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1.「2025西藏中考」观察下列一组数:1.9,3.99,5.999,7.999 9,9.999 99,…,按此规律,第n个数是 (
A.$2n - 0.1^n$
B.$2n + 1 - 0.1^n$
C.$2n - 1 + 0.9^n$
D.$2n - 1 - 0.1^n$
A
)A.$2n - 0.1^n$
B.$2n + 1 - 0.1^n$
C.$2n - 1 + 0.9^n$
D.$2n - 1 - 0.1^n$
答案
1.A 根据题中规律可得整数部分每次增加2,小数部分每次增加一个9,则第n个数的整数部分是$2n-1$,小数部分有$n$个9,即小数部分是$1-0.1^n$,故第$n$个数是$2n-1+1-0.1^n=2n-0.1^n$.故选 A.
2.「2024四川绵阳中考」如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个数，为2；第2行有2个数，为4,6；……；第n行有n个数.探究其中规律，当n≥3时，第n行从左至右第3个数不可能是（ 
）
A.36
B.96
C.226
D.426
）A.36
B.96
C.226
D.426
答案
2.C 由题意知,$2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5$,$30=5×6,……$,所以第$n$行的最后一个数可表示为$n(n+1)$,则当$n≥3$时,第$n$行的左起的第3个数可表示为$n(n-1)+6$.因为$5×6+6=36,9×10+6=96,20×21+6=426$,所以 A,B,D 选项不符合题意.因为 $14×15+6=216,15×16+6=246$,且 $216＜226＜246$,所以第 $n$ 行从左至右第 3 个数不可能是 226,故 C 选项符合题意.故选 C.
3.「2026江苏盐城盐都月考改编」观察下列一组数：$-\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{5}{4}$，$-\dfrac{7}{8}$，$\dfrac{9}{16}$，…，它们是按照一定规律排列的，这组数的第$n$个数是________。
答案
3.答案 $(-1)^{n}\dfrac{2n+1}{2^{n}}$
解析 $-\dfrac{3}{2}=(-1)^{1}\dfrac{2×1+1}{2^{1}},\dfrac{5}{4}=(-1)^{2}\dfrac{2×2+1}{2^{2}},-\dfrac{7}{8}=(-1)^{3}\dfrac{2×3+1}{2^{3}},\dfrac{9}{16}=(-1)^{4}\dfrac{2×4+1}{2^{4}},……,$所以第$n$个数是$(-1)^{n}\dfrac{2n+1}{2^{n}}$.
解析 $-\dfrac{3}{2}=(-1)^{1}\dfrac{2×1+1}{2^{1}},\dfrac{5}{4}=(-1)^{2}\dfrac{2×2+1}{2^{2}},-\dfrac{7}{8}=(-1)^{3}\dfrac{2×3+1}{2^{3}},\dfrac{9}{16}=(-1)^{4}\dfrac{2×4+1}{2^{4}},……,$所以第$n$个数是$(-1)^{n}\dfrac{2n+1}{2^{n}}$.
4.「2026江苏淮安淮阴期中」下面各长方形框中的三个数之间都有相同的规律，根据图中数字的规律，m+n的值是
593
。答案
4.答案 593
解析 由题图可知,长方形框上方的数依次为 2,4,6,…,所以第 $x$ 个长方形框中上方的数可表示为 $2x$.因为 $5=2^2+1,17=4^2+1,37=6^2+1$,……,所以第 $x$ 个长方形框中左下方的数可表示为 $(2x)^2+1$.因为 $12=2×(5+1),72=4×(17+1),228=6×(37+1)$,……,所以第 $x$ 个长方形框中右下方的数可表示为 $2x[(2x)^2+1+1]$.当 $2x=8$ 时,$m=(2x)^2+1=65,n=2x[(2x)^2+1+1]=8×(65+1)=528$,所以 $m+n=65+528=593$.
解析 由题图可知,长方形框上方的数依次为 2,4,6,…,所以第 $x$ 个长方形框中上方的数可表示为 $2x$.因为 $5=2^2+1,17=4^2+1,37=6^2+1$,……,所以第 $x$ 个长方形框中左下方的数可表示为 $(2x)^2+1$.因为 $12=2×(5+1),72=4×(17+1),228=6×(37+1)$,……,所以第 $x$ 个长方形框中右下方的数可表示为 $2x[(2x)^2+1+1]$.当 $2x=8$ 时,$m=(2x)^2+1=65,n=2x[(2x)^2+1+1]=8×(65+1)=528$,所以 $m+n=65+528=593$.
5.「2025河南中考」观察$2x,4x^2,6x^3,8x^4,\dots,$根据这些式子的变化规律，可得第$n$个式子为
$2nx^n$
答案
5.答案 $2nx^{n}$
解析 第1个式子:$2x=1×2·x^{1}$,
第2个式子:$4x^{2}=2×2·x^{2}$,
第3个式子:$6x^{3}=3×2·x^{3}$,
第4个式子:$8x^{4}=4×2·x^{4}$,
……
观察发现第$n$个式子为$2nx^{n}$.
解析 第1个式子:$2x=1×2·x^{1}$,
第2个式子:$4x^{2}=2×2·x^{2}$,
第3个式子:$6x^{3}=3×2·x^{3}$,
第4个式子:$8x^{4}=4×2·x^{4}$,
……
观察发现第$n$个式子为$2nx^{n}$.
