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1. 《九章算术》中注有：“今两算得失相反，要令正负以名之.”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数.”如果高于海平面 200 m 记为$+200\ \mathrm{m}$，那么低于海平面 300 m 应记为（
A.$-300\ \mathrm{m}$
B.$+500\ \mathrm{m}$
C.$+300\ \mathrm{m}$
D.$-100\ \mathrm{m}$
A
）A.$-300\ \mathrm{m}$
B.$+500\ \mathrm{m}$
C.$+300\ \mathrm{m}$
D.$-100\ \mathrm{m}$
答案
1. A
解析
【分析】
这道题考察正负数表示相反意义的量的规则，我们先从题目给出的已知条件入手：题目明确规定高于海平面的高度用正数记录，那么和“高于海平面”意义完全相反的“低于海平面”的高度，就应该用对应的负数来记录，只需要把给定的低于海平面的数值前面加上负号，就能得到对应的记法，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知高于海平面200m记为$+200\ \mathrm{m}$，说明规定“高于海平面”为正方向，那么与其意义相反的“低于海平面”就为负方向，因此低于海平面300m，应在300m前添加负号，记为$-300\ \mathrm{m}$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
相反意义的量，正负数的意义
【点评】
本题结合《九章算术》的古代数学文化背景出题，属于有理数章节的入门基础题，只需要掌握正负数表示相反意义的量的基本规则即可解题，几乎没有易错点，能够帮助学生巩固正负数的基础概念。
【难度系数】
0.9
这道题考察正负数表示相反意义的量的规则，我们先从题目给出的已知条件入手：题目明确规定高于海平面的高度用正数记录，那么和“高于海平面”意义完全相反的“低于海平面”的高度，就应该用对应的负数来记录，只需要把给定的低于海平面的数值前面加上负号，就能得到对应的记法，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知高于海平面200m记为$+200\ \mathrm{m}$，说明规定“高于海平面”为正方向，那么与其意义相反的“低于海平面”就为负方向，因此低于海平面300m，应在300m前添加负号，记为$-300\ \mathrm{m}$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
相反意义的量，正负数的意义
【点评】
本题结合《九章算术》的古代数学文化背景出题，属于有理数章节的入门基础题，只需要掌握正负数表示相反意义的量的基本规则即可解题，几乎没有易错点，能够帮助学生巩固正负数的基础概念。
【难度系数】
0.9
2. 已知某地某一天的最高气温是$8\ °\mathrm{C}$,最低气温是$-2\ °\mathrm{C}$,则该地这一天的温差是 （
A.$-10\ °\mathrm{C}$
B.$-6\ °\mathrm{C}$
C.$6\ °\mathrm{C}$
D.$10\ °\mathrm{C}$
D
）A.$-10\ °\mathrm{C}$
B.$-6\ °\mathrm{C}$
C.$6\ °\mathrm{C}$
D.$10\ °\mathrm{C}$
答案
2. D
解析
【分析】
首先明确温差的计算逻辑：温差是当日最高气温与最低气温的差值，计算规则为最高气温减去最低气温。本题中最低气温是负数，代入计算时需要用到有理数减法的运算法则，减去一个负数等价于加上它的相反数，同时也可以先根据温差不可能为负数的特点，直接排除数值为负的A、B选项，缩小计算范围后快速得到结果。
【解析】
解：根据温差的定义可得计算公式：温差 = 最高气温 - 最低气温
将题中给出的最高气温$8\ °\mathrm{C}$、最低气温$-2\ °\mathrm{C}$代入公式：
温差 $= 8 - (-2)$
根据有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，对式子进行化简计算：
$8 - (-2) = 8 + 2 = 10\ °\mathrm{C}$
因此该地这一天的温差为$10\ °\mathrm{C}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数减法法则；有理数的实际应用
【点评】
本题是有理数减法的基础实际应用题，重点考察对温差概念的理解和基础有理数运算能力，易错点是部分学生忽略最低气温的负号，直接计算$8-2$得到$6\ °\mathrm{C}$错选C，解题时可先利用温差为非负数的特点快速排除错误选项，提升做题准确率和效率。
