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13. 我们把不超过有理数 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分, 记作 $[x]$, 又把 $x-[x]$ 称为$x$ 的小数部分, 记作 $\{x\}$, 则有 $x=[x]+$$\{x\}$. 例如: $[1.3]=1,\{1.3\}=0.3,1.3=$$[1.3]+\{1.3\}$. 下列说法中, 正确的有
（
①$[2.7]=2$;
②$[-3.4]=-4$;
③若 $x$ 是大于 $-2$ 且小于 $-1$ 的有理数,且 $\{x\}=0.3$, 则 $x=-1.7$;
④方程 $3[x]+1=\{x\}+3x$ 的解为 $x=$$0.25$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
（
B
）①$[2.7]=2$;
②$[-3.4]=-4$;
③若 $x$ 是大于 $-2$ 且小于 $-1$ 的有理数,且 $\{x\}=0.3$, 则 $x=-1.7$;
④方程 $3[x]+1=\{x\}+3x$ 的解为 $x=$$0.25$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
13. B 提示:$[2.7]=2$,故①正确;$[-3.4]=-4$,故②正确;若$-2＜x＜-1$,且$\{x\}=0.3$,则$[x]=-2$,$x=[x]+\{x\}=-1.7$,故③正确;因为$3[x]+1=\{x\}+3x$,所以$3[x]+1=\{x\}+3[x]+3\{x\}$,所以$\{x\}=0.25$,而$x=0.25$并不一定成立,故④错误.
解析
【分析】
这是一道新定义题型，解题核心是牢牢紧扣题目给出的两个规则：[x]是不超过有理数x的最大整数，{x}=x-[x]是x的小数部分，恒满足x=[x]+{x}，且小数部分天然满足0≤{x}＜1。我们按逐个验证的思路解题：第一步直接根据定义判断①②的整数部分取值是否正确；第二步结合x的取值范围确定[x]的取值，代入公式验证③的结论；第三步将x拆分为[x]+{x}代入方程化简，推导小数部分的取值，判断④的解是否唯一为0.25，最后统计正确说法的数量选出答案。
【解析】
我们逐一验证4个结论：
1. 验证①：不超过2.7的最大整数是2，因此[2.7]=2，①说法正确；
2. 验证②：不超过-3.4的最大整数是-4（-3大于-3.4，不符合“不超过”的要求），因此[-3.4]=-4，②说法正确；
3. 验证③：若-2＜x＜-1，那么不超过x的最大整数[x]=-2，已知{x}=0.3，代入x=[x]+{x}得x=-2+0.3=-1.7，完全符合-2＜x＜-1的范围，③说法正确；
4. 验证④：将x=[x]+{x}代入方程3[x]+1={x}+3x，展开得：
$3[x]+1 = \{x\} + 3([x]+\{x\})$
消去两侧的3[x]后整理得$1=4\{x\}$，即$\{x\}=0.25$，此时$x=[x]+0.25$，[x]可以取任意整数，并非只有x=0.25一个解（例如x=1.25也满足原方程），因此④说法错误。
综上，正确的说法共有3个。
【答案】
B
【知识点】
取整函数性质，新定义运算
【点评】
本题的易错点有两个：一是容易用正数取整的惯性思维错判负数的整数部分，误以为[-3.4]=-3；二是化简方程后忽略[x]可以取任意整数，误认为方程的解唯一为0.25，解题时要严格贴合题目给出的定义推导，不要凭直觉判断。
【难度系数】
0.65
这是一道新定义题型，解题核心是牢牢紧扣题目给出的两个规则：[x]是不超过有理数x的最大整数，{x}=x-[x]是x的小数部分，恒满足x=[x]+{x}，且小数部分天然满足0≤{x}＜1。我们按逐个验证的思路解题：第一步直接根据定义判断①②的整数部分取值是否正确；第二步结合x的取值范围确定[x]的取值，代入公式验证③的结论；第三步将x拆分为[x]+{x}代入方程化简，推导小数部分的取值，判断④的解是否唯一为0.25，最后统计正确说法的数量选出答案。
