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12. (1) 如图 1,正方形 $ABCD$ 的边长为 5,点$P,Q$ 在正方形的边上. 点 $P$ 从点 $A$ 开始以每秒 3 个单位长度的速度沿 $A\to$$B\to C\to D\to A$ 循环运动, 同时点 $Q$ 从点 $C$ 开始以每秒 1 个单位长度的速度沿 $C\to D\to A\to B\to C$ 循环运动. 设点$P$ 的运动时间为 $x$ s.
①当 $x$ 为何值时,点 $P$ 和点 $Q$ 第一次重合?
②当 $x$ 为何值时,点 $P$ 和点 $Q$ 第二次重合?
(2) 图 2 是长为 6,宽为 4 的长方形 $ABCD$,$CE=2$,点 $M$ 从点 $A$ 开始以每秒 2 个单位长度的速度沿 $A\to B\to C\to E$ 运动,到达点 $E$ 停止. 设点 $M$ 的运动时间为 $t$ s,当三角形 $AME$ 的面积等于9 时,请求出 $t$ 的值.
①当 $x$ 为何值时,点 $P$ 和点 $Q$ 第一次重合?
②当 $x$ 为何值时,点 $P$ 和点 $Q$ 第二次重合?
(2) 图 2 是长为 6,宽为 4 的长方形 $ABCD$,$CE=2$,点 $M$ 从点 $A$ 开始以每秒 2 个单位长度的速度沿 $A\to B\to C\to E$ 运动,到达点 $E$ 停止. 设点 $M$ 的运动时间为 $t$ s,当三角形 $AME$ 的面积等于9 时,请求出 $t$ 的值.
答案
12. 解:(1) ①根据题意,得 $3x-x=5×2$,解得 $x=5$. 所以当 $x$ 为 5 时,点 $P$ 和点 $Q$ 第一次重合.
②根据题意,得 $3x-x=5×2+4×5$,解得 $x=15$. 所以当 $x$ 为 15 时,点 $P$ 和点 $Q$ 第二次重合.
(2) 根据点 $M$ 的位置不同,分情况讨论.
①当点 $M$ 在 $AB$ 上,即 $0≤ t≤ 2$ 时,根据题意,得 $\dfrac{1}{2}×2t×6=9$,解得 $t=\dfrac{3}{2}$;
②当点 $M$ 在 $BC$ 上,即 $2＜ t≤ 5$ 时,根据题意,得 $S_{\mathrm{三角形}AME} = S_{\mathrm{梯形}ABCE} - S_{\mathrm{三角形}ABM} - S_{\mathrm{三角形}ECM}$,即$\dfrac{1}{2}×(2+4)×6-\dfrac{1}{2}×4×(2t-4)-\dfrac{1}{2}×2×(4+6-2t)=9$,解得 $t=\dfrac{7}{2}$;
③当点 $M$ 在 $CE$ 上,即 $5＜ t≤ 6$ 时,根据题意,得 $\dfrac{1}{2}×(4+6+2-2t)×6=9$,解得 $t=\dfrac{9}{2}$(不符合题意,舍去).
综上所述,当三角形 $AME$ 的面积等于9 时,$t$ 的值为$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{7}{2}$.
②根据题意,得 $3x-x=5×2+4×5$,解得 $x=15$. 所以当 $x$ 为 15 时,点 $P$ 和点 $Q$ 第二次重合.
(2) 根据点 $M$ 的位置不同,分情况讨论.
①当点 $M$ 在 $AB$ 上,即 $0≤ t≤ 2$ 时,根据题意,得 $\dfrac{1}{2}×2t×6=9$,解得 $t=\dfrac{3}{2}$;
②当点 $M$ 在 $BC$ 上,即 $2＜ t≤ 5$ 时,根据题意,得 $S_{\mathrm{三角形}AME} = S_{\mathrm{梯形}ABCE} - S_{\mathrm{三角形}ABM} - S_{\mathrm{三角形}ECM}$,即$\dfrac{1}{2}×(2+4)×6-\dfrac{1}{2}×4×(2t-4)-\dfrac{1}{2}×2×(4+6-2t)=9$,解得 $t=\dfrac{7}{2}$;
③当点 $M$ 在 $CE$ 上,即 $5＜ t≤ 6$ 时,根据题意,得 $\dfrac{1}{2}×(4+6+2-2t)×6=9$,解得 $t=\dfrac{9}{2}$(不符合题意,舍去).