【难度系数】
0.9
首先明确温差的计算逻辑：温差是当日最高气温与最低气温的差值，计算规则为最高气温减去最低气温。本题中最低气温是负数，代入计算时需要用到有理数减法的运算法则，减去一个负数等价于加上它的相反数，同时也可以先根据温差不可能为负数的特点，直接排除数值为负的A、B选项，缩小计算范围后快速得到结果。
【解析】
解：根据温差的定义可得计算公式：温差 = 最高气温 - 最低气温
将题中给出的最高气温$8\ °\mathrm{C}$、最低气温$-2\ °\mathrm{C}$代入公式：
温差 $= 8 - (-2)$
根据有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，对式子进行化简计算：
$8 - (-2) = 8 + 2 = 10\ °\mathrm{C}$
因此该地这一天的温差为$10\ °\mathrm{C}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数减法法则；有理数的实际应用
【点评】
本题是有理数减法的基础实际应用题，重点考察对温差概念的理解和基础有理数运算能力，易错点是部分学生忽略最低气温的负号，直接计算$8-2$得到$6\ °\mathrm{C}$错选C，解题时可先利用温差为非负数的特点快速排除错误选项，提升做题准确率和效率。
【难度系数】
0.9
3. 以 45 min 为 1 个时间单位，并记每天上午10 时为 0，10 时以前记为负，10 时以后记为正. 例如:上午 9:15 记为－1，上午 10:45 记为 1. 上午 6:15 记为（
A.$-4$
B.$-5$
C.$-3.45$
D.$6.15$
B
）A.$-4$
B.$-5$
C.$-3.45$
D.$6.15$
答案
3. B
解析
【分析】
首先明确题目给定的自定义计数规则：以上午10时为基准0点，10时之前的时刻记为负数，10时之后的时刻记为正数，规定每45分钟为1个计数单位。解题可以分三步思考：第一步先算出目标时刻上午6:15和基准时刻上午10:00的总时间差，换算为分钟数；第二步用总分钟数除以单个时间单位的45分钟，得到对应的单位数量；第三步根据该时刻在10点前的规则，给数值添加负号即可得到结果。
【解析】
1. 计算时间差：上午10时减去上午6时15分，得到时间间隔为3小时45分钟，换算为总分钟数为 $3×60 + 45 = 225$ 分钟。
2. 换算为规定的时间单位数量：总分钟数除以单位时长45分钟，即 $225÷45 = 5$。
3. 结合正负规则判断：上午6:15在10时之前，因此对应数值为负，最终结果为$-5$。
【答案】
B
【知识点】
正负数的意义，有理数实际应用
【点评】
本题是结合生活时间场景的基础应用题，重点考察对自定义规则的理解能力，易错点是计算时刻差时容易出现换算错误，避免直接用时刻的数字直接运算，先统一单位再换算就能轻松得到正确答案。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给定的自定义计数规则：以上午10时为基准0点，10时之前的时刻记为负数，10时之后的时刻记为正数，规定每45分钟为1个计数单位。解题可以分三步思考：第一步先算出目标时刻上午6:15和基准时刻上午10:00的总时间差，换算为分钟数；第二步用总分钟数除以单个时间单位的45分钟，得到对应的单位数量；第三步根据该时刻在10点前的规则，给数值添加负号即可得到结果。
【解析】
1. 计算时间差：上午10时减去上午6时15分，得到时间间隔为3小时45分钟，换算为总分钟数为 $3×60 + 45 = 225$ 分钟。
2. 换算为规定的时间单位数量：总分钟数除以单位时长45分钟，即 $225÷45 = 5$。
3. 结合正负规则判断：上午6:15在10时之前，因此对应数值为负，最终结果为$-5$。
【答案】
B
【知识点】
正负数的意义，有理数实际应用
【点评】
本题是结合生活时间场景的基础应用题，重点考察对自定义规则的理解能力，易错点是计算时刻差时容易出现换算错误，避免直接用时刻的数字直接运算，先统一单位再换算就能轻松得到正确答案。
【难度系数】
0.7
4. 我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种(如图)，记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位数用横式表示，“0”用空位来代替. 发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数. 如算筹“$|| ≡ \ \overline{π}$”表示的数为$-248$，则算筹“$⊥ ≡ \ \overline{\mp}$”表示的数为（