【解析】
我们逐一验证4个结论：
1. 验证①：不超过2.7的最大整数是2，因此[2.7]=2，①说法正确；
2. 验证②：不超过-3.4的最大整数是-4（-3大于-3.4，不符合“不超过”的要求），因此[-3.4]=-4，②说法正确；
3. 验证③：若-2＜x＜-1，那么不超过x的最大整数[x]=-2，已知{x}=0.3，代入x=[x]+{x}得x=-2+0.3=-1.7，完全符合-2＜x＜-1的范围，③说法正确；
4. 验证④：将x=[x]+{x}代入方程3[x]+1={x}+3x，展开得：
$3[x]+1 = \{x\} + 3([x]+\{x\})$
消去两侧的3[x]后整理得$1=4\{x\}$，即$\{x\}=0.25$，此时$x=[x]+0.25$，[x]可以取任意整数，并非只有x=0.25一个解（例如x=1.25也满足原方程），因此④说法错误。
综上，正确的说法共有3个。
【答案】
B
【知识点】
取整函数性质，新定义运算
【点评】
本题的易错点有两个：一是容易用正数取整的惯性思维错判负数的整数部分，误以为[-3.4]=-3；二是化简方程后忽略[x]可以取任意整数，误认为方程的解唯一为0.25，解题时要严格贴合题目给出的定义推导，不要凭直觉判断。
【难度系数】
0.65
14. 定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,那么我们就称这两个方程互为“阳光方程”. 例如:$2x=2$的解为$x=1$,$x+1=1$的解为$x=0$,所以这两个方程互为“阳光方程”.
(1) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $x+2m=0$与 $3x-2=-x$ 互为“阳光方程”,求$m$ 的值；
(2) 已知关于 $x$ 的一元一次方程$\dfrac{x}{2\ 027}+$$1=0$ 与 $\dfrac{x}{2\ 027}-5=2x+a$ 互为“阳光方程”,求关于 $y$ 的一元一次方程$\dfrac{y}{2\ 027}-11-a=2y-\dfrac{3}{2\ 027}$的解.
(1) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $x+2m=0$与 $3x-2=-x$ 互为“阳光方程”,求$m$ 的值；
(2) 已知关于 $x$ 的一元一次方程$\dfrac{x}{2\ 027}+$$1=0$ 与 $\dfrac{x}{2\ 027}-5=2x+a$ 互为“阳光方程”,求关于 $y$ 的一元一次方程$\dfrac{y}{2\ 027}-11-a=2y-\dfrac{3}{2\ 027}$的解.
答案
14. 解:(1) 关于 $x$ 的一元一次方程 $x+2m=0$ 的解为 $x=-2m$,方程 $3x-2=-x$ 的解为 $x=\dfrac{1}{2}$. 因为关于 $x$ 的一元一次方程 $x+2m=0$ 与 $3x-2=-x$ 互为“阳光方程”,所以$-2m+\dfrac{1}{2}=1$,解得$m=-\dfrac{1}{4}$.
(2) 因为$\dfrac{x}{2\ 027}+1=0$,所以$\dfrac{x}{2\ 027}=-1$,所以$x=-2\ 027$. 因为关于 $x$ 的一元一次方程$\dfrac{x}{2\ 027}+1=0$与$\dfrac{x}{2\ 027}-5=2x+a$互为“阳光方程”,所以方程$\dfrac{x}{2\ 027}-5=2x+a$的解为$x=1-(-2\ 027)=2\ 028$. 因为$\dfrac{y}{2\ 027}-11-a=2y-\dfrac{3}{2\ 027}$,所以$\dfrac{y}{2\ 027}+\dfrac{3}{2\ 027}-5-6-a=2y$,所以$\dfrac{y}{2\ 027}+\dfrac{3}{2\ 027}-5=2y+6+a$,所以$\dfrac{y+3}{2\ 027}-5=2(y+3)+a$. 所以$y+3=2\ 028$,解得$y=2\ 025$.
