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9.“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每逢星期一写1张，每逢星期二写2张……每逢星期日写7张.若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则5月1日到5月28日他一共用了宣纸
112
张，5月30日可能是星期五或六或日
.答案
9. 112 五或六或日
提示: 因为5月1日~5月30日共30天,包括四个完整的星期,所以5月1日~5月28日写的张数为(1+2+3+4+5+6+7)×4=112;若5月30日为星期一,则所写张数为112+7+1=120,若5月30日为星期二,则所写张数为112+1+2＜120;若5月30日为星期三,则所写张数为112+2+3＜120;若5月30日为星期四,则所写张数为112+3+4＜120;若5月30日为星期五,则所写张数为112+4+5＞120;若5月30日为星期六,则所写张数为112+5+6＞120;若5月30日为星期日,则所写张数为112+6+7＞120.故5月30日可能为星期五或星期六或星期日.
提示: 因为5月1日~5月30日共30天,包括四个完整的星期,所以5月1日~5月28日写的张数为(1+2+3+4+5+6+7)×4=112;若5月30日为星期一,则所写张数为112+7+1=120,若5月30日为星期二,则所写张数为112+1+2＜120;若5月30日为星期三,则所写张数为112+2+3＜120;若5月30日为星期四,则所写张数为112+3+4＜120;若5月30日为星期五,则所写张数为112+4+5＞120;若5月30日为星期六,则所写张数为112+5+6＞120;若5月30日为星期日,则所写张数为112+6+7＞120.故5月30日可能为星期五或星期六或星期日.
解析
【分析】
解题时首先拆分日期范围梳理思路：第一步先计算5月1日到5月28日的总天数，28天恰好是4个完整的星期，无需额外推算起始星期，直接算出单个星期的书写总张数，乘以4即可得到前28天的总用纸量。第二步，5月29日和5月30日是28天之后的两天，结合“总用纸量超过120张”的条件，逐一枚举不同星期对应的两日书写量，筛选出符合条件的5月30日的星期即可。
【解析】
1. 计算5月1日到5月28日的用纸量：
5月1日到5月28日共28天，28÷7=4，刚好包含4个完整的星期。
单个星期的书写总张数为：1+2+3+4+5+6+7=28张
因此4个星期的总用纸量为：28×4=112张。
2. 推导5月30日的可能星期：
要求到5月30日的总用纸量超过120张，因此5月29日和5月30日这两天的用纸量之和需要大于120-112=8张。
逐一验证不同情况：
若5月30日为星期一，则5月29日为星期日，两日总张数为7+1=8，总用纸量112+8=120，不满足“超过120”的要求；
若5月30日为星期二，则5月29日为星期一，两日总张数为1+2=3，总用纸量115＜120，不符合；
若5月30日为星期三，则5月29日为星期二，两日总张数为2+3=5，总用纸量117＜120，不符合；
若5月30日为星期四，则5月29日为星期三，两日总张数为3+4=7，总用纸量119＜120，不符合；
若5月30日为星期五，则5月29日为星期四，两日总张数为4+5=9，总用纸量121＞120，符合要求；
若5月30日为星期六，则5月29日为星期五，两日总张数为5+6=11，总用纸量123＞120，符合要求；
若5月30日为星期日，则5月29日为星期六，两日总张数为6+7=13，总用纸量125＞120，符合要求。
因此5月30日可能是星期五、星期六或星期日。
【答案】
112；五或六或日
【知识点】
周期运算，有理数加法
【点评】
本题是结合生活场景的周期类应用题，核心技巧是利用28天为整周期的特点，跳过复杂的起始日期星期推算，大幅简化计算，后续通过枚举验证的方式筛选符合条件的结果，考察学生对周期规律的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先拆分日期范围梳理思路：第一步先计算5月1日到5月28日的总天数，28天恰好是4个完整的星期，无需额外推算起始星期，直接算出单个星期的书写总张数，乘以4即可得到前28天的总用纸量。第二步，5月29日和5月30日是28天之后的两天，结合“总用纸量超过120张”的条件，逐一枚举不同星期对应的两日书写量，筛选出符合条件的5月30日的星期即可。