A.6 037
B.$-6\ 037$
C.637
D.$-637$
B
）A.6 037
B.$-6\ 037$
C.637
D.$-637$
答案
4. B 提示:因为个位上的数上有斜线,所以这个数是负数.因为“$⊥$”是横式,不能表示百位数,所以“$⊥$”表示千位上的数,百位上的数为0.根据算筹表示数的方法可知,算筹“$⊥ ≡ \mp$”表示的数为$-6\ 037$.
解析
【分析】
这是一道新定义类题目，解题思路可以分三步推进：第一步先判断正负，根据规则“最后一个码上加斜杠表示负数”，直接排除两个正数选项，缩小选择范围；第二步对照题目给出的算筹样式和数位规则：个位、百位、万位用纵式，十位、千位用横式，分析给出的算筹符号的属性，第一个符号“⊥”是横式，只能对应十位或千位，它作为首位不可能是十位，因此它代表千位的数字6；第三步，千位之后的数位是百位，要求用纵式表示，但下一个算筹“≡”是横式，说明百位没有对应算筹，是空位也就是数字0，后续的横式“≡”正好对应十位的数字3，最后一个带斜杠的算筹对应个位数字7，组合后就能得到最终的数。
【解析】
1. 判断正负：根据题意，算筹末尾的斜杠表示该数为负数，因此直接排除表示正数的选项A、C。
2. 识别首位算筹：第一个符号“⊥”是横式算筹，对照题图可知它代表数字6，根据记数规则，横式仅可用于十位、千位，该符号是所有算筹的首位，不可能是十位，因此它代表千位上的数字6，符合千位使用横式的要求。
3. 推理空位数值：千位的下一位是百位，规则要求百位使用纵式表示，但千位之后的下一个算筹“≡”是横式（三横对应横式数字3），说明百位没有对应的算筹，是空位，代表数字0。
4. 识别剩余数位：横式的“≡”对应数字3，符合十位使用横式的规则，代表十位上的数字3；最后带斜杠的算筹对应个位数字7，符合个位使用纵式的规则。
5. 组合得到结果：将各数位组合，得到数字为-6037。
【答案】
B
【知识点】
算筹记数规则，新定义运算
【点评】
本题属于古代数学文化背景的新定义题型，易错点是直接将给出的三个算筹当成三位数字，错选D选项，解题时需要严格对应“不同数位对应纵/横式”的规则，通过算筹的横纵属性反推缺失的数位，得到空位代表的0，即可顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义类题目，解题思路可以分三步推进：第一步先判断正负，根据规则“最后一个码上加斜杠表示负数”，直接排除两个正数选项，缩小选择范围；第二步对照题目给出的算筹样式和数位规则：个位、百位、万位用纵式，十位、千位用横式，分析给出的算筹符号的属性，第一个符号“⊥”是横式，只能对应十位或千位，它作为首位不可能是十位，因此它代表千位的数字6；第三步，千位之后的数位是百位，要求用纵式表示，但下一个算筹“≡”是横式，说明百位没有对应算筹，是空位也就是数字0，后续的横式“≡”正好对应十位的数字3，最后一个带斜杠的算筹对应个位数字7，组合后就能得到最终的数。
【解析】
1. 判断正负：根据题意，算筹末尾的斜杠表示该数为负数，因此直接排除表示正数的选项A、C。
2. 识别首位算筹：第一个符号“⊥”是横式算筹，对照题图可知它代表数字6，根据记数规则，横式仅可用于十位、千位，该符号是所有算筹的首位，不可能是十位，因此它代表千位上的数字6，符合千位使用横式的要求。
3. 推理空位数值：千位的下一位是百位，规则要求百位使用纵式表示，但千位之后的下一个算筹“≡”是横式（三横对应横式数字3），说明百位没有对应的算筹，是空位，代表数字0。
4. 识别剩余数位：横式的“≡”对应数字3，符合十位使用横式的规则，代表十位上的数字3；最后带斜杠的算筹对应个位数字7，符合个位使用纵式的规则。
5. 组合得到结果：将各数位组合，得到数字为-6037。
【答案】
B
【知识点】
算筹记数规则，新定义运算
【点评】
本题属于古代数学文化背景的新定义题型，易错点是直接将给出的三个算筹当成三位数字，错选D选项，解题时需要严格对应“不同数位对应纵/横式”的规则，通过算筹的横纵属性反推缺失的数位，得到空位代表的0，即可顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.6
5. 北京与伦敦的时差为8 h，例如，北京时间13:00，同一时刻的伦敦时间是5:00.小丽和小红分别在北京和伦敦，她们相约在各自当地时间9:00～19:00之间选择一个时刻开始通话，则这个时刻可以是北京时间（
A.20:00
B.18:00
C.16:00
D.15:00
B
）A.20:00
B.18:00
C.16:00
D.15:00
答案
5. B
解析
【分析】
