=AB=6（等角对等边）。
同理，CF平分∠BCD，
∴ ∠BCF=∠DCF，
又
∵ AD//BC，
∴ ∠DFC=∠BCF，
∴ ∠DFC=∠DCF，
∴ DF=CD=6（等角对等边）。
∵ AE + DF = AD + EF（线段和的重叠关系），
∴ EF = AE + DF - AD = 6 + 6 - 9 = 3。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形判定
【点评】
本题结合平行四边形性质与角平分线，通过等腰三角形的判定求解线段长度，属于基础几何计算题，关键是理清线段间的等量关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，再结合角平分线的性质，通过等角对等边得到等腰三角形，进而求出线段AE、DF的长度，最后根据线段间的重叠关系计算EF的长。具体思路：1. 由平行四边形ABCD得AD//BC，AD=BC=9，AB=CD=6；2. BE平分∠ABC，结合AD//BC推出∠ABE=∠AEB，得AE=AB=6；3. CF平分∠BCD，同理推出DF=CD=6；4. 利用AE+DF=AD+EF的关系，计算EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=9，CD=AB=6，
∴ ∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠EBC，
∴ ∠ABE=∠AEB，
∴ AE=AB=6（等角对等边）。
同理，CF平分∠BCD，
∴ ∠BCF=∠DCF，
又
∵ AD//BC，
∴ ∠DFC=∠BCF，
∴ ∠DFC=∠DCF，
∴ DF=CD=6（等角对等边）。
∵ AE + DF = AD + EF（线段和的重叠关系），
∴ EF = AE + DF - AD = 6 + 6 - 9 = 3。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形判定
【点评】
本题结合平行四边形性质与角平分线，通过等腰三角形的判定求解线段长度，属于基础几何计算题，关键是理清线段间的等量关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
11.(真题·舟山定海)如图,在$□ ABCD$中,作点$B$关于$AC$的对称点$E$,连结$CE$交$AD$于点$F$,连结$BE$,若$△ AEF$是等腰直角三角形,则$∠ ACB=$
$22.5°$
;$△ ABE$与$△ CFD$的面积之比是$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
11.$22.5°$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解析:延长EA交BC于点H,因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD// BC$,所以$∠ FAC=∠ ACB$,因为点B关于AC的对称点是点E,所以$∠ ACB=∠ ACE$,所以$∠ FAC=∠ FCA$,因为$△ AEF$是等腰直角三角形,所以$∠ AEF=∠ AFE=∠ FAC+∠ ACF=45°$,所以$∠ ACF=∠ FAC=22.5°$,所以$∠ ACB=∠ FAC=22.5°$,因为$∠ CBA=∠ CEA=45°$,所以$∠ D=∠ ABC=45°$,因为$∠ AFE=∠ DFC=45°$,所以$CF=CD$,$∠ FCD=90°$,所以$△ CDF$为等腰直角三角形,设$AB=m$,所以$CD=CF=AE=m$,因为$∠ EAF=∠ AHC=90°$,所以$∠ AHB=90°$,所以$△ ABH$为等腰直角三角形,所以$AH=BH=\frac{\sqrt{2}}{2}m$,所以$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CDF}}=\frac{\frac{1}{2}AE× BH}{\frac{1}{2}CD× CF}=\frac{\frac{1}{2}× m× \frac{\sqrt{2}}{2}m}{\frac{1}{2}× m× m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,故答案为:$22.5°$;$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形、轴对称、等腰直角三角形的性质逐步推导：
1. 利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等（∠FAC=∠ACB）；
2. 根据点B与E关于AC对称，得对应角相等（∠ACB=∠ACE），进而推出∠FAC=∠ACE；
3. 由△AEF是等腰直角三角形，得∠AFE=45°，结合外角性质（∠AFE=∠FAC+∠ACE），算出∠ACB的度数；
4. 再通过角度关系推导△CDF的形状，设边长后计算两个三角形的面积，最终得到面积比。
【解析】
延长EA交BC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠D=∠ABC，
∴∠FAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
∵点B关于AC的对称点是E，
∴AC垂直平分BE，∠ACB=∠ACE，
∴∠FAC=∠ACE。