综上所述,当三角形 $AME$ 的面积等于9 时,$t$ 的值为$\dfrac{3}{2}$或$\dfrac{7}{2}$.
解析
【分析】
这道题是平面图形上的动点相遇与面积分类讨论综合题，解题思路如下：
1. 解决(1)的相遇问题：首先明确两个动点的初始位置、运动方向和速度，第一次相遇时，先计算初始时刻两点沿运动方向的路程差：点P从A出发，点Q从C出发，正方形边长为5，初始时P要追上Q，需要比Q多走AB+BC的总长度也就是10，利用追及问题公式：路程差=速度差×时间，列方程求解即可得到第一次相遇的x值。第二次相遇时，第一次相遇后两点继续运动，要再次相遇，P需要比Q多走一整个正方形的周长20，总路程差就是初始的10加上周长20，同样用追及公式列方程就能得到第二次相遇的x值。
2. 解决(2)的面积问题：点M的运动路径是A→B→C→E，不同位置对应的三角形AME的面积计算方式完全不同，因此要按M所在的边分三类讨论：①M在AB上，②M在BC上，③M在CE上，每一类先确定对应的t的取值范围，再用对应图形的面积公式（或者割补法）列出面积等于9的方程，求解后检验解是否在当前分类的t范围内，舍去不符合的解，最终得到符合条件的t值。
【解析】
(1) ① 已知正方形ABCD边长为5，初始时点P在A，点Q在C，两点初始路程差为$AB+BC=5+5=10$。
点P速度为3单位/s，点Q速度为1单位/s，速度差为$3-1=2$单位/s。
第一次相遇时，P比Q多走的路程等于初始路程差，列方程：
$3x - x = 5×2$
化简得$2x=10$，解得$x=5$。
② 第一次相遇后，两点继续沿各自方向运动，第二次相遇时点P需要比点Q再多走正方形的完整周长，正方形周长为$4×5=20$，总路程差为$10+20=30$，列方程：
$3x - x = 5×2 + 4×5$
化简得$2x=30$，解得$x=15$。
(2) 长方形ABCD长为6，宽为4，$CE=2$，点M速度为2单位/s，总路径长度$AB+BC+CE=4+6+2=12$，运动总时长为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，分三类讨论：
① 当点M在AB上时，此时$0≤ t≤ 4÷2=2$，$AM$的长度为$2t$，以AM为底，AD的长度6为高，三角形AME的面积为：
$S_{△ AME} = \frac{1}{2} × AM × AD = \frac{1}{2} × 2t ×6$
令面积等于9，得$\frac{1}{2}×2t×6=9$，解得$t=\frac{3}{2}$，符合$0≤ t≤2$的范围。
② 当点M在BC上时，此时$2＜ t≤(4+6)÷2=5$，用割补法计算面积：梯形ABCE的面积减去$△ ABM$的面积再减去$△ ECM$的面积就是$△ AME$的面积。
梯形ABCE的上底$CE=2$，下底$AB=4$，高$BC=6$，面积为$\frac{1}{2}×(2+4)×6=18$；
$BM$的长度为$2t - AB = 2t -4$，$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× AB × BM=\frac{1}{2}×4×(2t-4)$；
$CM$的长度为$BC - BM =6 - (2t-4)=10-2t$，$S_{△ ECM}=\frac{1}{2}× CE × CM=\frac{1}{2}×2×(10-2t)$；
因此列方程：
$18 - \frac{1}{2}×4×(2t-4) - \frac{1}{2}×2×(10-2t) =9$
化简得$16-2t=9$，解得$t=\frac{7}{2}$，符合$2＜ t≤5$的范围。
③ 当点M在CE上时，此时$5＜ t≤6$，$ME$的长度为总路径长度减去M已经走的路程，即$ME=12 - 2t$，以ME为底，CD的长度6为高，三角形AME的面积为：
$S_{△ AME}=\frac{1}{2} × ME ×6 = \frac{1}{2}×(12-2t)×6$