解题思路：首先根据题目给出的示例明确时差换算规则，从“北京时间13:00对应伦敦时间5:00”可以得出：北京时间比伦敦时间早8小时，即伦敦时间=北京时间-8小时。接下来要满足两人都在各自当地时间9:00~19:00通话，需要把伦敦的时间约束转换为对应的北京时间范围，再和北京本地的通话时间范围取交集，最后对照选项判断哪个时刻落在交集区间内即可。
【解析】
解：根据题意可知，北京时间比伦敦时间快8小时，即：
伦敦时间 = 北京时间 - 8h
两人通话需要同时满足两个条件：
1. 北京的小丽当地时间在9:00~19:00，即：
$9:00 ≤ 北京时间 ≤ 19:00$
2. 伦敦的小红当地时间在9:00~19:00，代入时差换算关系得：
$9:00 ≤ 北京时间 - 8h ≤ 19:00$
不等式三边同时加8h，解得对应北京时间范围：
$17:00 ≤ 北京时间 ≤ 27:00$（即次日3:00）
取两个北京时间范围的交集，可得符合要求的北京时间区间为：
$17:00 ≤ 北京时间 ≤ 19:00$
对照选项：
A.20:00 超出区间，不符合；
B.18:00 落在区间内，符合要求；
C.16:00 对应伦敦时间为8:00，不在小红的可选范围内，不符合；
D.15:00 对应伦敦时间为7:00，不在小红的可选范围内，不符合。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
时差换算，一元一次不等式应用
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，核心是将两个不同时区的时间约束统一到同一时间标准下求公共区间，题目已经给出时差示例，不需要额外记忆常识，避免了时区认知偏差的问题，易错点是搞反时差的加减逻辑，解题时可以用题目给出的示例先验证换算关系，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据题目给出的示例明确时差换算规则，从“北京时间13:00对应伦敦时间5:00”可以得出：北京时间比伦敦时间早8小时，即伦敦时间=北京时间-8小时。接下来要满足两人都在各自当地时间9:00~19:00通话，需要把伦敦的时间约束转换为对应的北京时间范围，再和北京本地的通话时间范围取交集，最后对照选项判断哪个时刻落在交集区间内即可。
【解析】
解：根据题意可知，北京时间比伦敦时间快8小时，即：
伦敦时间 = 北京时间 - 8h
两人通话需要同时满足两个条件：
1. 北京的小丽当地时间在9:00~19:00，即：
$9:00 ≤ 北京时间 ≤ 19:00$
2. 伦敦的小红当地时间在9:00~19:00，代入时差换算关系得：
$9:00 ≤ 北京时间 - 8h ≤ 19:00$
不等式三边同时加8h，解得对应北京时间范围：
$17:00 ≤ 北京时间 ≤ 27:00$（即次日3:00）
取两个北京时间范围的交集，可得符合要求的北京时间区间为：
$17:00 ≤ 北京时间 ≤ 19:00$
对照选项：
A.20:00 超出区间，不符合；
B.18:00 落在区间内，符合要求；
C.16:00 对应伦敦时间为8:00，不在小红的可选范围内，不符合；
D.15:00 对应伦敦时间为7:00，不在小红的可选范围内，不符合。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
时差换算，一元一次不等式应用
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，核心是将两个不同时区的时间约束统一到同一时间标准下求公共区间，题目已经给出时差示例，不需要额外记忆常识，避免了时区认知偏差的问题，易错点是搞反时差的加减逻辑，解题时可以用题目给出的示例先验证换算关系，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
6. 在$-2.1,3\dfrac{2}{8},0,-5,+13,-\dfrac{1}{4},98,π$中，正整数有 $m$ 个,分数有 $n$ 个,则 $m-n$ 的值为
-1
.答案
6. $-1$
解析
【分析】
这道题的核心是有理数的分类计数，解题时首先要明确正整数和分数的定义，再对给出的所有数字逐个排查筛选：第一步先找出所有符合“大于0的整数”这一条件的数，统计得到m的值；第二步找出所有属于有理数范畴、可以表示为两个整数之比的数（包含有限小数、带分数等），注意排除无理数π，统计得到n的值；最后代入计算m-n即可得到结果。排查过程中要注意避开常见误区：0不属于正整数，π是无理数既不属于整数也不属于分数，有限小数属于分数范畴。
【解析】
解：
① 统计正整数的个数m：