∵△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
又
∵∠AFE是△AFC的外角，
∴∠AFE=∠FAC+∠ACE=2∠ACB，
∴2∠ACB=45°，解得∠ACB=22.5°。
∵∠CBA=∠CEA=45°，
∴∠D=∠ABC=45°，
又
∵∠AFE=∠DFC=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，CF=CD。
设AB=m，则CD=CF=AE=m，
∵∠EAF=∠AHC=90°，∠BAH=90°，
∴△ABH为等腰直角三角形，AH=BH= $\frac{\sqrt{2}}{2}m$。
计算面积：
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AE×BH=\frac{1}{2}×m×\frac{\sqrt{2}}{2}m$，
$S_{△CDF}=\frac{1}{2}×CD×CF=\frac{1}{2}×m×m$，
∴$\frac{S_{△ABE}}{S_{△CDF}}=\frac{\frac{1}{2}×m×\frac{\sqrt{2}}{2}m}{\frac{1}{2}×m×m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
22.5°；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
平行四边形性质、轴对称性质、等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、轴对称、等腰直角三角形的性质，需要灵活运用角度转化和边长关系推导，对几何推理能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合平行四边形、轴对称、等腰直角三角形的性质逐步推导：
1. 利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等（∠FAC=∠ACB）；
2. 根据点B与E关于AC对称，得对应角相等（∠ACB=∠ACE），进而推出∠FAC=∠ACE；
3. 由△AEF是等腰直角三角形，得∠AFE=45°，结合外角性质（∠AFE=∠FAC+∠ACE），算出∠ACB的度数；
4. 再通过角度关系推导△CDF的形状，设边长后计算两个三角形的面积，最终得到面积比。
【解析】
延长EA交BC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠D=∠ABC，
∴∠FAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
∵点B关于AC的对称点是E，
∴AC垂直平分BE，∠ACB=∠ACE，
∴∠FAC=∠ACE。
∵△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
又
∵∠AFE是△AFC的外角，
∴∠AFE=∠FAC+∠ACE=2∠ACB，
∴2∠ACB=45°，解得∠ACB=22.5°。
∵∠CBA=∠CEA=45°，
∴∠D=∠ABC=45°，
又
∵∠AFE=∠DFC=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，CF=CD。
设AB=m，则CD=CF=AE=m，
∵∠EAF=∠AHC=90°，∠BAH=90°，
∴△ABH为等腰直角三角形，AH=BH= $\frac{\sqrt{2}}{2}m$。
计算面积：
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AE×BH=\frac{1}{2}×m×\frac{\sqrt{2}}{2}m$，
$S_{△CDF}=\frac{1}{2}×CD×CF=\frac{1}{2}×m×m$，
∴$\frac{S_{△ABE}}{S_{△CDF}}=\frac{\frac{1}{2}×m×\frac{\sqrt{2}}{2}m}{\frac{1}{2}×m×m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
22.5°；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
平行四边形性质、轴对称性质、等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、轴对称、等腰直角三角形的性质，需要灵活运用角度转化和边长关系推导，对几何推理能力要求较高，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
12.(真题·宁波江北)如图,在$□ ABCD$中,E为边CD的中点,将$△ ADE$沿AE折叠,边$AD'$交BC的延长线于点F,连结EF,若$AD=5,CF=1,AE=\sqrt{3}EF$,则AB的长为________。
答案
12.$2\sqrt{7}$ 解析:延长FE交AD于点G,过点E作$EH⊥ AD$,如图,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AD// BC$,所以$∠ D=∠ ECF$,$∠ DGE=∠ CFE$,因为$ED=EC$,所以$△ EDG≌△ ECF$(AAS),所以$GD=CF=1$,$GE=FE$,因为将$△ ADE$沿AE折叠,所以$AE⊥ GF$,所以$AG^2=AE^2+GE^2$,即$4^2=(\sqrt{3}EF)^2+EF^2$,解得$GE=EF=2$,因为$S_{△ AEG}=\frac{1}{2}AE· GE=\frac{1}{2}AG· HE$,所以$EH=\sqrt{3}$,$DH=2$,所以$DE=\sqrt{7}$,所以$AB=2DE=2\sqrt{7}$。故答案为:$2\sqrt{7}$。解析