令面积等于9，解得$t=\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}=4.5$，不在$5＜ t≤6$的范围内，因此舍去该解。
综上符合条件的t值为$\frac{3}{2}$和$\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) ①$x=5$；②$x=15$；(2)$t$的值为$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
【知识点】
动点追及问题，分类讨论求面积，矩形性质
【点评】
本题属于动点综合题，第一问的相遇问题要注意初始位置的路程差，不要直接默认两点同起点出发；第二问的面积计算需要按动点所在的边分类，容易漏分类或者忽略解的取值范围导致出错，解题时要先确定每一类对应的时间区间，再选择合适的面积计算方法，最后检验解的合理性。
【难度系数】
0.5
这道题是平面图形上的动点相遇与面积分类讨论综合题，解题思路如下：
1. 解决(1)的相遇问题：首先明确两个动点的初始位置、运动方向和速度，第一次相遇时，先计算初始时刻两点沿运动方向的路程差：点P从A出发，点Q从C出发，正方形边长为5，初始时P要追上Q，需要比Q多走AB+BC的总长度也就是10，利用追及问题公式：路程差=速度差×时间，列方程求解即可得到第一次相遇的x值。第二次相遇时，第一次相遇后两点继续运动，要再次相遇，P需要比Q多走一整个正方形的周长20，总路程差就是初始的10加上周长20，同样用追及公式列方程就能得到第二次相遇的x值。
2. 解决(2)的面积问题：点M的运动路径是A→B→C→E，不同位置对应的三角形AME的面积计算方式完全不同，因此要按M所在的边分三类讨论：①M在AB上，②M在BC上，③M在CE上，每一类先确定对应的t的取值范围，再用对应图形的面积公式（或者割补法）列出面积等于9的方程，求解后检验解是否在当前分类的t范围内，舍去不符合的解，最终得到符合条件的t值。
【解析】
(1) ① 已知正方形ABCD边长为5，初始时点P在A，点Q在C，两点初始路程差为$AB+BC=5+5=10$。
点P速度为3单位/s，点Q速度为1单位/s，速度差为$3-1=2$单位/s。
第一次相遇时，P比Q多走的路程等于初始路程差，列方程：
$3x - x = 5×2$
化简得$2x=10$，解得$x=5$。
② 第一次相遇后，两点继续沿各自方向运动，第二次相遇时点P需要比点Q再多走正方形的完整周长，正方形周长为$4×5=20$，总路程差为$10+20=30$，列方程：
$3x - x = 5×2 + 4×5$
化简得$2x=30$，解得$x=15$。
(2) 长方形ABCD长为6，宽为4，$CE=2$，点M速度为2单位/s，总路径长度$AB+BC+CE=4+6+2=12$，运动总时长为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，分三类讨论：
① 当点M在AB上时，此时$0≤ t≤ 4÷2=2$，$AM$的长度为$2t$，以AM为底，AD的长度6为高，三角形AME的面积为：
$S_{△ AME} = \frac{1}{2} × AM × AD = \frac{1}{2} × 2t ×6$
令面积等于9，得$\frac{1}{2}×2t×6=9$，解得$t=\frac{3}{2}$，符合$0≤ t≤2$的范围。
② 当点M在BC上时，此时$2＜ t≤(4+6)÷2=5$，用割补法计算面积：梯形ABCE的面积减去$△ ABM$的面积再减去$△ ECM$的面积就是$△ AME$的面积。
梯形ABCE的上底$CE=2$，下底$AB=4$，高$BC=6$，面积为$\frac{1}{2}×(2+4)×6=18$；
$BM$的长度为$2t - AB = 2t -4$，$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× AB × BM=\frac{1}{2}×4×(2t-4)$；
$CM$的长度为$BC - BM =6 - (2t-4)=10-2t$，$S_{△ ECM}=\frac{1}{2}× CE × CM=\frac{1}{2}×2×(10-2t)$；
