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1. 如果方程 $(a-b)x=|a-b|$ 有唯一解 $x=-1$,那么（
A.$a=b$
B.$a＞b$
C.$a≠ b$
D.$a＜b$
D
）A.$a=b$
B.$a＞b$
C.$a≠ b$
D.$a＜b$
答案
1. D
解析
【分析】
我们可以按三步梳理解题思路：首先根据方程的解的定义，把已知的唯一解x=-1代入原方程，得到关于a、b的关系式；其次结合绝对值的代数性质，同时兼顾“方程有唯一解”的要求，排除系数为0的情况，判断a-b的正负性；最后逐一排除不符合条件的错误选项，得到最终结论。整个过程要注意不能遗漏“唯一解”这个限定条件，避免误判。
【解析】
解：
1. 将已知解$x=-1$代入原方程$(a-b)x=|a-b|$，可得：
$(a-b)×(-1) = |a-b|$
整理后得到：$|a-b| = -(a-b)$
2. 根据绝对值的性质：若实数$m$满足$|m|=-m$，则$m≤0$；又因为原方程有唯一解，未知数的系数不能为0，即$a-b≠0$，因此可推出：
$a-b ＜ 0$
移项得$a ＜ b$。
3. 逐一验证选项排除错误项：
选项A：若$a=b$，原方程变为$0· x=0$，此时方程有无数个解，不符合“有唯一解x=-1”的要求，错误；
选项B：若$a＞b$，则$a-b＞0$，原方程两边同时除以正数$a-b$，得到解$x=1$，和已知解$x=-1$矛盾，错误；
选项C：$a≠ b$包含$a＞b$和$a＜b$两种情况，仅当$a＜b$时解为x=-1，无法保证方程的解一定是-1，不符合题意，错误；
选项D：$a＜b$完全符合推导结论，正确。
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解，绝对值的性质
【点评】本题的高频易错点是容易忽略“解为x=-1”的限定条件，误选C选项，解题时需要同时结合“方程有唯一解”的要求排除系数为0的情况，再利用绝对值的性质推导两数的大小关系，避免遗漏题干条件。
【难度系数】0.6
我们可以按三步梳理解题思路：首先根据方程的解的定义，把已知的唯一解x=-1代入原方程，得到关于a、b的关系式；其次结合绝对值的代数性质，同时兼顾“方程有唯一解”的要求，排除系数为0的情况，判断a-b的正负性；最后逐一排除不符合条件的错误选项，得到最终结论。整个过程要注意不能遗漏“唯一解”这个限定条件，避免误判。
【解析】
解：
1. 将已知解$x=-1$代入原方程$(a-b)x=|a-b|$，可得：
$(a-b)×(-1) = |a-b|$
整理后得到：$|a-b| = -(a-b)$
2. 根据绝对值的性质：若实数$m$满足$|m|=-m$，则$m≤0$；又因为原方程有唯一解，未知数的系数不能为0，即$a-b≠0$，因此可推出：
$a-b ＜ 0$
移项得$a ＜ b$。
3. 逐一验证选项排除错误项：
选项A：若$a=b$，原方程变为$0· x=0$，此时方程有无数个解，不符合“有唯一解x=-1”的要求，错误；
选项B：若$a＞b$，则$a-b＞0$，原方程两边同时除以正数$a-b$，得到解$x=1$，和已知解$x=-1$矛盾，错误；
选项C：$a≠ b$包含$a＞b$和$a＜b$两种情况，仅当$a＜b$时解为x=-1，无法保证方程的解一定是-1，不符合题意，错误；
选项D：$a＜b$完全符合推导结论，正确。
【答案】D
【知识点】一元一次方程的解，绝对值的性质
【点评】本题的高频易错点是容易忽略“解为x=-1”的限定条件，误选C选项，解题时需要同时结合“方程有唯一解”的要求排除系数为0的情况，再利用绝对值的性质推导两数的大小关系，避免遗漏题干条件。
【难度系数】0.6
2. 已知关于 $x$ 的一元一次方程 $(3a+8b)x+$ $7=0$ 无解,则 $ab$ 是（
A.正数
B.非正数
C.负数
D.非负数
B
）A.正数
B.非正数
C.负数
D.非负数
答案
2. B
解析
【分析】
解题思路：首先我们先将给定的方程整理为$mx=n$的标准形式，回忆这类方程的解的规律：当一次项系数$m≠0$时，方程有唯一解；当$m=0$且$n≠0$时，等式左边恒为0、右边不为0，出现矛盾，方程无解。本题方程无解，因此可以直接得到一次项系数$3a+8b=0$，再通过该等式推导a和b的关系，代入ab计算取值范围，即可判断ab的属性。
【解析】
1. 对原方程移项变形：
将方程$(3a+8b)x+7=0$移项可得：
$(3a+8b)x = -7$
2. 利用方程无解的条件推导系数关系：
对于形如$mx=n$的整式方程，若方程无解，需要满足一次项系数$m=0$，且右侧常数项$n≠0$。
本题中方程无解，右侧常数项$-7≠0$，因此可得：
$3a+8b=0$
3. 推导ab的取值范围：
由$3a+8b=0$可得$a=-\frac{8}{3}b$，将其代入ab计算：
$ab = (-\frac{8}{3}b)· b = -\frac{8}{3}b^2$
根据平方的非负性，任意实数的平方满足$b^2≥0$，因此$-\frac{8}{3}b^2≤0$，即$ab≤0$，说明ab是非正数。
因此本题选B。
【知识点】
一元一次方程解的判定，平方非负性
【点评】
本题核心考察一元一次方程无解的判定规则，容易出现的误区是误以为一元一次方程的一次项系数必然不为0，忽略当一次项系数为0、常数项不为0时方程为矛盾式、不存在解的情况，结合平方的非负性即可快速推导ab的取值范围，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先我们先将给定的方程整理为$mx=n$的标准形式，回忆这类方程的解的规律：当一次项系数$m≠0$时，方程有唯一解；当$m=0$且$n≠0$时，等式左边恒为0、右边不为0，出现矛盾，方程无解。本题方程无解，因此可以直接得到一次项系数$3a+8b=0$，再通过该等式推导a和b的关系，代入ab计算取值范围，即可判断ab的属性。