【分析】
要解决本题，首先利用平行四边形对边平行的性质，结合E是CD中点，构造全等三角形得到线段等量关系；再根据折叠的性质，确定AE与GF垂直，形成直角三角形，结合已知的AE和EF的关系，用勾股定理建立方程求出相关线段长度；最后通过面积法求出高，计算DE的长度，利用平行四边形对边相等（AB=CD，E为CD中点故CD=2DE）得到AB的长。
【解析】
延长FE交AD于点G，过点E作$EH⊥ AD$于点H，如图。
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ D=∠ ECF$，$∠ DGE=∠ CFE$，
又
∵E为CD中点，
∴$ED=EC$，
∴$△ EDG≌△ ECF(AAS)$，
∴$GD=CF=1$，$GE=FE$。
∵将$△ ADE$沿AE折叠，
∴$AE⊥ GF$，即$∠ AEG=90°$，
∴$AG=AD - GD=5 - 1=4$，
在$Rt△ AGE$中，由勾股定理得：$AG^2=AE^2+GE^2$，
已知$AE=\sqrt{3}EF$，且$GE=EF$，代入得：
$4^2=(\sqrt{3}EF)^2+EF^2$，
即$16=4EF^2$，解得$EF=2$，故$GE=2$，$AE=2\sqrt{3}$。
∵$S_{△ AEG}=\frac{1}{2}AE· GE=\frac{1}{2}AG· HE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{1}{2}×4×EH$，
化简得$EH=\sqrt{3}$。
在$Rt△ EDH$中，$DH=2$，
∴$DE=\sqrt{EH^2+DH^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{7}$，
∵E为CD中点，
∴$CD=2DE=2\sqrt{7}$，
又
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB=CD=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
平行四边形性质，折叠性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与折叠结合的几何综合题，需通过构造辅助线（延长FE交AD、作高EH），利用全等三角形得到线段关系，结合折叠的垂直特性和勾股定理建立方程，再用面积法求高，最终计算目标线段，对几何综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用平行四边形对边平行的性质，结合E是CD中点，构造全等三角形得到线段等量关系；再根据折叠的性质，确定AE与GF垂直，形成直角三角形，结合已知的AE和EF的关系，用勾股定理建立方程求出相关线段长度；最后通过面积法求出高，计算DE的长度，利用平行四边形对边相等（AB=CD，E为CD中点故CD=2DE）得到AB的长。
【解析】
延长FE交AD于点G，过点E作$EH⊥ AD$于点H，如图。
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ D=∠ ECF$，$∠ DGE=∠ CFE$，
又
∵E为CD中点，
∴$ED=EC$，
∴$△ EDG≌△ ECF(AAS)$，
∴$GD=CF=1$，$GE=FE$。
∵将$△ ADE$沿AE折叠，
∴$AE⊥ GF$，即$∠ AEG=90°$，
∴$AG=AD - GD=5 - 1=4$，
在$Rt△ AGE$中，由勾股定理得：$AG^2=AE^2+GE^2$，
已知$AE=\sqrt{3}EF$，且$GE=EF$，代入得：
$4^2=(\sqrt{3}EF)^2+EF^2$，
即$16=4EF^2$，解得$EF=2$，故$GE=2$，$AE=2\sqrt{3}$。
∵$S_{△ AEG}=\frac{1}{2}AE· GE=\frac{1}{2}AG· HE$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{1}{2}×4×EH$，
化简得$EH=\sqrt{3}$。
在$Rt△ EDH$中，$DH=2$，
∴$DE=\sqrt{EH^2+DH^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{7}$，
∵E为CD中点，
∴$CD=2DE=2\sqrt{7}$，
又
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB=CD=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
平行四边形性质，折叠性质，勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与折叠结合的几何综合题，需通过构造辅助线（延长FE交AD、作高EH），利用全等三角形得到线段关系，结合折叠的垂直特性和勾股定理建立方程，再用面积法求高，最终计算目标线段，对几何综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
三、解答题