因此列方程：
$18 - \frac{1}{2}×4×(2t-4) - \frac{1}{2}×2×(10-2t) =9$
化简得$16-2t=9$，解得$t=\frac{7}{2}$，符合$2＜ t≤5$的范围。
③ 当点M在CE上时，此时$5＜ t≤6$，$ME$的长度为总路径长度减去M已经走的路程，即$ME=12 - 2t$，以ME为底，CD的长度6为高，三角形AME的面积为：
$S_{△ AME}=\frac{1}{2} × ME ×6 = \frac{1}{2}×(12-2t)×6$
令面积等于9，解得$t=\frac{9}{2}$，$\frac{9}{2}=4.5$，不在$5＜ t≤6$的范围内，因此舍去该解。
综上符合条件的t值为$\frac{3}{2}$和$\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) ①$x=5$；②$x=15$；(2)$t$的值为$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$
【知识点】
动点追及问题，分类讨论求面积，矩形性质
【点评】
本题属于动点综合题，第一问的相遇问题要注意初始位置的路程差，不要直接默认两点同起点出发；第二问的面积计算需要按动点所在的边分类，容易漏分类或者忽略解的取值范围导致出错，解题时要先确定每一类对应的时间区间，再选择合适的面积计算方法，最后检验解的合理性。
【难度系数】
0.5
13. 若关于$x$的方程$||2-x|-8|=k$有三个解,则该方程三个解的和为
6
.答案
13. 6
提示:根据题意,得 $k≥ 0$. 因为 $||2-x|-8|=k$,所以$|2-x|-8=k$ 或 $|2-x|-8=-k$,所以$|2-x|=8+k$ 或 $|2-x|=8-k$,所以 $2-x=8+k$ 或 $2-x=-8-k$ 或 $2-x=8-k$ 或 $2-x=-8+k$,所以 $x=-6-k$ 或 $x=10+k$ 或 $x=k-6$ 或 $x=10-k$.
因为方程有 3 个解,即有两个相等,显然 $10+k=k-6$, $10-k=-6-k$ 不成立. 若 $10+k=10-k$, 则 $k=0$, 此时方程有两个解, 不符合题意. 若 $10+k=-6-k$, 则 $k=-8$, 因为 $k≥0$, 所以不符合题意. 若 $10-k=k-6$, 则 $k=8$, 此时方程有三个解, 分别为 $x=-6-8=-14$,$x=10+8=18$,$x=10-8=2$, 符合题意. 若 $-6-k=k-6$, 则 $k=0$, 此时方程有 2 个解, 不符合题意. 所以该方程三个解的和为 $-14+18+2=6$.
提示:根据题意,得 $k≥ 0$. 因为 $||2-x|-8|=k$,所以$|2-x|-8=k$ 或 $|2-x|-8=-k$,所以$|2-x|=8+k$ 或 $|2-x|=8-k$,所以 $2-x=8+k$ 或 $2-x=-8-k$ 或 $2-x=8-k$ 或 $2-x=-8+k$,所以 $x=-6-k$ 或 $x=10+k$ 或 $x=k-6$ 或 $x=10-k$.
因为方程有 3 个解,即有两个相等,显然 $10+k=k-6$, $10-k=-6-k$ 不成立. 若 $10+k=10-k$, 则 $k=0$, 此时方程有两个解, 不符合题意. 若 $10+k=-6-k$, 则 $k=-8$, 因为 $k≥0$, 所以不符合题意. 若 $10-k=k-6$, 则 $k=8$, 此时方程有三个解, 分别为 $x=-6-8=-14$,$x=10+8=18$,$x=10-8=2$, 符合题意. 若 $-6-k=k-6$, 则 $k=0$, 此时方程有 2 个解, 不符合题意. 所以该方程三个解的和为 $-14+18+2=6$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先根据绝对值的非负性，先确定参数k的取值范围是k≥0，排除k＜0的无解情况；2. 对双层绝对值逐层拆解，将原方程转化为两个普通的一次绝对值方程，写出所有可能的4个候选解；3. 题目要求方程仅有3个不同的解，说明4个候选解中恰好有两个相等，剩余两个互不相等，枚举所有可能的两解相等的情况，结合k≥0的条件筛选出符合要求的k值；4. 代入k值得到三个不同的解，求和即可得到结果。