【解析】
1. 对原方程移项变形：
将方程$(3a+8b)x+7=0$移项可得：
$(3a+8b)x = -7$
2. 利用方程无解的条件推导系数关系：
对于形如$mx=n$的整式方程，若方程无解，需要满足一次项系数$m=0$，且右侧常数项$n≠0$。
本题中方程无解，右侧常数项$-7≠0$，因此可得：
$3a+8b=0$
3. 推导ab的取值范围：
由$3a+8b=0$可得$a=-\frac{8}{3}b$，将其代入ab计算：
$ab = (-\frac{8}{3}b)· b = -\frac{8}{3}b^2$
根据平方的非负性，任意实数的平方满足$b^2≥0$，因此$-\frac{8}{3}b^2≤0$，即$ab≤0$，说明ab是非正数。
因此本题选B。
【知识点】
一元一次方程解的判定，平方非负性
【点评】
本题核心考察一元一次方程无解的判定规则，容易出现的误区是误以为一元一次方程的一次项系数必然不为0，忽略当一次项系数为0、常数项不为0时方程为矛盾式、不存在解的情况，结合平方的非负性即可快速推导ab的取值范围，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
3. 定义一种新运算: $a * b=2 a-b$, 则方程
$2 *(1 * x)=\frac{1}{2} * x \mathrm{ 的解是 } \quad(\quad)$
A.$x=-\frac{1}{2}$
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=\frac{1}{2}$
$2 *(1 * x)=\frac{1}{2} * x \mathrm{ 的解是 } \quad(\quad)$
A.$x=-\frac{1}{2}$
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=\frac{1}{2}$
答案
3. A
解析
【分析】
这道题是新定义运算结合一元一次方程的基础题型，解题思路非常清晰：第一步先明确题目给出的新运算规则$a*b=2a-b$的含义，即“*”前的数乘2减去“*”后的数；第二步遵循常规运算的优先级，有括号先计算括号内部的$1*x$，将对应数值代入新运算规则得到化简结果；第三步再分别把方程左边的整体$2*(1*x)$、右边的$\frac{1}{2}*x$都按照新运算规则展开，就能把陌生的新运算方程转化为我们熟悉的普通一元一次方程，最后通过移项、合并同类项求解即可。
【解析】
解：首先根据新运算定义$a*b=2a-b$，分步化简方程：
1. 先计算括号内的部分：将$a=1$，$b=x$代入新运算，得
$1*x=2×1 - x=2-x$
2. 化简方程左侧：将$a=2$，$b=2-x$代入新运算，得
$2*(1*x)=2*(2-x)=2×2 - (2-x)=4-2+x=2+x$
3. 化简方程右侧：将$a=\frac{1}{2}$，$b=x$代入新运算，得
$\frac{1}{2}*x=2×\frac{1}{2} - x=1-x$
4. 原方程转化为常规一元一次方程：
$2+x=1-x$
移项得：$x+x=1-2$
合并同类项得：$2x=-1$
系数化为1得：$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义运算的入门基础题，核心考察学生对陌生规则的理解和代入能力，只要不混淆新运算里a和b的对应位置，严格按照先算括号内的运算顺序展开，就能顺利转化为常规一元一次方程求解，整体难度低，不易出错。
【难度系数】
0.8
这道题是新定义运算结合一元一次方程的基础题型，解题思路非常清晰：第一步先明确题目给出的新运算规则$a*b=2a-b$的含义，即“*”前的数乘2减去“*”后的数；第二步遵循常规运算的优先级，有括号先计算括号内部的$1*x$，将对应数值代入新运算规则得到化简结果；第三步再分别把方程左边的整体$2*(1*x)$、右边的$\frac{1}{2}*x$都按照新运算规则展开，就能把陌生的新运算方程转化为我们熟悉的普通一元一次方程，最后通过移项、合并同类项求解即可。
【解析】
解：首先根据新运算定义$a*b=2a-b$，分步化简方程：
1. 先计算括号内的部分：将$a=1$，$b=x$代入新运算，得
$1*x=2×1 - x=2-x$
2. 化简方程左侧：将$a=2$，$b=2-x$代入新运算，得
$2*(1*x)=2*(2-x)=2×2 - (2-x)=4-2+x=2+x$
3. 化简方程右侧：将$a=\frac{1}{2}$，$b=x$代入新运算，得
$\frac{1}{2}*x=2×\frac{1}{2} - x=1-x$
4. 原方程转化为常规一元一次方程：
$2+x=1-x$
移项得：$x+x=1-2$
合并同类项得：$2x=-1$
系数化为1得：$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义运算的入门基础题，核心考察学生对陌生规则的理解和代入能力，只要不混淆新运算里a和b的对应位置，严格按照先算括号内的运算顺序展开，就能顺利转化为常规一元一次方程求解，整体难度低，不易出错。
【难度系数】
0.8
4. 已知$a$是任意有理数，则下列结论正确的个数是（
①方程$ax=0$的解是$x=1$；
②方程$ax=a$的解是$x=1$；
③方程$ax=1$的解是$x=\dfrac{1}{a}$；
④方程$|a|x=a$的解是$x=\pm1$.