(2) 因为$\dfrac{x}{2\ 027}+1=0$,所以$\dfrac{x}{2\ 027}=-1$,所以$x=-2\ 027$. 因为关于 $x$ 的一元一次方程$\dfrac{x}{2\ 027}+1=0$与$\dfrac{x}{2\ 027}-5=2x+a$互为“阳光方程”,所以方程$\dfrac{x}{2\ 027}-5=2x+a$的解为$x=1-(-2\ 027)=2\ 028$. 因为$\dfrac{y}{2\ 027}-11-a=2y-\dfrac{3}{2\ 027}$,所以$\dfrac{y}{2\ 027}+\dfrac{3}{2\ 027}-5-6-a=2y$,所以$\dfrac{y}{2\ 027}+\dfrac{3}{2\ 027}-5=2y+6+a$,所以$\dfrac{y+3}{2\ 027}-5=2(y+3)+a$. 所以$y+3=2\ 028$,解得$y=2\ 025$.
解析
【分析】
这是一道新定义类的一元一次方程题，解题核心是先准确理解“阳光方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1，二者就互为阳光方程。
第(1)问思路清晰：第一步先分别求出两个给定一元一次方程的解，其中一个解是含参数m的表达式；第二步直接根据“阳光方程”的定义，让两个解相加等于1，得到关于m的一元一次方程，求解就能得到m的值。
第(2)问不需要硬算出参数a的具体数值，首先先求出第一个已知方程的解，再根据阳光方程的定义，直接得到第二个带参数a的方程的解；接下来观察待求的关于y的方程的结构，通过变形凑出和刚才带a的已知解的方程完全一致的形式，用整体代换的思路，直接对应得到整体的取值，就能快速解出y，避免大数字的复杂计算，减少出错概率。
【解析】
(1) 分别求解两个一元一次方程：
对于方程$x+2m=0$，移项可得它的解为$x=-2m$；
对于方程$3x-2=-x$，移项得$3x+x=2$，合并同类项得$4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$。
因为两个方程互为“阳光方程”，根据定义两个解的和为1，列方程：
$-2m + \frac{1}{2} = 1$
移项计算得$-2m = \frac{1}{2}$，解得$m=-\frac{1}{4}$。
(2) 先求解方程$\frac{x}{2027}+1=0$：
移项得$\frac{x}{2027}=-1$，两边同乘2027，得$x=-2027$。
因为该方程和$\frac{x}{2027}-5=2x+a$互为“阳光方程”，因此第二个方程的解满足$x + (-2027) =1$，可得第二个方程的解为$x=1 - (-2027)=2028$。
处理待求的关于y的方程$\frac{y}{2027}-11-a=2y-\frac{3}{2027}$，对方程移项变形：
将含$\frac{3}{2027}$的项移到左侧，拆分常数项凑出-5：
$\frac{y}{2027} + \frac{3}{2027} -5 -6 -a = 2y$
整理得：$\frac{y+3}{2027} -5 = 2(y+3) +a$
该式和已知解为$x=2028$的方程$\frac{x}{2027}-5=2x+a$结构完全一致，因此整体对应相等可得$y+3=2028$，解得$y=2025$。
【答案】
(1) $m=-\dfrac{1}{4}$；(2) $y=2025$
【知识点】
一元一次方程的解，新定义运算，整体代换法
【点评】
本题属于新定义创新题型，第一问难度较低，直接考察对新定义的基础应用和一元一次方程的常规求解，大部分学生都能顺利完成；第二问刻意设置了较大的数字，引导学生不要直接硬算参数a，需要通过观察方程结构，利用整体代换的思想简化运算，重点锻炼学生的整体思维能力，避免陷入机械计算的误区，对学生的观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
这是一道新定义类的一元一次方程题，解题核心是先准确理解“阳光方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1，二者就互为阳光方程。
第(1)问思路清晰：第一步先分别求出两个给定一元一次方程的解，其中一个解是含参数m的表达式；第二步直接根据“阳光方程”的定义，让两个解相加等于1，得到关于m的一元一次方程，求解就能得到m的值。