正整数的定义是大于0的整数，对给出的数逐一判断：
$-2.1$是负小数，不属于正整数；
$3\dfrac{2}{8}$是带分数，不属于正整数；
0既不是正数也不是负数，不属于正整数；
$-5$是负整数，不属于正整数；
$+13$是正整数；
$-\dfrac{1}{4}$是负分数，不属于正整数；
$98$是正整数；
$π$是无理数，不属于正整数。
因此正整数共有2个，即$m=2$。
② 统计分数的个数n：
初中有理数分类中，分数包含正分数、负分数，所有有限小数、无限循环小数、带分数都属于分数，$π$是无理数不属于分数范畴，逐一判断：
$-2.1$是有限小数，属于分数；
$3\dfrac{2}{8}$是带分数，属于分数；
0是整数，不属于分数；
$-5$是整数，不属于分数；
$+13$是整数，不属于分数；
$-\dfrac{1}{4}$是负分数，属于分数；
$98$是整数，不属于分数；
$π$是无理数，不属于分数。
因此分数共有3个，即$n=3$。
③ 计算$m-n$：
将$m=2$，$n=3$代入得：$m-n=2-3=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
有理数分类，正整数定义，分数的概念
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，核心考查对不同数集定义的准确理解，易错点集中在三个地方：误将0算作正整数、误把无理数π归为分数、遗漏有限小数属于分数的属性，解题时严格按照定义逐个排查所有数字，就能避免计数错误。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是有理数的分类计数，解题时首先要明确正整数和分数的定义，再对给出的所有数字逐个排查筛选：第一步先找出所有符合“大于0的整数”这一条件的数，统计得到m的值；第二步找出所有属于有理数范畴、可以表示为两个整数之比的数（包含有限小数、带分数等），注意排除无理数π，统计得到n的值；最后代入计算m-n即可得到结果。排查过程中要注意避开常见误区：0不属于正整数，π是无理数既不属于整数也不属于分数，有限小数属于分数范畴。
【解析】
解：
① 统计正整数的个数m：
正整数的定义是大于0的整数，对给出的数逐一判断：
$-2.1$是负小数，不属于正整数；
$3\dfrac{2}{8}$是带分数，不属于正整数；
0既不是正数也不是负数，不属于正整数；
$-5$是负整数，不属于正整数；
$+13$是正整数；
$-\dfrac{1}{4}$是负分数，不属于正整数；
$98$是正整数；
$π$是无理数，不属于正整数。
因此正整数共有2个，即$m=2$。
② 统计分数的个数n：
初中有理数分类中，分数包含正分数、负分数，所有有限小数、无限循环小数、带分数都属于分数，$π$是无理数不属于分数范畴，逐一判断：
$-2.1$是有限小数，属于分数；
$3\dfrac{2}{8}$是带分数，属于分数；
0是整数，不属于分数；
$-5$是整数，不属于分数；
$+13$是整数，不属于分数；
$-\dfrac{1}{4}$是负分数，属于分数；
$98$是整数，不属于分数；
$π$是无理数，不属于分数。
因此分数共有3个，即$n=3$。
③ 计算$m-n$：
将$m=2$，$n=3$代入得：$m-n=2-3=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
有理数分类，正整数定义，分数的概念
【点评】
本题是有理数分类的基础题型，核心考查对不同数集定义的准确理解，易错点集中在三个地方：误将0算作正整数、误把无理数π归为分数、遗漏有限小数属于分数的属性，解题时严格按照定义逐个排查所有数字，就能避免计数错误。
【难度系数】
0.7
7. 给出一列数:$1,-2,3,-4,5,-6,7,···.$若将这列数排成如图所示的形式,则第 10 行从左边数第 5 个数为
第1行 1
第2行 $-2$ 3
第3行 $-4$ 5 $-6$
第4行 7 $-8$ 9 $-10$
第5行 11 $-12$ 13 $-14$ 15
$\vdots$
-50
.第1行 1
第2行 $-2$ 3
第3行 $-4$ 5 $-6$
第4行 7 $-8$ 9 $-10$
第5行 11 $-12$ 13 $-14$ 15
$\vdots$
答案
7. $-50$ 提示:解法1 因为前9行数的总个数为$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$,所以第10行从左边数第1个数为$-46$,第2个数为47,第3个数为$-48$,第4个数为49,第5个数为$-50$.