A.0
B.1
C.2
D.3
A
）①方程$ax=0$的解是$x=1$；
②方程$ax=a$的解是$x=1$；
③方程$ax=1$的解是$x=\dfrac{1}{a}$；
④方程$|a|x=a$的解是$x=\pm1$.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
4. A
解析
【分析】
我们的解题思路是逐个验证四个关于含字母系数方程解的结论是否正确，题干明确说明a是任意有理数，因此处理方程时不能直接默认a不为0就两边除以a，必须优先讨论a=0的特殊情况，结合0不能作除数的规则逐一排查，最终统计正确结论的总个数即可得到答案。
【解析】
我们对4个结论逐一判断：
1. 对于①方程$ax=0$：
若$a=0$，方程变为$0· x=0$，此时任意有理数都是方程的解；若$a≠0$，方程的解是$x=0$，无论哪种情况解都不可能是$x=1$，因此①错误。
2. 对于②方程$ax=a$：
若$a=0$，方程变为$0· x=0$，此时任意有理数都是方程的解，并非只有$x=1$，②没有考虑$a=0$的情况，结论错误。
3. 对于③方程$ax=1$：
若$a=0$，方程左边为0，右边为1，等式$0=1$不成立，此时方程无解，不存在解$x=\frac{1}{a}$，因此③错误。
4. 对于④方程$|a|x=a$：
若$a=0$，方程变为$0· x=0$，任意有理数都是方程的解，并非$x=\pm1$；若$a≠0$，$|a|＞0$，方程的解为$x=\frac{a}{|a|}$，当$a＞0$时$x=1$，当$a＜0$时$x=-1$，不可能同时取$x=1$和$x=-1$，因此④错误。
综上4个结论全部错误，正确的个数是0。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，分类讨论思想，绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是学生容易默认字母系数a不为0，直接两边除以a得到错误的解，忽略了a作为任意有理数可以取0的特殊情况，很好地考察了学生对含参数一元一次方程求解规则的掌握，提醒大家处理带字母系数的等式变形时，要注意除数不能为0的隐含限制。
【难度系数】
0.4
我们的解题思路是逐个验证四个关于含字母系数方程解的结论是否正确，题干明确说明a是任意有理数，因此处理方程时不能直接默认a不为0就两边除以a，必须优先讨论a=0的特殊情况，结合0不能作除数的规则逐一排查，最终统计正确结论的总个数即可得到答案。
【解析】
我们对4个结论逐一判断：
1. 对于①方程$ax=0$：
若$a=0$，方程变为$0· x=0$，此时任意有理数都是方程的解；若$a≠0$，方程的解是$x=0$，无论哪种情况解都不可能是$x=1$，因此①错误。
2. 对于②方程$ax=a$：
若$a=0$，方程变为$0· x=0$，此时任意有理数都是方程的解，并非只有$x=1$，②没有考虑$a=0$的情况，结论错误。
3. 对于③方程$ax=1$：
若$a=0$，方程左边为0，右边为1，等式$0=1$不成立，此时方程无解，不存在解$x=\frac{1}{a}$，因此③错误。
4. 对于④方程$|a|x=a$：
若$a=0$，方程变为$0· x=0$，任意有理数都是方程的解，并非$x=\pm1$；若$a≠0$，$|a|＞0$，方程的解为$x=\frac{a}{|a|}$，当$a＞0$时$x=1$，当$a＜0$时$x=-1$，不可能同时取$x=1$和$x=-1$，因此④错误。
综上4个结论全部错误，正确的个数是0。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解，分类讨论思想，绝对值的性质
【点评】
本题的易错点是学生容易默认字母系数a不为0，直接两边除以a得到错误的解，忽略了a作为任意有理数可以取0的特殊情况，很好地考察了学生对含参数一元一次方程求解规则的掌握，提醒大家处理带字母系数的等式变形时，要注意除数不能为0的隐含限制。
【难度系数】
0.4
5. 方程$\dfrac{x}{1×3}+\dfrac{x}{3×5}+\dfrac{x}{5×7}+\dots+\dfrac{x}{221×223}=1$的解是（
A.$x=\dfrac{222}{223}$
B.$x=\dfrac{223}{222}$
C.$x=\dfrac{223}{111}$
D.$x=\dfrac{111}{223}$
C
）A.$x=\dfrac{222}{223}$
B.$x=\dfrac{223}{222}$
C.$x=\dfrac{223}{111}$
D.$x=\dfrac{111}{223}$
答案
5. C
提示:原方程可化为$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{221}-\frac{1}{223})x=1$,即$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{223})x=1$,解得$x=\frac{223}{111}$.
提示:原方程可化为$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{221}-\frac{1}{223})x=1$,即$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{223})x=1$,解得$x=\frac{223}{111}$.