第(2)问不需要硬算出参数a的具体数值，首先先求出第一个已知方程的解，再根据阳光方程的定义，直接得到第二个带参数a的方程的解；接下来观察待求的关于y的方程的结构，通过变形凑出和刚才带a的已知解的方程完全一致的形式，用整体代换的思路，直接对应得到整体的取值，就能快速解出y，避免大数字的复杂计算，减少出错概率。
【解析】
(1) 分别求解两个一元一次方程：
对于方程$x+2m=0$，移项可得它的解为$x=-2m$；
对于方程$3x-2=-x$，移项得$3x+x=2$，合并同类项得$4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$。
因为两个方程互为“阳光方程”，根据定义两个解的和为1，列方程：
$-2m + \frac{1}{2} = 1$
移项计算得$-2m = \frac{1}{2}$，解得$m=-\frac{1}{4}$。
(2) 先求解方程$\frac{x}{2027}+1=0$：
移项得$\frac{x}{2027}=-1$，两边同乘2027，得$x=-2027$。
因为该方程和$\frac{x}{2027}-5=2x+a$互为“阳光方程”，因此第二个方程的解满足$x + (-2027) =1$，可得第二个方程的解为$x=1 - (-2027)=2028$。
处理待求的关于y的方程$\frac{y}{2027}-11-a=2y-\frac{3}{2027}$，对方程移项变形：
将含$\frac{3}{2027}$的项移到左侧，拆分常数项凑出-5：
$\frac{y}{2027} + \frac{3}{2027} -5 -6 -a = 2y$
整理得：$\frac{y+3}{2027} -5 = 2(y+3) +a$
该式和已知解为$x=2028$的方程$\frac{x}{2027}-5=2x+a$结构完全一致，因此整体对应相等可得$y+3=2028$，解得$y=2025$。
【答案】
(1) $m=-\dfrac{1}{4}$；(2) $y=2025$
【知识点】
一元一次方程的解，新定义运算，整体代换法
【点评】
本题属于新定义创新题型，第一问难度较低，直接考察对新定义的基础应用和一元一次方程的常规求解，大部分学生都能顺利完成；第二问刻意设置了较大的数字，引导学生不要直接硬算参数a，需要通过观察方程结构，利用整体代换的思想简化运算，重点锻炼学生的整体思维能力，避免陷入机械计算的误区，对学生的观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
15. 数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看$|a-b|$.从数的角度上看，可以对$a-b$值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点$A$，$B$在数轴上分别对应的数为$a$，$b$，则$A$，$B$两点间的距离可表示为$|a-b|$.
请你利用以上方法解方程：
(1)$|x-2|=2x-10$；
(2)$|x+1|+|2x-1|=2$.
请你利用以上方法解方程：
(1)$|x-2|=2x-10$；
(2)$|x+1|+|2x-1|=2$.
答案
15. 解:(1) 当$x-2 ≥ 0$时,原方程可化为$x-2=2x-10$,解得$x=8$.
当$x-2＜0$时,原方程可化为$2-x=2x-10$,解得$x=4$,此时$x-2=2＞0$,不满足$x-2＜0$,所以$x=4$不符合题意,舍去,所以方程$|x-2|=2x-10$的解为$x=8$.
(2) 解法1 从数的角度,对于方程$|x+1|+|2x-1|=2$,令$x+1=0$,$2x-1=0$,解得$x=-1$和$x=\dfrac{1}{2}$. 将数轴分为三个区间讨论:
①当$x＜-1$时,$|x+1|=-x-1$,$|2x-1|=-2x+1$,方程可化为$-x-1-2x+1=2$,整理,得$-3x=2$,解得$x=-\dfrac{2}{3}$,不符合题意,舍去;
②当$-1 ≤ x＜\dfrac{1}{2}$时,$|x+1|=x+1$,$|2x-1|=-2x+1$,方程可化为$x+1-2x+1=2$,整理,得$-x+2=2$,解得$x=0$,符合题意;
③当$x ≥ \dfrac{1}{2}$时,$|x+1|=x+1$,$|2x-1|=2x-1$,方程可化为$x+1+2x-1=2$,整理,得$3x=2$,解得$x=\dfrac{2}{3}$,符合题意.