解法2 根据题意,得第$n$行有$n$个数,该行从左边数第1个数的绝对值为$\dfrac{n(n-1)}{2}+1$,且满足奇数为正,偶数为负,所以第10行从左边数第1个数为$-46$,第5个数为$-50$.
解法2 根据题意,得第$n$行有$n$个数,该行从左边数第1个数的绝对值为$\dfrac{n(n-1)}{2}+1$,且满足奇数为正,偶数为负,所以第10行从左边数第1个数为$-46$,第5个数为$-50$.
解析
【分析】
我们可以分两步思考这道题：第一步先梳理两个核心规律，一是原数列本身的规律：数的绝对值是从1开始的连续自然数，符号满足“奇数为正，偶数为负”；二是排列的规律：第n行恰好有n个数。第二步我们先计算前9行的数的总个数，得到第9行最后一个数的绝对值，再从这个数往后依次推导第10行的前5个数，结合符号规则就能得到目标结果。
【解析】
1. 计算前9行的数的总个数：
已知第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，前k行的数的总数是首项为1、公差为1的等差数列求和：
$ S_k = 1+2+3+\dots +k = \frac{k(k+1)}{2} $
代入k=9，得前9行总个数：$ S_9 = \frac{9×(9+1)}{2} = 45 $
说明第9行的最后一个数的绝对值是45，对应数值为45（45是奇数，符号为正）。
2. 推导第10行的目标数：
第10行的数的绝对值从46开始依次向后排列，结合“偶数为负，奇数为正”的符号规则：
第10行第1个数：绝对值46，偶数，值为-46
第10行第2个数：绝对值47，奇数，值为47
第10行第3个数：绝对值48，偶数，值为-48
第10行第4个数：绝对值49，奇数，值为49
第10行第5个数：绝对值50，偶数，值为-50
【答案】
-50
【知识点】
数列规律探究，等差数列求和
【点评】
本题属于有理数规律探究的常规题型，解题的核心逻辑是先通过等差数列求和得到前9行的总数量，定位到第9行末尾的数，再向后递推目标位置的数，易错点集中在两个地方：一是前9行的总数计算错误，二是对数列的符号规则判断失误，只要理清两层规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
我们可以分两步思考这道题：第一步先梳理两个核心规律，一是原数列本身的规律：数的绝对值是从1开始的连续自然数，符号满足“奇数为正，偶数为负”；二是排列的规律：第n行恰好有n个数。第二步我们先计算前9行的数的总个数，得到第9行最后一个数的绝对值，再从这个数往后依次推导第10行的前5个数，结合符号规则就能得到目标结果。
【解析】
1. 计算前9行的数的总个数：
已知第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，前k行的数的总数是首项为1、公差为1的等差数列求和：
$ S_k = 1+2+3+\dots +k = \frac{k(k+1)}{2} $
代入k=9，得前9行总个数：$ S_9 = \frac{9×(9+1)}{2} = 45 $
说明第9行的最后一个数的绝对值是45，对应数值为45（45是奇数，符号为正）。
2. 推导第10行的目标数：
第10行的数的绝对值从46开始依次向后排列，结合“偶数为负，奇数为正”的符号规则：
第10行第1个数：绝对值46，偶数，值为-46
第10行第2个数：绝对值47，奇数，值为47
第10行第3个数：绝对值48，偶数，值为-48
第10行第4个数：绝对值49，奇数，值为49
第10行第5个数：绝对值50，偶数，值为-50
【答案】
-50
【知识点】
数列规律探究，等差数列求和
【点评】
本题属于有理数规律探究的常规题型，解题的核心逻辑是先通过等差数列求和得到前9行的总数量，定位到第9行末尾的数，再向后递推目标位置的数，易错点集中在两个地方：一是前9行的总数计算错误，二是对数列的符号规则判断失误，只要理清两层规律就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 把下列各数填入相应的大括号里：
$3π,-2,-\dfrac{1}{2},3.020\ 020\ 002···$（每两个2之间依次多一个0）$,0,\dfrac{22}{7},-(-2),365.$
整数：$\qquad \}$；
分数：$\qquad \}$；
负有理数：$\qquad \}.$
$3π,-2,-\dfrac{1}{2},3.020\ 020\ 002···$（每两个2之间依次多一个0）$,0,\dfrac{22}{7},-(-2),365.$
整数：$\qquad \}$；
分数：$\qquad \}$；
负有理数：$\qquad \}.$
答案
8. 整数：$-2,0,-(-2),365\}$；
分数：$-\dfrac{1}{2},\dfrac{22}{7}\}$；
负有理数：$-2,-\dfrac{1}{2}\}$.