解析
【分析】
首先观察方程左侧的求和项特征：每一项的分母都是两个相差为2的连续奇数的乘积，分子均为x，直接通分计算量极大，因此优先考虑裂项相消的求和思路。第一步先把公因子x提取出来，再对每一个形如1/[a(a+2)]的分式做裂项变形，拆分为1/2*(1/a - 1/(a+2))，变形后中间的正负项会全部抵消，仅剩余首尾两项，就能把复杂的求和式化简为简单的一元一次方程，直接求解即可得到x的值。
【解析】
1. 提取公因式x，原方程可变形为：
$x·(\dfrac{1}{1×3}+\dfrac{1}{3×5}+\dfrac{1}{5×7}+\dots+\dfrac{1}{221×223})=1$
2. 对每一项分式进行裂项拆分，利用公式$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2})$，代入得：
$x·\dfrac{1}{2}[(1-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5})+(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7})+\dots+(\dfrac{1}{221}-\dfrac{1}{223})]=1$
3. 抵消中间互为相反数的项，括号内剩余首尾两项：
$\dfrac{1}{2}x·(1-\dfrac{1}{223})=1$
4. 化简括号内的部分：
$\dfrac{1}{2}x·\dfrac{222}{223}=1$，即$\dfrac{111}{223}x=1$
5. 解得$x=\dfrac{223}{111}$
【答案】
C.$x=\dfrac{223}{111}$
【知识点】
裂项相消法，一元一次方程求解
【点评】
本题是有理数求和与一元一次方程结合的经典题型，核心考点是识别裂项相消的适用结构，避免直接硬通分的复杂运算，掌握形如$\dfrac{1}{n(n+k)}$的分式通用裂项规律，就能快速化简求和式，大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.5
首先观察方程左侧的求和项特征：每一项的分母都是两个相差为2的连续奇数的乘积，分子均为x，直接通分计算量极大，因此优先考虑裂项相消的求和思路。第一步先把公因子x提取出来，再对每一个形如1/[a(a+2)]的分式做裂项变形，拆分为1/2*(1/a - 1/(a+2))，变形后中间的正负项会全部抵消，仅剩余首尾两项，就能把复杂的求和式化简为简单的一元一次方程，直接求解即可得到x的值。
【解析】
1. 提取公因式x，原方程可变形为：
$x·(\dfrac{1}{1×3}+\dfrac{1}{3×5}+\dfrac{1}{5×7}+\dots+\dfrac{1}{221×223})=1$
2. 对每一项分式进行裂项拆分，利用公式$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2})$，代入得：
$x·\dfrac{1}{2}[(1-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5})+(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7})+\dots+(\dfrac{1}{221}-\dfrac{1}{223})]=1$
3. 抵消中间互为相反数的项，括号内剩余首尾两项：
$\dfrac{1}{2}x·(1-\dfrac{1}{223})=1$
4. 化简括号内的部分：
$\dfrac{1}{2}x·\dfrac{222}{223}=1$，即$\dfrac{111}{223}x=1$
5. 解得$x=\dfrac{223}{111}$
【答案】
C.$x=\dfrac{223}{111}$
【知识点】
裂项相消法，一元一次方程求解
【点评】
本题是有理数求和与一元一次方程结合的经典题型，核心考点是识别裂项相消的适用结构，避免直接硬通分的复杂运算，掌握形如$\dfrac{1}{n(n+k)}$的分式通用裂项规律，就能快速化简求和式，大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.5
6. 方程 $\dfrac{3}{2}[\dfrac{2}{3}(\dfrac{1}{4}x-1)-2]-x=2$ 的解为
$x=\_\_\_\_\_\_.$
$x=\_\_\_\_\_\_.$
答案
6. $-8$
解析
【分析】
这是带多层括号的一元一次方程，常规思路可以逐步去分母、去括号，但观察到外层的系数$\frac{3}{2}$和中括号内的$\frac{2}{3}$互为倒数，优先从外向内去括号可以大幅简化运算，避免复杂的分数通分计算，先消去中括号，再逐步化简剩余部分，最后通过移项合并同类项就能快速求出x的值。
【解析】
解：1. 利用乘法分配律将外层的$\frac{3}{2}$乘入中括号内：
$\dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3}(\dfrac{1}{4}x -1) - \dfrac{3}{2} × 2 - x = 2$
化简后直接消去中括号，得：
$(\dfrac{1}{4}x -1) - 3 - x = 2$
2. 去掉小括号，合并同类项：
$\dfrac{1}{4}x -1 -3 -x = 2$
$-\dfrac{3}{4}x -4 = 2$
3. 移项计算：
$-\dfrac{3}{4}x = 2 + 4$
$-\dfrac{3}{4}x = 6$
4. 两边同时乘以$-\frac{4}{3}$，解得：
$x = 6×(-\dfrac{4}{3}) = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
一元一次方程解法，去括号法则
【点评】
本题的核心技巧是观察到相邻外层系数和内层括号系数互为倒数，选择从外向内去括号，跳过了繁琐的通分步骤，大幅降低计算量，避免复杂分数运算出错，是解多层括号一元一次方程的经典简化思路。
【难度系数】
0.7
这是带多层括号的一元一次方程，常规思路可以逐步去分母、去括号，但观察到外层的系数$\frac{3}{2}$和中括号内的$\frac{2}{3}$互为倒数，优先从外向内去括号可以大幅简化运算，避免复杂的分数通分计算，先消去中括号，再逐步化简剩余部分，最后通过移项合并同类项就能快速求出x的值。