【解析】
1. 计算5月1日到5月28日的用纸量：
5月1日到5月28日共28天，28÷7=4，刚好包含4个完整的星期。
单个星期的书写总张数为：1+2+3+4+5+6+7=28张
因此4个星期的总用纸量为：28×4=112张。
2. 推导5月30日的可能星期：
要求到5月30日的总用纸量超过120张，因此5月29日和5月30日这两天的用纸量之和需要大于120-112=8张。
逐一验证不同情况：
若5月30日为星期一，则5月29日为星期日，两日总张数为7+1=8，总用纸量112+8=120，不满足“超过120”的要求；
若5月30日为星期二，则5月29日为星期一，两日总张数为1+2=3，总用纸量115＜120，不符合；
若5月30日为星期三，则5月29日为星期二，两日总张数为2+3=5，总用纸量117＜120，不符合；
若5月30日为星期四，则5月29日为星期三，两日总张数为3+4=7，总用纸量119＜120，不符合；
若5月30日为星期五，则5月29日为星期四，两日总张数为4+5=9，总用纸量121＞120，符合要求；
若5月30日为星期六，则5月29日为星期五，两日总张数为5+6=11，总用纸量123＞120，符合要求；
若5月30日为星期日，则5月29日为星期六，两日总张数为6+7=13，总用纸量125＞120，符合要求。
因此5月30日可能是星期五、星期六或星期日。
【答案】
112；五或六或日
【知识点】
周期运算，有理数加法
【点评】
本题是结合生活场景的周期类应用题，核心技巧是利用28天为整周期的特点，跳过复杂的起始日期星期推算，大幅简化计算，后续通过枚举验证的方式筛选符合条件的结果，考察学生对周期规律的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
10. 从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
(1) 当$n=8$时，$S$的值为
(2) 根据表中的规律猜想，并用乘法表示$S$的公式：$S=2+4+6+8+\dots+2n=$
(3) 根据(2)中的规律计算$30+32+34+\dots+118+120$的值(写出计算过程)。
(1) 当$n=8$时，$S$的值为
72
。(2) 根据表中的规律猜想，并用乘法表示$S$的公式：$S=2+4+6+8+\dots+2n=$
$n(n+1)$
。(3) 根据(2)中的规律计算$30+32+34+\dots+118+120$的值(写出计算过程)。
答案
10. (1) 72
(2) $n(n+1)$
(3) 解:$30+32+34+\dots+118+120=(2+4+6+8+\dots+30+32+34+\dots+118+120)-(2+4+6+8+\dots+28)=60×61-14×15=3450$.
(2) $n(n+1)$
(3) 解:$30+32+34+\dots+118+120=(2+4+6+8+\dots+30+32+34+\dots+118+120)-(2+4+6+8+\dots+28)=60×61-14×15=3450$.
解析
【分析】
首先观察表格给出的连续偶数和的实例，从已知的n对应S的结果中归纳规律：可以看到当加数个数为n时，和S等于n乘以(n+1)。第一问直接代入n=8就能算出S的值；第二问基于归纳的规律，也可以用等差数列求和公式验证，得到通用的S的表达式；第三问要求的是从30开始到120的连续偶数和，无法直接套用从2开始的求和公式，所以采用补全再作差的思路：先计算从2加到120的所有连续偶数的总和，再减去从2加到28的所有连续偶数的总和，剩下的就是目标部分的和，代入第二问的公式就能快速算出结果。
【解析】
(1) 观察表格呈现的规律：
n=1时，S=1×2；
n=2时，S=2×3；
n=3时，S=3×4；
n=4时，S=4×5；
...