6.「2026四川广元中学期中」观察下列式子：$1^2 -1=1×0$；$2^2 -2=2×1$；$3^2 -3=3×2$；$4^2 -4=4×3$；……，依此规律，则第$n$（$n$为正整数）个式子是
$n^2-n=n(n-1)$
。答案
6.答案 $n^{2}-n=n(n-1)$
解析 第1个式子:$1^{2}-1=1×0$;
第2个式子:$2^{2}-2=2×1$;
第3个式子:$3^{2}-3=3×2$;
……
所以第$n$个式子为$n^{2}-n=n(n-1)$.
解析 第1个式子:$1^{2}-1=1×0$;
第2个式子:$2^{2}-2=2×1$;
第3个式子:$3^{2}-3=3×2$;
……
所以第$n$个式子为$n^{2}-n=n(n-1)$.
7.「2025黑龙江哈尔滨中考」如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要的小正方形个数是
（
A.30
B.40
C.49
D.56
（
C
）A.30
B.40
C.49
D.56
答案
7.C 拼第1个正方形需要$(1+1)^2=4$个小正方形；
拼第2个正方形需要$(2+1)^2=9$个小正方形；
拼第3个正方形需要$(3+1)^2=16$个小正方形；
……
按照这样的方法拼成的第 $n$ 个正方形需要 $(n+1)^2$ 个小正方形，
所以拼成的第 6 个正方形需要 $(6+1)^2=49$ 个小正方形,故选 C.
拼第2个正方形需要$(2+1)^2=9$个小正方形；
拼第3个正方形需要$(3+1)^2=16$个小正方形；
……
按照这样的方法拼成的第 $n$ 个正方形需要 $(n+1)^2$ 个小正方形，
所以拼成的第 6 个正方形需要 $(6+1)^2=49$ 个小正方形,故选 C.
8.「2026 四川成都武侯西川中学期中」用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子
$(3n+1)$
枚.答案
8.答案 $(3n+1)$
解析 第1个图形需要的棋子枚数为$4=1×3+1$;
第2个图形需要的棋子枚数为$7=2×3+1$;
第3个图形需要的棋子枚数为$10=3×3+1$;
……
所以第$n$个图形需要的棋子枚数为$3n+1$.
解析 第1个图形需要的棋子枚数为$4=1×3+1$;
第2个图形需要的棋子枚数为$7=2×3+1$;
第3个图形需要的棋子枚数为$10=3×3+1$;
……
所以第$n$个图形需要的棋子枚数为$3n+1$.
9.「2025黑龙江绥化中考」观察下图，图1有2个三角形，记作$a_1=2$；图2有3个三角形，记作$a_2=3$；图3有6个三角形，记作$a_3=6$；图4有11个三角形，记作$a_4=11$；……，按此方法继续下去，则$a_n=$
$(n-1)^2+2$
（结果用含$n$的代数式表示）。答案
9.答案 $(n-1)^{2}+2$
解析 观察题图中的规律可知,$a_{1}=2=(1-1)^{2}+2$,$a_{2}=3=(2-1)^{2}+2$,$a_{3}=6=(3-1)^{2}+2$,$a_{4}=11=(4-1)^{2}+2$,……,所以 $a_{n}=(n-1)^{2}+2$.
解析 观察题图中的规律可知,$a_{1}=2=(1-1)^{2}+2$,$a_{2}=3=(2-1)^{2}+2$,$a_{3}=6=(3-1)^{2}+2$,$a_{4}=11=(4-1)^{2}+2$,……,所以 $a_{n}=(n-1)^{2}+2$.
10.「2026浙江杭州西湖保俶塔实验学校期中」用火柴棍拼成如图所示的图案，其中第1个图案由4个小等边三角形围成1个小四边形(即阴影部分)，第2个图案由6个小等边三角形围成2个小四边形，……，若按此规律拼下去，则第4个图案需要火柴棍的根数为
30
，第n个图案需要火柴棍的根数为$6n+6$
(用含n的式子表示)。答案
10.答案 30;$6n+6$
解析 第1个图案中有$2×(1+1)=4$个小三角形,需要的火柴棍的根数为$2×(1+1)×3=12$;
第2个图案中有$2×(2+1)=6$个小三角形,需要的火柴棍的根数为$2×(2+1)×3=18$;
第3个图案中有$2×(3+1)=8$个小三角形,需要的火柴棍的根数为$2×(3+1)×3=24$;
……
发现规律,第$n$个图案中有$2(n+1)$个小三角形,需要的火柴棍的根数为$6(n+1)=6n+6$.
当$n=4$时,$6n+6=6×4+6=30$,所以第4个图案需要的火柴棍的根数为30.
解析 第1个图案中有$2×(1+1)=4$个小三角形,需要的火柴棍的根数为$2×(1+1)×3=12$;
第2个图案中有$2×(2+1)=6$个小三角形,需要的火柴棍的根数为$2×(2+1)×3=18$;
第3个图案中有$2×(3+1)=8$个小三角形,需要的火柴棍的根数为$2×(3+1)×3=24$;
……
发现规律,第$n$个图案中有$2(n+1)$个小三角形,需要的火柴棍的根数为$6(n+1)=6n+6$.
当$n=4$时,$6n+6=6×4+6=30$,所以第4个图案需要的火柴棍的根数为30.