【解析】
解：1. 利用乘法分配律将外层的$\frac{3}{2}$乘入中括号内：
$\dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3}(\dfrac{1}{4}x -1) - \dfrac{3}{2} × 2 - x = 2$
化简后直接消去中括号，得：
$(\dfrac{1}{4}x -1) - 3 - x = 2$
2. 去掉小括号，合并同类项：
$\dfrac{1}{4}x -1 -3 -x = 2$
$-\dfrac{3}{4}x -4 = 2$
3. 移项计算：
$-\dfrac{3}{4}x = 2 + 4$
$-\dfrac{3}{4}x = 6$
4. 两边同时乘以$-\frac{4}{3}$，解得：
$x = 6×(-\dfrac{4}{3}) = -8$
【答案】
$-8$
【知识点】
一元一次方程解法，去括号法则
【点评】
本题的核心技巧是观察到相邻外层系数和内层括号系数互为倒数，选择从外向内去括号，跳过了繁琐的通分步骤，大幅降低计算量，避免复杂分数运算出错，是解多层括号一元一次方程的经典简化思路。
【难度系数】
0.7
7. 已知$|x|=3x+1$，则代数式$64x^{2}+48x+$$9=$
1
。答案
7. 1
解析
【分析】
这道题的解题思路很清晰：首先我们需要先解出给定的绝对值方程，得到合法的x取值，再代入目标代数式计算结果。首先要利用绝对值的非负性，先确定等式右侧3x+1≥0的前提，避免得到无效根；之后分x≥0和x＜0两种情况去掉绝对值符号解方程，舍去和对应取值范围矛盾的根，得到正确的x值。最后观察目标代数式的结构，发现它是完全平方式，代入x值就能快速算出结果，不用复杂运算。
【解析】
1. 确定取值范围：由绝对值的非负性可知|x|≥0，因此等式右侧3x+1≥0，解得$x\ge -\frac{1}{3}$。
2. 分情况去绝对值解方程：
① 当$x\ge0$时，$|x|=x$，原方程化为$x=3x+1$，移项得$-2x=1$，解得$x=-\frac{1}{2}$，该结果和$x\ge0$矛盾，舍去这个无效解。
② 当$x＜0$时，$|x|=-x$，原方程化为$-x=3x+1$，移项得$4x=-1$，解得$x=-\frac{1}{4}$，该结果满足$x\ge -\frac{1}{3}$的前提，是方程的有效解。
3. 化简并代入计算：观察目标代数式，由完全平方公式可得$64x^2+48x+9=(8x+3)^2$，把$x=-\frac{1}{4}$代入：
$8x+3=8×(-\frac{1}{4})+3=-2+3=1$，因此原式$=1^2=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值方程求解，完全平方公式
【点评】
本题的巧算点在于不用直接代入x硬算二次式，通过识别目标式的完全平方结构可以大幅简化运算，同时解绝对值方程时一定要对得到的根做检验，舍去不符合取值范围的增根，避免出现错误。
【难度系数】
0.6
这道题的解题思路很清晰：首先我们需要先解出给定的绝对值方程，得到合法的x取值，再代入目标代数式计算结果。首先要利用绝对值的非负性，先确定等式右侧3x+1≥0的前提，避免得到无效根；之后分x≥0和x＜0两种情况去掉绝对值符号解方程，舍去和对应取值范围矛盾的根，得到正确的x值。最后观察目标代数式的结构，发现它是完全平方式，代入x值就能快速算出结果，不用复杂运算。
【解析】
1. 确定取值范围：由绝对值的非负性可知|x|≥0，因此等式右侧3x+1≥0，解得$x\ge -\frac{1}{3}$。
2. 分情况去绝对值解方程：
① 当$x\ge0$时，$|x|=x$，原方程化为$x=3x+1$，移项得$-2x=1$，解得$x=-\frac{1}{2}$，该结果和$x\ge0$矛盾，舍去这个无效解。
② 当$x＜0$时，$|x|=-x$，原方程化为$-x=3x+1$，移项得$4x=-1$，解得$x=-\frac{1}{4}$，该结果满足$x\ge -\frac{1}{3}$的前提，是方程的有效解。
3. 化简并代入计算：观察目标代数式，由完全平方公式可得$64x^2+48x+9=(8x+3)^2$，把$x=-\frac{1}{4}$代入：
$8x+3=8×(-\frac{1}{4})+3=-2+3=1$，因此原式$=1^2=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值方程求解，完全平方公式
【点评】
本题的巧算点在于不用直接代入x硬算二次式，通过识别目标式的完全平方结构可以大幅简化运算，同时解绝对值方程时一定要对得到的根做检验，舍去不符合取值范围的增根，避免出现错误。
【难度系数】
0.6
8. 小明解方程$\dfrac{3x-1}{4}=\dfrac{x+a}{3}-2$，去分母时，方程右边的$-2$忘记乘12，因而求出的解为$x=1$，则此方程正确的解是
$x=-\dfrac{17}{5}$
.答案
8. $x=-\dfrac{17}{5}$
提示:因为小明去分母时,方程右边的$-2$忘记乘12,所以错误方程为$12×\dfrac{3x-1}{4}=12×\dfrac{x+a}{3}-2$,即$9x-3=4x+4a-2$.将$x=1$代入,得$9×1-3=4×1+4a-2$,解得$a=1$.所以原方程为$\dfrac{3x-1}{4}=\dfrac{x+1}{3}-2$,去分母,得$3(3x-1)=4(x+1)-24$,即$9x-3=4x+4-24$,整理,得$9x-3=4x-20$,解得$x=-\dfrac{17}{5}$.
提示:因为小明去分母时,方程右边的$-2$忘记乘12,所以错误方程为$12×\dfrac{3x-1}{4}=12×\dfrac{x+a}{3}-2$,即$9x-3=4x+4a-2$.将$x=1$代入,得$9×1-3=4×1+4a-2$,解得$a=1$.所以原方程为$\dfrac{3x-1}{4}=\dfrac{x+1}{3}-2$,去分母,得$3(3x-1)=4(x+1)-24$,即$9x-3=4x+4-24$,整理,得$9x-3=4x-20$,解得$x=-\dfrac{17}{5}$.