【解析】
解：1. 由绝对值的非负性可知，原方程右边的k必须满足k≥0，否则方程无实根。
2. 对原方程逐层去绝对值：
原方程$||2-x|-8|=k$等价于：
$|2-x|-8=k$ 或 $|2-x|-8=-k$
整理得：$|2-x|=8+k$ 或 $|2-x|=8-k$
3. 分别求解两个绝对值方程：
因为k≥0，所以8+k＞0恒成立，因此$|2-x|=8+k$必有两个不同的解：
$2-x=8+k \implies x=-6-k$
$2-x=-(8+k) \implies x=10+k$
对于方程$|2-x|=8-k$：
若8-k＞0即k＜8时，方程有两个不同解：$x=k-6$，$x=10-k$
若8-k=0即k=8时，方程仅有1个解：$x=2$
若8-k＜0即k＞8时，方程无实根
4. 结合方程总共有3个不同的解的条件筛选：
当k＞8时，仅$|2-x|=8+k$有2个解，总解数为2，不符合要求；
当k=8时，$|2-x|=16$有2个解，$|2-x|=0$有1个解，总解数为3，符合要求，此时三个解为$x=-6-8=-14$，$x=10+8=18$，$x=2$；
当0≤k＜8时，两个绝对值方程共4个候选解，要得到3个不同解，必须有两个候选解相等，枚举所有相等情况：
① 若$-6-k=10+k$，得k=-8，不符合k≥0，舍去；
② 若$-6-k=k-6$，得k=0，此时不同解仅为-6和10，共2个解，不符合；
③ 若$-6-k=10-k$，化简得-6=10，显然不成立；
④ 若$10+k=k-6$，化简得10=-6，显然不成立；
⑤ 若$10+k=10-k$，得k=0，同样仅2个不同解，不符合；
⑥ 若$k-6=10-k$，得k=8，超出0≤k＜8的范围，和之前k=8的情况重合。
5. 计算三个解的和：$-14+18+2=6$
【答案】
6
【知识点】
绝对值非负性，多层绝对值方程，方程解的判定
【点评】
本题是多层绝对值方程的经典题型，核心考察对绝对值方程解的个数的理解，通过逐层去绝对值将复杂方程转化为基础的一次绝对值方程，利用“三个解说明存在重根”的逻辑分类讨论筛选参数，解题时容易忽略k≥0的隐含条件，也可以通过绘制分段函数$y=||2-x|-8|$的图像，观察图像与水平线y=k的交点个数，快速得到k=8的结论，降低计算复杂度。
【难度系数】
0.4
解题思路如下：1. 首先根据绝对值的非负性，先确定参数k的取值范围是k≥0，排除k＜0的无解情况；2. 对双层绝对值逐层拆解，将原方程转化为两个普通的一次绝对值方程，写出所有可能的4个候选解；3. 题目要求方程仅有3个不同的解，说明4个候选解中恰好有两个相等，剩余两个互不相等，枚举所有可能的两解相等的情况，结合k≥0的条件筛选出符合要求的k值；4. 代入k值得到三个不同的解，求和即可得到结果。
【解析】
解：1. 由绝对值的非负性可知，原方程右边的k必须满足k≥0，否则方程无实根。
2. 对原方程逐层去绝对值：
原方程$||2-x|-8|=k$等价于：
$|2-x|-8=k$ 或 $|2-x|-8=-k$
整理得：$|2-x|=8+k$ 或 $|2-x|=8-k$
3. 分别求解两个绝对值方程：
因为k≥0，所以8+k＞0恒成立，因此$|2-x|=8+k$必有两个不同的解：
$2-x=8+k \implies x=-6-k$
$2-x=-(8+k) \implies x=10+k$
对于方程$|2-x|=8-k$：
若8-k＞0即k＜8时，方程有两个不同解：$x=k-6$，$x=10-k$
若8-k=0即k=8时，方程仅有1个解：$x=2$
若8-k＜0即k＞8时，方程无实根
4. 结合方程总共有3个不同的解的条件筛选：
当k＞8时，仅$|2-x|=8+k$有2个解，总解数为2，不符合要求；