13.(真题·台州路桥)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,连结AF,AF//CD。
(1)求证:AD=CF。
(2)若∠EFB=90°,BF=3,EF=1,求BC的长。
13.(真题·台州路桥)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,连结AF,AF//CD。
(1)求证:AD=CF。
(2)若∠EFB=90°,BF=3,EF=1,求BC的长。
答案
13.(1)证明:E是AB的中点,所以$AE=BE$,因为$DF=BF$,所以EF是$△ ABD$的中位线,所以$EF// AD$,所以$CF// AD$,因为$AF// CD$,所以四边形AFCD为平行四边形,所以$AD=CF$。
(2)由(1)知,EF是$△ ABD$的中位线,四边形AFCD为平行四边形,所以$CF=AD=2EF=2$,因为$∠ EFB=90°$,所以$∠ BFC=90°$,在$Rt△ CFB$中,$BF=3$,$CF=2$,由勾股定理得$BC^2=CF^2+BF^2$,所以$BC=\sqrt{13}$。
(2)由(1)知,EF是$△ ABD$的中位线,四边形AFCD为平行四边形,所以$CF=AD=2EF=2$,因为$∠ EFB=90°$,所以$∠ BFC=90°$,在$Rt△ CFB$中,$BF=3$,$CF=2$,由勾股定理得$BC^2=CF^2+BF^2$,所以$BC=\sqrt{13}$。
解析
【分析】
第(1)问：要证明AD=CF，先根据E是AB中点、DF=FB，判定EF是△ABD的中位线，得到EF//AD，即CF//AD；结合已知AF//CD，可判定四边形AFCD是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质即可证得AD=CF。
第(2)问：由(1)中EF是△ABD的中位线，可得AD=2EF，结合平行四边形AFCD的性质得CF=AD，从而求出CF的长度；再根据∠EFB=90°推出∠BFC=90°，在Rt△CFB中，利用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AB的中点，
∴ AE=BE，
又
∵ DF=FB，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ EF//AD，即 CF//AD，
又
∵ AF//CD，
∴ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ AD=CF。
(2) 解：
由(1)知，EF是△ABD的中位线，四边形AFCD为平行四边形，
∴ AD=2EF，且 CF=AD，
∵ EF=1，
∴ CF=2×1=2，
∵ ∠EFB=90°，
∴ ∠BFC=180°-∠EFB=90°，
在Rt△CFB中，BF=3，CF=2，
根据勾股定理：BC²=CF²+BF²=2²+3²=13，
∴ BC=√13。
【答案】
(1) 证明成立；(2) BC的长为√13
【知识点】
三角形中位线、平行四边形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，结合三角形中位线、平行四边形性质与勾股定理进行考查，第(1)问通过中位线和平行四边形的判定完成线段相等证明，第(2)问利用中位线和平行四边形性质求线段长度，再结合勾股定理计算，思路清晰，难度适中，属于常见的几何题型。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要证明AD=CF，先根据E是AB中点、DF=FB，判定EF是△ABD的中位线，得到EF//AD，即CF//AD；结合已知AF//CD，可判定四边形AFCD是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质即可证得AD=CF。
第(2)问：由(1)中EF是△ABD的中位线，可得AD=2EF，结合平行四边形AFCD的性质得CF=AD，从而求出CF的长度；再根据∠EFB=90°推出∠BFC=90°，在Rt△CFB中，利用勾股定理计算BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AB的中点，
∴ AE=BE，
又
∵ DF=FB，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ EF//AD，即 CF//AD，
又
∵ AF//CD，
∴ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ AD=CF。
(2) 解：
由(1)知，EF是△ABD的中位线，四边形AFCD为平行四边形，
∴ AD=2EF，且 CF=AD，
∵ EF=1，
∴ CF=2×1=2，
∵ ∠EFB=90°，
∴ ∠BFC=180°-∠EFB=90°，
在Rt△CFB中，BF=3，CF=2，
根据勾股定理：BC²=CF²+BF²=2²+3²=13，
∴ BC=√13。
【答案】
(1) 证明成立；(2) BC的长为√13
【知识点】
三角形中位线、平行四边形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，结合三角形中位线、平行四边形性质与勾股定理进行考查，第(1)问通过中位线和平行四边形的判定完成线段相等证明，第(2)问利用中位线和平行四边形性质求线段长度，再结合勾股定理计算，思路清晰，难度适中，属于常见的几何题型。
【难度系数】
0.6