解析
【分析】
这是典型的“错中求解”类一元一次方程题型，解题思路可以分成两步走：第一步，先根据小明错误的去分母操作，写出他实际求解的错误方程，已知他算出的x=1是这个错误方程的有效解，把x=1代入错误方程就能反求出未知参数a的取值；第二步，把求出的a代回原方程，按照解一元一次方程的正规步骤，正确给所有项乘最简公分母去分母，再移项合并同类项，就能得到原方程的正确解。解题时要注意去分母的核心规则：方程的每一项都要乘最简公分母，不含分母的常数项也不能漏乘。
【解析】
1. 写出小明得到的错误方程
原方程的分母为4和3，最简公分母是12，小明去分母时仅给含分母的两项乘了12，右边的-2忘记乘12，因此他实际求解的错误方程为：
$3(3x-1)=4(x+a)-2$
展开整理得：$9x-3=4x+4a-2$
2. 代入x=1求参数a
小明求出的x=1是上述错误方程的解，将x=1代入错误方程：
$9×1 - 3 = 4×1 +4a -2$
化简得$6=2+4a$，解得$a=1$
3. 代入a的值求解原方程的正确解
把a=1代入原方程，得到正确的原方程：
$\dfrac{3x-1}{4}=\dfrac{x+1}{3}-2$
两边同时乘12，给所有项都乘12完成正确去分母：
$3(3x-1)=4(x+1)-24$
展开得$9x-3=4x+4-24$，移项合并同类项：
$9x-4x = 4-24+3$
即$5x=-17$，解得$x=-\dfrac{17}{5}$
【答案】
$x=-\dfrac{17}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程章节的经典易错题，重点考察去分母操作中不能漏乘不含分母的常数项的注意事项，通过“利用错误解反求参数，再解正确方程”的错中求解思路，能有效加深学生对等式性质、一元一次方程求解规则的理解，规避去分母的常见错误。
【难度系数】
0.6
这是典型的“错中求解”类一元一次方程题型，解题思路可以分成两步走：第一步，先根据小明错误的去分母操作，写出他实际求解的错误方程，已知他算出的x=1是这个错误方程的有效解，把x=1代入错误方程就能反求出未知参数a的取值；第二步，把求出的a代回原方程，按照解一元一次方程的正规步骤，正确给所有项乘最简公分母去分母，再移项合并同类项，就能得到原方程的正确解。解题时要注意去分母的核心规则：方程的每一项都要乘最简公分母，不含分母的常数项也不能漏乘。
【解析】
1. 写出小明得到的错误方程
原方程的分母为4和3，最简公分母是12，小明去分母时仅给含分母的两项乘了12，右边的-2忘记乘12，因此他实际求解的错误方程为：
$3(3x-1)=4(x+a)-2$
展开整理得：$9x-3=4x+4a-2$
2. 代入x=1求参数a
小明求出的x=1是上述错误方程的解，将x=1代入错误方程：
$9×1 - 3 = 4×1 +4a -2$
化简得$6=2+4a$，解得$a=1$
3. 代入a的值求解原方程的正确解
把a=1代入原方程，得到正确的原方程：
$\dfrac{3x-1}{4}=\dfrac{x+1}{3}-2$
两边同时乘12，给所有项都乘12完成正确去分母：
$3(3x-1)=4(x+1)-24$
展开得$9x-3=4x+4-24$，移项合并同类项：
$9x-4x = 4-24+3$
即$5x=-17$，解得$x=-\dfrac{17}{5}$
【答案】
$x=-\dfrac{17}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程章节的经典易错题，重点考察去分母操作中不能漏乘不含分母的常数项的注意事项，通过“利用错误解反求参数，再解正确方程”的错中求解思路，能有效加深学生对等式性质、一元一次方程求解规则的理解，规避去分母的常见错误。
【难度系数】
0.6
9. 方程$\dfrac{x}{2×4}+\dfrac{x}{4×6}+\dots+\dfrac{x}{2\ 024×2\ 026}=2\ 024$的解是
$x=8\ 104$
.答案
9. $x=8\ 104$
提示:$\dfrac{x}{2×4}+\dfrac{x}{4×6}+\dots+\dfrac{x}{2\ 024×2\ 026}= \dfrac{x}{4} ( \dfrac{1}{1×2} + \dfrac{1}{2×3} + \dots + \dfrac{1}{1\ 012×1\ 013}) =\dfrac{x}{4}(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{1\ 012}-\dfrac{1}{1\ 013})=\dfrac{x}{4}(1-\dfrac{1}{1\ 013})=\dfrac{253}{1\ 013}x$,所以$\dfrac{253}{1\ 013}x=2\ 024$,所以$x=8\ 104$.
提示:$\dfrac{x}{2×4}+\dfrac{x}{4×6}+\dots+\dfrac{x}{2\ 024×2\ 026}= \dfrac{x}{4} ( \dfrac{1}{1×2} + \dfrac{1}{2×3} + \dots + \dfrac{1}{1\ 012×1\ 013}) =\dfrac{x}{4}(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{1\ 012}-\dfrac{1}{1\ 013})=\dfrac{x}{4}(1-\dfrac{1}{1\ 013})=\dfrac{253}{1\ 013}x$,所以$\dfrac{253}{1\ 013}x=2\ 024$,所以$x=8\ 104$.
解析
【分析】
这道方程的左侧是大量分式相加的形式，直接通分计算量极大，因此优先选择裂项相消的简便思路求解：第一步先把所有项的公因子x提取出来，观察每一项的结构，发现每一项的分母都是两个连续偶数的乘积，可以拆分为可抵消的分式形式；第二步对拆分后的求和式进行运算，中间的正负项全部抵消后，仅剩余首尾两项，就能把复杂的求和式化简为普通的一元一次方程，最后直接求解x即可。
【解析】
解：
1. 提取公因子x，对左侧求和式做初步变形：
原方程左侧 = $x·(\dfrac{1}{2×4}+\dfrac{1}{4×6}+\dots+\dfrac{1}{2024×2026})$
2. 利用裂项公式拆分每一项：
观察可得每一项满足$\dfrac{1}{2n·2(n+1)}=\dfrac{1}{4}·\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$，此处n从1取到1012（对应$2×1012=2024$，$2×1013=2026$），代入得：
左侧 = $\dfrac{x}{4}·(\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dots+\dfrac{1}{1012×1013})$
3. 抵消中间项化简求和式：
括号内展开后中间项全部抵消：
$(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{1012}-\dfrac{1}{1013})=1-\dfrac{1}{1013}=\dfrac{1012}{1013}$
代入后左侧进一步化简为：$\dfrac{x}{4}·\dfrac{1012}{1013}=\dfrac{253x}{1013}$
4. 解化简后的一元一次方程：
$\dfrac{253x}{1013}=2024$
解得$x=2024×\dfrac{1013}{253}=8×1013=8104$
【答案】
$x=8\ 104$
【知识点】
裂项相消法，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程章节的经典拓展题型，核心是利用裂项相消规避直接通分的超大计算量，需要学生熟练掌握分式拆分的常见规律，易错点是裂项时漏乘系数导致化简错误。
【难度系数】
0.5