当k=8时，$|2-x|=16$有2个解，$|2-x|=0$有1个解，总解数为3，符合要求，此时三个解为$x=-6-8=-14$，$x=10+8=18$，$x=2$；
当0≤k＜8时，两个绝对值方程共4个候选解，要得到3个不同解，必须有两个候选解相等，枚举所有相等情况：
① 若$-6-k=10+k$，得k=-8，不符合k≥0，舍去；
② 若$-6-k=k-6$，得k=0，此时不同解仅为-6和10，共2个解，不符合；
③ 若$-6-k=10-k$，化简得-6=10，显然不成立；
④ 若$10+k=k-6$，化简得10=-6，显然不成立；
⑤ 若$10+k=10-k$，得k=0，同样仅2个不同解，不符合；
⑥ 若$k-6=10-k$，得k=8，超出0≤k＜8的范围，和之前k=8的情况重合。
5. 计算三个解的和：$-14+18+2=6$
【答案】
6
【知识点】
绝对值非负性，多层绝对值方程，方程解的判定
【点评】
本题是多层绝对值方程的经典题型，核心考察对绝对值方程解的个数的理解，通过逐层去绝对值将复杂方程转化为基础的一次绝对值方程，利用“三个解说明存在重根”的逻辑分类讨论筛选参数，解题时容易忽略k≥0的隐含条件，也可以通过绘制分段函数$y=||2-x|-8|$的图像，观察图像与水平线y=k的交点个数，快速得到k=8的结论，降低计算复杂度。
【难度系数】
0.4
14. 小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若$x_0$是关于$x$的一元一次方程$ax + b = 0$的解，$y_0$是关于$y$的方程的所有解中的一个解，且$x_0,y_0$满足$x_0 + y_0 = 100$，则称关于$y$的方程为关于$x$的一元一次方程的“友好方程”。例如：一元一次方程$3x - 2x - 99 = 0$的解是$x = 99$，方程$y^2 + 1 = 2$的所有解是$y = 1$或$y = -1$，当$y_0 = 1$时，$x_0 + y_0 = 100$，所以方程$y^2 + 1 = 2$为一元一次方程$3x - 2x - 99 = 0$的“友好方程”。
(1) 已知关于$y$的方程：①$2y - 2 = 4$，②$|y| = 2$，哪个方程是一元一次方程$3x - 2x - 102 = 0$的“友好方程”？请直接写出正确的序号：
(2) 若关于$y$的方程$|2y - 2| + 3 = 5$是关于$x$的一元一次方程$x - \dfrac{2x - 2a}{3} = a + 1$的“友好方程”，请求出$a$的值。
(1) 已知关于$y$的方程：①$2y - 2 = 4$，②$|y| = 2$，哪个方程是一元一次方程$3x - 2x - 102 = 0$的“友好方程”？请直接写出正确的序号：
②
。(2) 若关于$y$的方程$|2y - 2| + 3 = 5$是关于$x$的一元一次方程$x - \dfrac{2x - 2a}{3} = a + 1$的“友好方程”，请求出$a$的值。
答案
14. (1) ②
(2) 解:因为$|2y-2|+3=5$,所以$|2y-2|=2$,所以$2y-2=2$ 或 $2y-2=-2$,解得 $y=2$ 或 $y=0$. 因为方程 $x-\dfrac{2x-2a}{3}=a+1$,所以 $3x-2x+2a=3a+3$,所以 $x=a+3$, 方程 $|2y-2|+3=5$ 的解为 $y=2$ 或 $y=0$. 根据题意,得 $2+a+3=100$ 或 $0+a+3=100$,解得 $a=95$ 或 $a=97$. 所以 $a$ 的值为 95 或 97.
(2) 解:因为$|2y-2|+3=5$,所以$|2y-2|=2$,所以$2y-2=2$ 或 $2y-2=-2$,解得 $y=2$ 或 $y=0$. 因为方程 $x-\dfrac{2x-2a}{3}=a+1$,所以 $3x-2x+2a=3a+3$,所以 $x=a+3$, 方程 $|2y-2|+3=5$ 的解为 $y=2$ 或 $y=0$. 根据题意,得 $2+a+3=100$ 或 $0+a+3=100$,解得 $a=95$ 或 $a=97$. 所以 $a$ 的值为 95 或 97.