综上所述,方程的解为$x=0$或$x=\dfrac{2}{3}$.
解法2 从形的角度,设数轴上点$P$对应的数为$x$,点$A$对应的数为$-1$,点$B$对应的数为$\dfrac{1}{2}$. 因为$|2x-1|=2\left|x-\dfrac{1}{2}\right|$,所以$|2x-1|$可以看作点$P$到点$B$距离的2倍,所以方程的几何意义为$PA+2PB=2$.
①当$x＜-1$时,$PA=-1-x$,$PB=\dfrac{1}{2}-x$,方程为$(-1-x)+2(\dfrac{1}{2}-x)=2$,解得$x=-\dfrac{2}{3}$(不合题意,舍去);
②当$-1 ≤ x ≤ \dfrac{1}{2}$时,$PA=x+1$,$PB=\dfrac{1}{2}-x$,方程为$(x+1)+2(\dfrac{1}{2}-x)=2$,解得$x=0$,符合题意;
③当$x＞\dfrac{1}{2}$时,$PA=x+1$,$PB=x-\dfrac{1}{2}$,方程为$(x+1)+2(x-\dfrac{1}{2})=2$,解得$x=\dfrac{2}{3}$,符合题意.
综上所述,方程的解为$x=0$或$x=\dfrac{2}{3}$.
当$x-2＜0$时,原方程可化为$2-x=2x-10$,解得$x=4$,此时$x-2=2＞0$,不满足$x-2＜0$,所以$x=4$不符合题意,舍去,所以方程$|x-2|=2x-10$的解为$x=8$.
(2) 解法1 从数的角度,对于方程$|x+1|+|2x-1|=2$,令$x+1=0$,$2x-1=0$,解得$x=-1$和$x=\dfrac{1}{2}$. 将数轴分为三个区间讨论:
①当$x＜-1$时,$|x+1|=-x-1$,$|2x-1|=-2x+1$,方程可化为$-x-1-2x+1=2$,整理,得$-3x=2$,解得$x=-\dfrac{2}{3}$,不符合题意,舍去;
②当$-1 ≤ x＜\dfrac{1}{2}$时,$|x+1|=x+1$,$|2x-1|=-2x+1$,方程可化为$x+1-2x+1=2$,整理,得$-x+2=2$,解得$x=0$,符合题意;
③当$x ≥ \dfrac{1}{2}$时,$|x+1|=x+1$,$|2x-1|=2x-1$,方程可化为$x+1+2x-1=2$,整理,得$3x=2$,解得$x=\dfrac{2}{3}$,符合题意.
综上所述,方程的解为$x=0$或$x=\dfrac{2}{3}$.
解法2 从形的角度,设数轴上点$P$对应的数为$x$,点$A$对应的数为$-1$,点$B$对应的数为$\dfrac{1}{2}$. 因为$|2x-1|=2\left|x-\dfrac{1}{2}\right|$,所以$|2x-1|$可以看作点$P$到点$B$距离的2倍,所以方程的几何意义为$PA+2PB=2$.
①当$x＜-1$时,$PA=-1-x$,$PB=\dfrac{1}{2}-x$,方程为$(-1-x)+2(\dfrac{1}{2}-x)=2$,解得$x=-\dfrac{2}{3}$(不合题意,舍去);
②当$-1 ≤ x ≤ \dfrac{1}{2}$时,$PA=x+1$,$PB=\dfrac{1}{2}-x$,方程为$(x+1)+2(\dfrac{1}{2}-x)=2$,解得$x=0$,符合题意;
③当$x＞\dfrac{1}{2}$时,$PA=x+1$,$PB=x-\dfrac{1}{2}$,方程为$(x+1)+2(x-\dfrac{1}{2})=2$,解得$x=\dfrac{2}{3}$,符合题意.