这道方程的左侧是大量分式相加的形式，直接通分计算量极大，因此优先选择裂项相消的简便思路求解：第一步先把所有项的公因子x提取出来，观察每一项的结构，发现每一项的分母都是两个连续偶数的乘积，可以拆分为可抵消的分式形式；第二步对拆分后的求和式进行运算，中间的正负项全部抵消后，仅剩余首尾两项，就能把复杂的求和式化简为普通的一元一次方程，最后直接求解x即可。
【解析】
解：
1. 提取公因子x，对左侧求和式做初步变形：
原方程左侧 = $x·(\dfrac{1}{2×4}+\dfrac{1}{4×6}+\dots+\dfrac{1}{2024×2026})$
2. 利用裂项公式拆分每一项：
观察可得每一项满足$\dfrac{1}{2n·2(n+1)}=\dfrac{1}{4}·\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$，此处n从1取到1012（对应$2×1012=2024$，$2×1013=2026$），代入得：
左侧 = $\dfrac{x}{4}·(\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dots+\dfrac{1}{1012×1013})$
3. 抵消中间项化简求和式：
括号内展开后中间项全部抵消：
$(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\dots+(\dfrac{1}{1012}-\dfrac{1}{1013})=1-\dfrac{1}{1013}=\dfrac{1012}{1013}$
代入后左侧进一步化简为：$\dfrac{x}{4}·\dfrac{1012}{1013}=\dfrac{253x}{1013}$
4. 解化简后的一元一次方程：
$\dfrac{253x}{1013}=2024$
解得$x=2024×\dfrac{1013}{253}=8×1013=8104$
【答案】
$x=8\ 104$
【知识点】
裂项相消法，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程章节的经典拓展题型，核心是利用裂项相消规避直接通分的超大计算量，需要学生熟练掌握分式拆分的常见规律，易错点是裂项时漏乘系数导致化简错误。
【难度系数】
0.5
10. 若关于 $x$ 的方程 $\dfrac{3x}{2}+\dfrac{ax+2}{3}=b$ 有无数个解，则 $ab$ 的值为
$-3$
.答案
10. $-3$
提示:对于方程$\dfrac{3x}{2}+\dfrac{ax+2}{3}=b$,将方程两边同时乘6,得$9x+2(ax+2)=6b$,整理,得$(9+2a)x=6b-4$.因为该方程有无数个解,所以$9+2a=0$且$6b-4=0$,所以$a=-\dfrac{9}{2},b=\dfrac{2}{3}$,所以$ab=(-\dfrac{9}{2})×\dfrac{2}{3}=-3$.
提示:对于方程$\dfrac{3x}{2}+\dfrac{ax+2}{3}=b$,将方程两边同时乘6,得$9x+2(ax+2)=6b$,整理,得$(9+2a)x=6b-4$.因为该方程有无数个解,所以$9+2a=0$且$6b-4=0$,所以$a=-\dfrac{9}{2},b=\dfrac{2}{3}$,所以$ab=(-\dfrac{9}{2})×\dfrac{2}{3}=-3$.
解析
【分析】
我们的解题思路是先回忆一元一次方程解的判定规则：对于整理后形如$mx=n$的方程，当$m=0$且$n=0$时，任意实数$x$都能满足等式，方程就有无数个解。所以我们第一步先把原带分母的方程去分母、合并同类项，整理成$mx=n$的标准形式，之后令$x$的系数$m$等于0，同时右侧常数项$n$也等于0，就能解出$a$和$b$的取值，最后代入计算$ab$的乘积即可。
【解析】
1. 去分母：给原方程两边同时乘以分母2和3的最小公倍数6，得：
$6×(\dfrac{3x}{2}+\dfrac{ax+2}{3})=6b$
展开计算后得到：
$9x + 2(ax+2) = 6b$
2. 展开括号、合并同类项：
$9x + 2ax +4 =6b$
将含$x$的项合并，把常数项移到等号右侧，整理为标准形式：
$(9+2a)x = 6b -4$
3. 利用无数解的条件列方程：
方程有无数个解，说明等式对任意$x$都成立，因此必须同时满足$x$的系数为0，且等号右侧常数项也为0，即：
$\begin{cases}9+2a=0 \\6b-4=0\end{cases}$
分别求解两个方程：
由$9+2a=0$，解得$a=-\dfrac{9}{2}$；
由$6b-4=0$，解得$b=\dfrac{2}{3}$。
4. 计算$ab$的值：
$ab=(-\dfrac{9}{2})×\dfrac{2}{3}=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元一次方程解的判定，解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程特殊解的基础拓展题型，核心是掌握$mx=n$型方程有无数解的充要条件是$x$的系数和等号右侧常数项同时为0，要避免出现仅令$x$的系数为0、忽略右侧常数项也必须为0的常见错误。
【难度系数】
0.6
我们的解题思路是先回忆一元一次方程解的判定规则：对于整理后形如$mx=n$的方程，当$m=0$且$n=0$时，任意实数$x$都能满足等式，方程就有无数个解。所以我们第一步先把原带分母的方程去分母、合并同类项，整理成$mx=n$的标准形式，之后令$x$的系数$m$等于0，同时右侧常数项$n$也等于0，就能解出$a$和$b$的取值，最后代入计算$ab$的乘积即可。
【解析】
1. 去分母：给原方程两边同时乘以分母2和3的最小公倍数6，得：
$6×(\dfrac{3x}{2}+\dfrac{ax+2}{3})=6b$
展开计算后得到：
$9x + 2(ax+2) = 6b$
2. 展开括号、合并同类项：
$9x + 2ax +4 =6b$
将含$x$的项合并，把常数项移到等号右侧，整理为标准形式：
$(9+2a)x = 6b -4$
3. 利用无数解的条件列方程：
方程有无数个解，说明等式对任意$x$都成立，因此必须同时满足$x$的系数为0，且等号右侧常数项也为0，即：
$\begin{cases}9+2a=0 \\6b-4=0\end{cases}$
分别求解两个方程：
由$9+2a=0$，解得$a=-\dfrac{9}{2}$；
由$6b-4=0$，解得$b=\dfrac{2}{3}$。
4. 计算$ab$的值：
$ab=(-\dfrac{9}{2})×\dfrac{2}{3}=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元一次方程解的判定，解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程特殊解的基础拓展题型，核心是掌握$mx=n$型方程有无数解的充要条件是$x$的系数和等号右侧常数项同时为0，要避免出现仅令$x$的系数为0、忽略右侧常数项也必须为0的常见错误。
【难度系数】
0.6
11. 解方程：
(1) $\dfrac{4-6x}{0.01}-1=\dfrac{0.02-2x}{0.02}-2$；
(2) $\dfrac{1}{2}\{\dfrac{1}{3}[\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5}x-1)-6]+4\}=1.$
(1) $\dfrac{4-6x}{0.01}-1=\dfrac{0.02-2x}{0.02}-2$；
(2) $\dfrac{1}{2}\{\dfrac{1}{3}[\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5}x-1)-6]+4\}=1.$
答案
11. 解:(1) 移项,得$\dfrac{4-6x}{0.01}-\dfrac{0.02-2x}{0.02}=-1$.