解析
【分析】
首先要明确题目给出的“友好方程”的判定逻辑：第一步先求出给定的关于x的一元一次方程的解$x_0$，第二步求出关于y的方程的所有解，第三步验证是否存在至少一个y的解$y_0$满足$x_0+y_0=100$，满足条件的就是“友好方程”。
对于第(1)问：先解一元一次方程$3x - 2x - 102 = 0$得到$x_0$的值，计算出符合$x_0+y_0=100$要求的$y_0$，再分别解两个给出的y的方程，判断哪个方程的解中包含符合要求的$y_0$即可。
对于第(2)问：先解带绝对值的y的方程，得到y的全部解；再解关于x的一元一次方程，把x的解用含a的代数式表示；最后根据“友好方程”的定义，分y的两个不同解的情况代入$x_0+y_0=100$，列方程求解a，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 先解一元一次方程$3x - 2x - 102 = 0$：
化简得$x=102$，即$x_0=102$，根据$x_0+y_0=100$，可得符合要求的$y_0=100-102=-2$。
分别解两个y的方程：
①$2y-2=4$，解得$y=3$，没有解为-2，不符合要求；
②$|y|=2$，解得$y=2$或$y=-2$，存在$y_0=-2$满足条件，因此②是友好方程。
(2) 第一步解关于y的方程$|2y - 2| + 3 = 5$：
移项得$|2y-2|=2$，去绝对值得$2y-2=2$或$2y-2=-2$，解得$y=2$或$y=0$。
第二步解关于x的一元一次方程$x - \dfrac{2x - 2a}{3} = a + 1$：
两边同乘3去分母得$3x-(2x-2a)=3a+3$，去括号化简得$x=a+3$，即$x_0=a+3$。
根据“友好方程”定义$x_0+y_0=100$，分两种情况代入：
当$y_0=2$时：$2+a+3=100$，解得$a=95$；
当$y_0=0$时：$0+a+3=100$，解得$a=97$。
因此a的值为95或97。
【答案】
(1) ②；(2) a的值为95或97
【知识点】
一元一次方程求解，绝对值方程，新定义运算
【点评】
本题属于新定义创新题型，核心是准确理解“友好方程”的判定规则，解题时注意绝对值方程通常存在两个解，需要对所有解逐一验证代入，避免漏解，侧重考查对陌生规则的理解能力和分类讨论的数学意识。
【难度系数】
0.6
首先要明确题目给出的“友好方程”的判定逻辑：第一步先求出给定的关于x的一元一次方程的解$x_0$，第二步求出关于y的方程的所有解，第三步验证是否存在至少一个y的解$y_0$满足$x_0+y_0=100$，满足条件的就是“友好方程”。
对于第(1)问：先解一元一次方程$3x - 2x - 102 = 0$得到$x_0$的值，计算出符合$x_0+y_0=100$要求的$y_0$，再分别解两个给出的y的方程，判断哪个方程的解中包含符合要求的$y_0$即可。
对于第(2)问：先解带绝对值的y的方程，得到y的全部解；再解关于x的一元一次方程，把x的解用含a的代数式表示；最后根据“友好方程”的定义，分y的两个不同解的情况代入$x_0+y_0=100$，列方程求解a，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 先解一元一次方程$3x - 2x - 102 = 0$：
化简得$x=102$，即$x_0=102$，根据$x_0+y_0=100$，可得符合要求的$y_0=100-102=-2$。
分别解两个y的方程：
①$2y-2=4$，解得$y=3$，没有解为-2，不符合要求；
②$|y|=2$，解得$y=2$或$y=-2$，存在$y_0=-2$满足条件，因此②是友好方程。
(2) 第一步解关于y的方程$|2y - 2| + 3 = 5$：
移项得$|2y-2|=2$，去绝对值得$2y-2=2$或$2y-2=-2$，解得$y=2$或$y=0$。
第二步解关于x的一元一次方程$x - \dfrac{2x - 2a}{3} = a + 1$：
两边同乘3去分母得$3x-(2x-2a)=3a+3$，去括号化简得$x=a+3$，即$x_0=a+3$。
根据“友好方程”定义$x_0+y_0=100$，分两种情况代入：
当$y_0=2$时：$2+a+3=100$，解得$a=95$；
当$y_0=0$时：$0+a+3=100$，解得$a=97$。
因此a的值为95或97。
【答案】
(1) ②；(2) a的值为95或97
【知识点】
一元一次方程求解，绝对值方程，新定义运算
【点评】
本题属于新定义创新题型，核心是准确理解“友好方程”的判定规则，解题时注意绝对值方程通常存在两个解，需要对所有解逐一验证代入，避免漏解，侧重考查对陌生规则的理解能力和分类讨论的数学意识。
【难度系数】
0.6