综上所述,方程的解为$x=0$或$x=\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
这道题是含绝对值的一元一次方程求解，我们可以按照题目提示的思路逐步推导：
1. 针对第(1)题的单个绝对值方程，先找到绝对值内部表达式等于0的分界点x=2，以此为界把数轴分成x≥2和x＜2两个区间，分别在两个区间内根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，将方程转化为普通一元一次方程求解，得到解之后必须检验解是否落在当前讨论的区间内，不符合的增根要舍去。
2. 针对第(2)题的双绝对值方程，先分别令两个绝对值内部的表达式等于0，得到两个分界点x=-1和x=1/2，这两个点把整个数轴划分为x＜-1、-1≤x＜1/2、x≥1/2三个互不重叠的区间，在每个区间内两个绝对值的正负性都是确定的，就可以直接去掉绝对值转化为普通一元一次方程求解，同样要验证解是否属于当前区间，不符合就舍去；也可以从形的角度，把绝对值转化为数轴上点的距离，利用几何意义列方程求解，本质和零点分段分类讨论是一致的。
【解析】
(1) 对|x-2|做零点分段，令x-2=0，得分界点x=2：
① 当x-2≥0即x≥2时，原方程去绝对值可化为：
$x - 2 = 2x - 10$
移项整理得$x=8$，满足x≥2的前提，是有效解。
② 当x-2＜0即x＜2时，原方程去绝对值可化为：
$2 - x = 2x - 10$
移项整理得$3x=12$，解得$x=4$，该解不满足x＜2的前提，属于增根，舍去。
(2) 方法1：代数分类讨论法
令$x+1=0$得$x=-1$，令$2x-1=0$得$x=\frac{1}{2}$，两个分界点将数轴分为三个区间：
① 当$x ＜ -1$时，$x+1＜0$，$2x-1＜0$，去绝对值后原方程化为：
$-(x+1) -(2x-1) = 2$
整理得$-3x=2$，解得$x=-\frac{2}{3}$，不满足$x＜-1$的前提，舍去。
② 当$-1 ≤ x ＜ \frac{1}{2}$时，$x+1≥0$，$2x-1＜0$，去绝对值后原方程化为：
$(x+1) -(2x-1) = 2$
整理得$-x+2=2$，解得$x=0$，满足$-1≤x＜\frac{1}{2}$的前提，是有效解。
③ 当$x ≥ \frac{1}{2}$时，$x+1＞0$，$2x-1≥0$，去绝对值后原方程化为：
$(x+1)+(2x-1)=2$
整理得$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$，满足$x≥\frac{1}{2}$的前提，是有效解。
方法2：几何意义法
设数轴上点P对应数x，点A对应数-1，点B对应数$\frac{1}{2}$，将原方程变形为$|x+1| + 2\left|x - \frac{1}{2}\right| =2$，几何意义为点P到A的距离与点P到B距离的2倍之和等于2：
① 当$x ＜ -1$时，$PA=-1-x$，$PB=\frac{1}{2}-x$，代入方程解得$x=-\frac{2}{3}$，不符合$x＜-1$，舍去。
② 当$-1 ≤x ≤\frac{1}{2}$时，$PA=x+1$，$PB=\frac{1}{2}-x$，代入方程解得$x=0$，符合区间要求。
③ 当$x＞\frac{1}{2}$时，$PA=x+1$，$PB=x-\frac{1}{2}$，代入方程解得$x=\frac{2}{3}$，符合区间要求。
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=0$或$x=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
绝对值的性质
绝对值几何意义
分类讨论思想
【点评】
本题是典型的含绝对值的一元一次方程求解问题，核心方法是零点分段法，通过找到所有绝对值内部为0的分界点划分区间，去绝对值后转化为普通一元一次方程求解，特别要注意解必须验证是否符合对应区间的前提，避免产生增根；同时题目引导从数形结合的角度理解绝对值的几何意义，能帮助学生更直观地理解方程的含义，深化对绝对值概念的掌握。