可得n个从2开始的连续偶数相加，和为n(n+1)。
当n=8时，S=8×9=72。
(2) 对S=2+4+6+…+2n，这是首项为2、末项为2n、项数为n的等差数列，由等差数列求和公式推导：
$S=\frac{(首项+末项)×项数}{2}=\frac{(2+2n)×n}{2}=n(n+1)$。
(3) 计算30+32+34+…+120，将其转化为两个从2开始的连续偶数和的差：
首先，序列2+4+…+120中，最大偶数120=2×60，对应项数n=60，和为60×61；
序列2+4+…+28中，最大偶数28=2×14，对应项数n=14，和为14×15；
因此：
$30+32+34+\dots+120$
$=(2+4+6+\dots+120)-(2+4+6+\dots+28)$
$=60×61-14×15$
$=3660-210$
$=3450$
【答案】
(1) 72；(2) $n(n+1)$；(3) 3450
【知识点】
数字规律探究，等差数列求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，先通过特例归纳出从2开始的连续偶数求和公式，再通过补全作差的技巧计算非起始于2的连续偶数和，既考察了学生的归纳推理能力，也锻炼了学生对已有公式的灵活迁移应用，第三问中准确数出两段偶数序列的项数是解题的关键，也是容易出错的地方。
【难度系数】
0.6
首先观察表格给出的连续偶数和的实例，从已知的n对应S的结果中归纳规律：可以看到当加数个数为n时，和S等于n乘以(n+1)。第一问直接代入n=8就能算出S的值；第二问基于归纳的规律，也可以用等差数列求和公式验证，得到通用的S的表达式；第三问要求的是从30开始到120的连续偶数和，无法直接套用从2开始的求和公式，所以采用补全再作差的思路：先计算从2加到120的所有连续偶数的总和，再减去从2加到28的所有连续偶数的总和，剩下的就是目标部分的和，代入第二问的公式就能快速算出结果。
【解析】
(1) 观察表格呈现的规律：
n=1时，S=1×2；
n=2时，S=2×3；
n=3时，S=3×4；
n=4时，S=4×5；
...
可得n个从2开始的连续偶数相加，和为n(n+1)。
当n=8时，S=8×9=72。
(2) 对S=2+4+6+…+2n，这是首项为2、末项为2n、项数为n的等差数列，由等差数列求和公式推导：
$S=\frac{(首项+末项)×项数}{2}=\frac{(2+2n)×n}{2}=n(n+1)$。
(3) 计算30+32+34+…+120，将其转化为两个从2开始的连续偶数和的差：
首先，序列2+4+…+120中，最大偶数120=2×60，对应项数n=60，和为60×61；
序列2+4+…+28中，最大偶数28=2×14，对应项数n=14，和为14×15；
因此：
$30+32+34+\dots+120$
$=(2+4+6+\dots+120)-(2+4+6+\dots+28)$
$=60×61-14×15$
$=3660-210$
$=3450$
【答案】
(1) 72；(2) $n(n+1)$；(3) 3450
【知识点】
数字规律探究，等差数列求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，先通过特例归纳出从2开始的连续偶数求和公式，再通过补全作差的技巧计算非起始于2的连续偶数和，既考察了学生的归纳推理能力，也锻炼了学生对已有公式的灵活迁移应用，第三问中准确数出两段偶数序列的项数是解题的关键，也是容易出错的地方。
【难度系数】
0.6
11. 算筹是世界上最古老的记数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹记数的方法是个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示，如:3257就表示成“≡ || ≡ 𝚻”.
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 纵式 | | || | ||| | |||| | ||||| | 𝚻 | 𝚿 | 𝚼 | 𝚾 |
| 横式 | — | = | ≡ | 𝄪 | 𝄫 | ⊥ | 𝆙 | 𝆚 | 𝆛 |
(1) 算筹“≡ 𝚼 ⊥ ||||”所表示的数是
(2) 请用算筹表示下列各数：
(3) 用三根算筹可以表示两位数(十位不能为零，且用完三根算筹)，请在图中的实线框中摆出来，并在下方的括号里填上所表示的数(注:图中实线框个数过多).
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 纵式 | | || | ||| | |||| | ||||| | 𝚻 | 𝚿 | 𝚼 | 𝚾 |
| 横式 | — | = | ≡ | 𝄪 | 𝄫 | ⊥ | 𝆙 | 𝆚 | 𝆛 |
(1) 算筹“≡ 𝚼 ⊥ ||||”所表示的数是
3875
.(2) 请用算筹表示下列各数：
(3) 用三根算筹可以表示两位数(十位不能为零，且用完三根算筹)，请在图中的实线框中摆出来，并在下方的括号里填上所表示的数(注:图中实线框个数过多).
答案
11. (1) 3875
(2) 解:表示如图所示.
(3) 解:表示如图所示.