去分母,得$8-12x-0.02+2x=-0.02$.
移项、合并同类项,得$-10x=-8$.
系数化为1,得$x=0.8$.
(2) 去括号,得$\dfrac{1}{120}x-\dfrac{1}{24}-1+2=1$.
移项、合并同类项,得$\dfrac{1}{120}x=\dfrac{1}{24}$.
系数化为1,得$x=5$.
去分母,得$8-12x-0.02+2x=-0.02$.
移项、合并同类项,得$-10x=-8$.
系数化为1,得$x=0.8$.
(2) 去括号,得$\dfrac{1}{120}x-\dfrac{1}{24}-1+2=1$.
移项、合并同类项,得$\dfrac{1}{120}x=\dfrac{1}{24}$.
系数化为1,得$x=5$.
解析
【分析】
这是两道一元一次方程求解的题目，解题思路如下：
1. 第(1)题的分母为小数，直接硬做小数运算很容易出错，我们可以先移项，把常数项合并到等式右侧，再利用等式性质两边同乘两个小数分母的公倍数0.02，一次性消去所有分母，后续按移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤计算即可。
2. 第(2)题是多层嵌套括号的方程，如果从最内层开始逐层通分，会出现大分母的复杂运算，我们选择从外向内逐层去括号，每去掉一层括号就同步消去该层的分母，能大幅降低计算复杂度，减少运算失误。
【解析】
(1) 解方程$\dfrac{4-6x}{0.01}-1=\dfrac{0.02-2x}{0.02}-2$
① 移项，将含分式的项留在左侧，常数项移到右侧：
$\dfrac{4-6x}{0.01}-\dfrac{0.02-2x}{0.02}=-2+1$
化简得：$\dfrac{4-6x}{0.01}-\dfrac{0.02-2x}{0.02}=-1$
② 去分母，等式两边同时乘以0.02消去所有分母：
$2(4-6x)-(0.02-2x) = -0.02$
展开括号得：$8-12x-0.02+2x=-0.02$
③ 移项、合并同类项：
整理得：$-10x=-8$
④ 系数化为1，两边同时除以-10：
$x=0.8$
(2) 解方程$\dfrac{1}{2}\{\dfrac{1}{3}[\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5}x-1)-6]+4\}=1$
逐层展开去括号：
先从最外层开始运算，依次展开所有括号后整理得：
$\dfrac{1}{120}x-\dfrac{1}{24}-1+2=1$
移项、合并同类项得：
$\dfrac{1}{120}x=\dfrac{1}{24}$
系数化为1，两边同时乘以120得：
$x=5$
【答案】
(1) $x=0.8$；(2) $x=5$
【知识点】
一元一次方程求解，小数分母化简，多层括号去括号
【点评】
本题是一元一次方程的典型提升题型，既考察了学生对一元一次方程基础运算步骤的掌握，也引导学生主动优化运算路径，避免机械按步骤计算带来的不必要错误，对学生的运算细心程度有一定要求。
【难度系数】
0.6
这是两道一元一次方程求解的题目，解题思路如下：
1. 第(1)题的分母为小数，直接硬做小数运算很容易出错，我们可以先移项，把常数项合并到等式右侧，再利用等式性质两边同乘两个小数分母的公倍数0.02，一次性消去所有分母，后续按移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤计算即可。
2. 第(2)题是多层嵌套括号的方程，如果从最内层开始逐层通分，会出现大分母的复杂运算，我们选择从外向内逐层去括号，每去掉一层括号就同步消去该层的分母，能大幅降低计算复杂度，减少运算失误。
【解析】
(1) 解方程$\dfrac{4-6x}{0.01}-1=\dfrac{0.02-2x}{0.02}-2$
① 移项，将含分式的项留在左侧，常数项移到右侧：
$\dfrac{4-6x}{0.01}-\dfrac{0.02-2x}{0.02}=-2+1$
化简得：$\dfrac{4-6x}{0.01}-\dfrac{0.02-2x}{0.02}=-1$
② 去分母，等式两边同时乘以0.02消去所有分母：
$2(4-6x)-(0.02-2x) = -0.02$
展开括号得：$8-12x-0.02+2x=-0.02$
③ 移项、合并同类项：
整理得：$-10x=-8$
④ 系数化为1，两边同时除以-10：
$x=0.8$
(2) 解方程$\dfrac{1}{2}\{\dfrac{1}{3}[\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5}x-1)-6]+4\}=1$
逐层展开去括号：
先从最外层开始运算，依次展开所有括号后整理得：
$\dfrac{1}{120}x-\dfrac{1}{24}-1+2=1$
移项、合并同类项得：
$\dfrac{1}{120}x=\dfrac{1}{24}$
系数化为1，两边同时乘以120得：
$x=5$
【答案】
(1) $x=0.8$；(2) $x=5$
【知识点】
一元一次方程求解，小数分母化简，多层括号去括号
【点评】
本题是一元一次方程的典型提升题型，既考察了学生对一元一次方程基础运算步骤的掌握，也引导学生主动优化运算路径，避免机械按步骤计算带来的不必要错误，对学生的运算细心程度有一定要求。
【难度系数】
0.6