【难度系数】
0.6
这道题是含绝对值的一元一次方程求解，我们可以按照题目提示的思路逐步推导：
1. 针对第(1)题的单个绝对值方程，先找到绝对值内部表达式等于0的分界点x=2，以此为界把数轴分成x≥2和x＜2两个区间，分别在两个区间内根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，将方程转化为普通一元一次方程求解，得到解之后必须检验解是否落在当前讨论的区间内，不符合的增根要舍去。
2. 针对第(2)题的双绝对值方程，先分别令两个绝对值内部的表达式等于0，得到两个分界点x=-1和x=1/2，这两个点把整个数轴划分为x＜-1、-1≤x＜1/2、x≥1/2三个互不重叠的区间，在每个区间内两个绝对值的正负性都是确定的，就可以直接去掉绝对值转化为普通一元一次方程求解，同样要验证解是否属于当前区间，不符合就舍去；也可以从形的角度，把绝对值转化为数轴上点的距离，利用几何意义列方程求解，本质和零点分段分类讨论是一致的。
【解析】
(1) 对|x-2|做零点分段，令x-2=0，得分界点x=2：
① 当x-2≥0即x≥2时，原方程去绝对值可化为：
$x - 2 = 2x - 10$
移项整理得$x=8$，满足x≥2的前提，是有效解。
② 当x-2＜0即x＜2时，原方程去绝对值可化为：
$2 - x = 2x - 10$
移项整理得$3x=12$，解得$x=4$，该解不满足x＜2的前提，属于增根，舍去。
(2) 方法1：代数分类讨论法
令$x+1=0$得$x=-1$，令$2x-1=0$得$x=\frac{1}{2}$，两个分界点将数轴分为三个区间：
① 当$x ＜ -1$时，$x+1＜0$，$2x-1＜0$，去绝对值后原方程化为：
$-(x+1) -(2x-1) = 2$
整理得$-3x=2$，解得$x=-\frac{2}{3}$，不满足$x＜-1$的前提，舍去。
② 当$-1 ≤ x ＜ \frac{1}{2}$时，$x+1≥0$，$2x-1＜0$，去绝对值后原方程化为：
$(x+1) -(2x-1) = 2$
整理得$-x+2=2$，解得$x=0$，满足$-1≤x＜\frac{1}{2}$的前提，是有效解。
③ 当$x ≥ \frac{1}{2}$时，$x+1＞0$，$2x-1≥0$，去绝对值后原方程化为：
$(x+1)+(2x-1)=2$
整理得$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$，满足$x≥\frac{1}{2}$的前提，是有效解。
方法2：几何意义法
设数轴上点P对应数x，点A对应数-1，点B对应数$\frac{1}{2}$，将原方程变形为$|x+1| + 2\left|x - \frac{1}{2}\right| =2$，几何意义为点P到A的距离与点P到B距离的2倍之和等于2：
① 当$x ＜ -1$时，$PA=-1-x$，$PB=\frac{1}{2}-x$，代入方程解得$x=-\frac{2}{3}$，不符合$x＜-1$，舍去。
② 当$-1 ≤x ≤\frac{1}{2}$时，$PA=x+1$，$PB=\frac{1}{2}-x$，代入方程解得$x=0$，符合区间要求。
③ 当$x＞\frac{1}{2}$时，$PA=x+1$，$PB=x-\frac{1}{2}$，代入方程解得$x=\frac{2}{3}$，符合区间要求。
【答案】
(1) $x=8$；(2) $x=0$或$x=\dfrac{2}{3}$
【知识点】
绝对值的性质
绝对值几何意义
分类讨论思想
【点评】
本题是典型的含绝对值的一元一次方程求解问题，核心方法是零点分段法，通过找到所有绝对值内部为0的分界点划分区间，去绝对值后转化为普通一元一次方程求解，特别要注意解必须验证是否符合对应区间的前提，避免产生增根；同时题目引导从数形结合的角度理解绝对值的几何意义，能帮助学生更直观地理解方程的含义，深化对绝对值概念的掌握。
【难度系数】
0.6