解析
【分析】
首先先梳理解题思路：第一步先仔细读题，提取题目给出的算筹记数核心规则：数位从低位到高位（个位、十位、百位、千位……）依次对应纵、横、纵、横……交替摆放，零用空格表示，同时对照给出的纵式、横式和数字1-9的对应表。做第(1)问时，先数出给定算筹共4位，说明是四位数，从左到右依次对应千位、百位、十位、个位，对应规则千位为横、百位为纵、十位为横、个位为纵，逐个匹配符号对应的数字就能得到结果。第(2)问只需要将给定数字逐位按照数位的纵横要求，对照对应表转换成算筹样式即可。第(3)问用枚举法分配3根算筹的使用：十位不能为0，所以十位可以用1根、2根、3根算筹，剩余的算筹全部给个位，分别找出所有符合条件的两位数，再对应转换成算筹摆放即可，注意不要重复遗漏。
【解析】
(1) 根据算筹记数规则，四位数从高位到低位（千位到个位）的摆放要求为横、纵、横、纵：
第一个符号“≡”属于横式，对应数字3，为千位数字；
第二个符号“𝚼”属于纵式，对应数字8，为百位数字；
第三个符号“⊥”属于横式，对应数字7，为十位数字；
第四个符号对应纵式的5，为个位数字；
组合得到该数为3875。
(2) 按照“个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……”的纵横交替规则，对照算筹对应表将给定数字逐位转换为对应样式的算筹即可。
(3) 分类枚举所有用3根算筹组成的两位数（十位不为0，用完3根算筹）：
① 十位用1根算筹：十位数字为1，剩余2根算筹放在个位，个位可以是2、6，对应数12、16；
② 十位用2根算筹：十位数字为2、6，剩余1根算筹放在个位，个位为1，对应数21、61；
③ 十位用3根算筹：十位数字为3、7，剩余0根算筹放在个位，个位为0，对应数30、70；
所有符合条件的数对应摆放算筹即可。
【答案】
(1) 3875
(2) 表示如图所示.
(3) 表示如图所示.
【知识点】
算筹记数规则，数位认识，分类枚举
【点评】
本题结合中国古代算筹的传统文化背景，属于新定义创新题型，核心考察学生对陌生记数规则的阅读理解和迁移应用能力，第三问的枚举需要注意十位不能为0、用完3根算筹的限制，做到不重不漏，同时也能帮助学生了解我国古代数学的优秀成就。
【难度系数】
0.6
首先先梳理解题思路：第一步先仔细读题，提取题目给出的算筹记数核心规则：数位从低位到高位（个位、十位、百位、千位……）依次对应纵、横、纵、横……交替摆放，零用空格表示，同时对照给出的纵式、横式和数字1-9的对应表。做第(1)问时，先数出给定算筹共4位，说明是四位数，从左到右依次对应千位、百位、十位、个位，对应规则千位为横、百位为纵、十位为横、个位为纵，逐个匹配符号对应的数字就能得到结果。第(2)问只需要将给定数字逐位按照数位的纵横要求，对照对应表转换成算筹样式即可。第(3)问用枚举法分配3根算筹的使用：十位不能为0，所以十位可以用1根、2根、3根算筹，剩余的算筹全部给个位，分别找出所有符合条件的两位数，再对应转换成算筹摆放即可，注意不要重复遗漏。
【解析】
(1) 根据算筹记数规则，四位数从高位到低位（千位到个位）的摆放要求为横、纵、横、纵：
第一个符号“≡”属于横式，对应数字3，为千位数字；
第二个符号“𝚼”属于纵式，对应数字8，为百位数字；
第三个符号“⊥”属于横式，对应数字7，为十位数字；
第四个符号对应纵式的5，为个位数字；
组合得到该数为3875。
(2) 按照“个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……”的纵横交替规则，对照算筹对应表将给定数字逐位转换为对应样式的算筹即可。
(3) 分类枚举所有用3根算筹组成的两位数（十位不为0，用完3根算筹）：
① 十位用1根算筹：十位数字为1，剩余2根算筹放在个位，个位可以是2、6，对应数12、16；
② 十位用2根算筹：十位数字为2、6，剩余1根算筹放在个位，个位为1，对应数21、61；
③ 十位用3根算筹：十位数字为3、7，剩余0根算筹放在个位，个位为0，对应数30、70；
所有符合条件的数对应摆放算筹即可。
【答案】
(1) 3875
(2) 表示如图所示.
(3) 表示如图所示.
【知识点】
算筹记数规则，数位认识，分类枚举
【点评】
本题结合中国古代算筹的传统文化背景，属于新定义创新题型，核心考察学生对陌生记数规则的阅读理解和迁移应用能力，第三问的枚举需要注意十位不能为0、用完3根算筹的限制，做到不重不漏，同时也能帮助学生了解我国古代数学的优秀成就。
【难度系数】
0.6