分数：$-\dfrac{1}{2},\dfrac{22}{7}\}$；
负有理数：$-2,-\dfrac{1}{2}\}$.
解析
【分析】
我们可以按照先化简、先区分有理数和无理数、再逐层分类的思路解题：
1. 第一步先对特殊形式的数做化简：先计算-(-2)得到2，避免因为形式复杂判断出错。
2. 第二步先识别出所有无理数：整数和分数都属于有理数，因此先把不属于有理数的数挑出来排除：3π含π是无限不循环小数，3.020020002…（每两个2之间依次多一个0）也是无限不循环小数，二者都是无理数，不需要归入整数、分数集合。
3. 第三步按照定义分别筛选：
整数的定义是正整数、0、负整数的统称，从剩余的有理数里挑出符合的数；
分数是有理数中除整数外的部分，包含正分数、负分数，筛选出符合的数；
负有理数是小于0的有理数，直接筛选出所有小于0的有理数即可。
【解析】
解：先对所有数做预处理：
① 先化简特殊数：$-(-2)=2$；
② 识别无理数：$3π$、$3.020\ 020\ 002···$（每两个2之间依次多一个0）为无限不循环小数，属于无理数，不属于有理数范畴，不参与整数、分数的归类。
接下来按定义分类：
1. 整数：符合正整数、0、负整数定义的数为$-2,0,-(-2),365$；
2. 分数：有理数中不属于整数的数为$-\dfrac{1}{2},\dfrac{22}{7}$；
3. 负有理数：小于0的有理数为$-2,-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
整数：$\{-2,0,-(-2),365\}$；
分数：$\{-\dfrac{1}{2},\dfrac{22}{7}\}$；
负有理数：$\{-2,-\dfrac{1}{2}\}$。
【知识点】
有理数的分类，无理数的识别
【点评】
本题属于有理数分类的基础题型，易错点集中在三个地方：一是忘记先化简$-(-2)$，误将其排除出整数集合；二是把带$π$的数、无限不循环小数错归入有理数的分数/整数类别；三是混淆分数的定义，误以为$\dfrac{22}{7}$是无理数。解题时先区分有理数和无理数，再逐层分类可以有效避免出错。
【难度系数】
0.8
我们可以按照先化简、先区分有理数和无理数、再逐层分类的思路解题：
1. 第一步先对特殊形式的数做化简：先计算-(-2)得到2，避免因为形式复杂判断出错。
2. 第二步先识别出所有无理数：整数和分数都属于有理数，因此先把不属于有理数的数挑出来排除：3π含π是无限不循环小数，3.020020002…（每两个2之间依次多一个0）也是无限不循环小数，二者都是无理数，不需要归入整数、分数集合。
3. 第三步按照定义分别筛选：
整数的定义是正整数、0、负整数的统称，从剩余的有理数里挑出符合的数；
分数是有理数中除整数外的部分，包含正分数、负分数，筛选出符合的数；
负有理数是小于0的有理数，直接筛选出所有小于0的有理数即可。
【解析】
解：先对所有数做预处理：
① 先化简特殊数：$-(-2)=2$；
② 识别无理数：$3π$、$3.020\ 020\ 002···$（每两个2之间依次多一个0）为无限不循环小数，属于无理数，不属于有理数范畴，不参与整数、分数的归类。
接下来按定义分类：
1. 整数：符合正整数、0、负整数定义的数为$-2,0,-(-2),365$；
2. 分数：有理数中不属于整数的数为$-\dfrac{1}{2},\dfrac{22}{7}$；
3. 负有理数：小于0的有理数为$-2,-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
整数：$\{-2,0,-(-2),365\}$；
分数：$\{-\dfrac{1}{2},\dfrac{22}{7}\}$；
负有理数：$\{-2,-\dfrac{1}{2}\}$。
【知识点】
有理数的分类，无理数的识别
【点评】
本题属于有理数分类的基础题型，易错点集中在三个地方：一是忘记先化简$-(-2)$，误将其排除出整数集合；二是把带$π$的数、无限不循环小数错归入有理数的分数/整数类别；三是混淆分数的定义，误以为$\dfrac{22}{7}$是无理数。解题时先区分有理数和无理数，再逐层分类可以有效避免出错。
【难度系数】
0.8
9. 将下列各数填入相应的圈内：
$-\frac{1}{2}, -7, +2.6, -100, -2\frac{3}{4}, 9.2, 0, 1.$
$-\frac{1}{2}, -7, +2.6, -100, -2\frac{3}{4}, 9.2, 0, 1.$
答案
9. 解:填数如图所示.
解析
【分析】
这是一道有理数分类的基础题型，解题时首先要明确本题两个韦恩圈对应的数集定义（常规该类题两个圈分别为负数集合、整数集合，重叠区域为负整数集合），接下来逐个对给出的所有数的属性进行判定：先筛选出所有小于0的负数，再筛选出所有属于整数范畴的数，之后把同时满足负数和整数属性的数填入两个圈的重叠区域，仅属于单个集合的数填入对应圈的非重叠区域，既不属于负数也不属于整数的数放在圈外即可，过程中要注意不要漏填、重复填数。
【解析】
我们按照有理数分类规则逐步完成填数：
1. 先明确数集定义：
负数：所有小于0的数；
整数：包含正整数、0、负整数三类；
两个圈的重叠区域为同时满足负数、整数属性的负整数集合。
2. 逐个判定给定数的属性：
给定数为：$-\frac{1}{2}, -7, +2.6, -100, -2\frac{3}{4}, 9.2, 0, 1$
① 仅属于负数、不属于整数的数：$-\frac{1}{2}$、$-2\frac{3}{4}$，填入负数圈的非重叠区域；
② 同时属于负数和整数的负整数：$-7$、$-100$，填入两个圈的重叠区域；
③ 仅属于整数、不属于负数的数：$0$、$1$，填入整数圈的非重叠区域；
④ 既不属于负数也不属于整数的数：$+2.6$、$9.2$，放在两个圈的外部。
最终填数结果对应题图所示。
【答案】
【知识点】
有理数分类，负数定义，整数定义
【点评】
本题是有理数章节的入门基础题，核心考察对基础数集概念的区分，易错点是容易忽略0属于整数但不属于负数，也容易把负分数误归入整数范畴，解题时逐个核对每个数的属性就能避免错漏。
【难度系数】
0.9
这是一道有理数分类的基础题型，解题时首先要明确本题两个韦恩圈对应的数集定义（常规该类题两个圈分别为负数集合、整数集合，重叠区域为负整数集合），接下来逐个对给出的所有数的属性进行判定：先筛选出所有小于0的负数，再筛选出所有属于整数范畴的数，之后把同时满足负数和整数属性的数填入两个圈的重叠区域，仅属于单个集合的数填入对应圈的非重叠区域，既不属于负数也不属于整数的数放在圈外即可，过程中要注意不要漏填、重复填数。
【解析】
我们按照有理数分类规则逐步完成填数：
1. 先明确数集定义：
负数：所有小于0的数；
整数：包含正整数、0、负整数三类；
两个圈的重叠区域为同时满足负数、整数属性的负整数集合。
2. 逐个判定给定数的属性：
给定数为：$-\frac{1}{2}, -7, +2.6, -100, -2\frac{3}{4}, 9.2, 0, 1$
① 仅属于负数、不属于整数的数：$-\frac{1}{2}$、$-2\frac{3}{4}$，填入负数圈的非重叠区域；
② 同时属于负数和整数的负整数：$-7$、$-100$，填入两个圈的重叠区域；
③ 仅属于整数、不属于负数的数：$0$、$1$，填入整数圈的非重叠区域；
④ 既不属于负数也不属于整数的数：$+2.6$、$9.2$，放在两个圈的外部。
最终填数结果对应题图所示。
【答案】
【知识点】
有理数分类，负数定义，整数定义
【点评】
本题是有理数章节的入门基础题，核心考察对基础数集概念的区分，易错点是容易忽略0属于整数但不属于负数，也容易把负分数误归入整数范畴，解题时逐个核对每个数的属性就能避免错漏。
【难度系数】
0.9
