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9. 统计甲和乙两个AI模型在百科、数学、代码、语言领域的测试成绩，得到如图所示的统计图.我们通常用$\frac{甲的成绩 - 乙的成绩}{乙的成绩}$的值表示甲对乙的相对优势，根据图中数据，在以下四个领域中甲对乙的相对优势最大的领域是（
A.百科
B.数学
C.代码
D.语言
C
）A.百科
B.数学
C.代码
D.语言
答案
C
解析
【分析】要找出甲对乙相对优势最大的领域，需先从条形统计图中读取每个领域甲、乙的成绩，再根据相对优势公式$\frac{甲的成绩 - 乙的成绩}{乙的成绩}$分别计算四个领域的相对优势，最后比较结果的大小，即可得出答案。
【解析】分别计算四个领域中甲对乙的相对优势：
1. 百科领域：甲成绩68分，乙成绩82分，相对优势为$\frac{68 - 82}{82} = \frac{-14}{82} \approx -0.17$；
2. 数学领域：甲成绩90分，乙成绩72分，相对优势为$\frac{90 - 72}{72} = \frac{18}{72} = 0.25$；
3. 代码领域：甲成绩52分，乙成绩40分，相对优势为$\frac{52 - 40}{40} = \frac{12}{40} = 0.3$；
4. 语言领域：甲成绩75分，乙成绩70分，相对优势为$\frac{75 - 70}{70} = \frac{5}{70} \approx 0.07$；
比较四个结果：$-0.17 ＜ 0.07 ＜ 0.25 ＜ 0.3$，因此相对优势最大的领域是代码。
【答案】C
【知识点】条形统计图、相对优势计算
【点评】本题考查从条形统计图提取数据并进行分式计算，核心是准确读取成绩、代入公式计算后比较大小，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】分别计算四个领域中甲对乙的相对优势：
1. 百科领域：甲成绩68分，乙成绩82分，相对优势为$\frac{68 - 82}{82} = \frac{-14}{82} \approx -0.17$；
2. 数学领域：甲成绩90分，乙成绩72分，相对优势为$\frac{90 - 72}{72} = \frac{18}{72} = 0.25$；
3. 代码领域：甲成绩52分，乙成绩40分，相对优势为$\frac{52 - 40}{40} = \frac{12}{40} = 0.3$；
4. 语言领域：甲成绩75分，乙成绩70分，相对优势为$\frac{75 - 70}{70} = \frac{5}{70} \approx 0.07$；
比较四个结果：$-0.17 ＜ 0.07 ＜ 0.25 ＜ 0.3$，因此相对优势最大的领域是代码。
【答案】C
【知识点】条形统计图、相对优势计算
【点评】本题考查从条形统计图提取数据并进行分式计算，核心是准确读取成绩、代入公式计算后比较大小，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】0.6
10. 将连续的正整数1,2,3,…排成如表1所示的数表,并从中框出某些数字,例如表1中用$2×4$的方框框出了8个数字.现在用如表2所示的$2×n$的方框在表1中也框出一些数字,设第一行两数为$a,b$,最后一行两数为$c,d$,且$bc - ad = 2\,025$,则$n$的值为 （
A.405
B.406
C.407
D.410
B
）A.405
B.406
C.407
D.410
答案
由题意可得:$a+1=b,c+1=d,c=5(n-1)+a$,
$\because bc-ad=2\,025$,
$\therefore(a+1)c-a(c+1)=2\,025,\therefore c-a=2\,025.$
$\because c=5(n-1)+a,\therefore5(n-1)=2\,025$,
解得$n=406$.
故选B.
$\because bc-ad=2\,025$,
$\therefore(a+1)c-a(c+1)=2\,025,\therefore c-a=2\,025.$
$\because c=5(n-1)+a,\therefore5(n-1)=2\,025$,
解得$n=406$.
故选B.
解析
【分析】首先观察数表排列规律：每行有5个连续正整数，同一行相邻数相差1，相邻行同一列数相差5。对于表2的2×n方框，第一行两数a、b满足b=a+1；最后一行两数c、d满足d=c+1；从第一行到最后一行共间隔(n-1)行，因此c与a的关系为c = a + 5(n-1)。接下来将这些关系代入已知等式bc - ad=2025，化简后求解n的值。
【解析】根据数表规律：
1. 同一行相邻数差1，故$b = a + 1$，$d = c + 1$；
2. 数表每行5个数，相邻行同一列数差5，2×n方框中第一行到最后一行间隔$(n-1)$行，因此$c = a + 5(n-1)$。
将$b=a+1$、$d=c+1$代入$bc - ad=2025$：
$\begin{aligned}bc - ad&=(a+1)c - a(c+1)\\&=ac + c - ac - a\\&=c - a\end{aligned}$
由题意得$c - a = 2025$，结合$c = a +5(n-1)$，得：
$5(n-1)=2025$
解得$n-1=405$，即$n=406$。
【答案】B
【知识点】数表规律、代数式化简
【点评】本题核心是利用数表的排列规律建立数间关系，代入等式化简后求解，需准确把握行内、行间数的差值规律，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据数表规律：
1. 同一行相邻数差1，故$b = a + 1$，$d = c + 1$；
2. 数表每行5个数，相邻行同一列数差5，2×n方框中第一行到最后一行间隔$(n-1)$行，因此$c = a + 5(n-1)$。
将$b=a+1$、$d=c+1$代入$bc - ad=2025$：
$\begin{aligned}bc - ad&=(a+1)c - a(c+1)\\&=ac + c - ac - a\\&=c - a\end{aligned}$
由题意得$c - a = 2025$，结合$c = a +5(n-1)$，得：
$5(n-1)=2025$
解得$n-1=405$，即$n=406$。
【答案】B
【知识点】数表规律、代数式化简
【点评】本题核心是利用数表的排列规律建立数间关系，代入等式化简后求解，需准确把握行内、行间数的差值规律，难度适中。
【难度系数】0.5
11. 分解因式：$x^2 - 9 =$
$(x+3)(x-3)$
.答案
$(x+3)(x-3)$
解析
【分析】本题考查因式分解，观察式子$x^2 - 9$，是两个平方项的差，符合平方差公式的形式，可利用平方差公式进行分解因式。
【解析】根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对于$x^2 - 9$，其中$a=x$，$b=3$，代入公式可得：$x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)$。
【答案】$(x+3)(x-3)$
【知识点】因式分解、平方差公式
【点评】本题是因式分解的基础题，直接考查平方差公式的应用，难度较低，主要检验学生对基本公式的掌握情况。
【难度系数】0.8
【解析】根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对于$x^2 - 9$，其中$a=x$，$b=3$，代入公式可得：$x^2 - 9=(x + 3)(x - 3)$。
【答案】$(x+3)(x-3)$
【知识点】因式分解、平方差公式
【点评】本题是因式分解的基础题，直接考查平方差公式的应用，难度较低，主要检验学生对基本公式的掌握情况。
【难度系数】0.8
12. 校运动会测量跳远成绩时,应用的数学基本事实是
垂线段最短
.答案
垂线段最短
解析
【分析】
首先明确跳远成绩的测量本质：起跳线可看作一条直线，落地点是直线外一点，测量跳远成绩需要得到该点到直线的最短距离；而直线外一点到直线的所有线段中，垂线段是最短的，因此测量时取垂线段长度，依据的就是垂线段最短这一数学基本事实。
【解析】
校运动会测量跳远成绩时，起跳线可近似为一条直线，落地点是直线外一点。为保证测量公平准确，需测量该点到直线的最短距离，根据数学基本事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此应用的数学基本事实是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何基本事实的应用，将抽象的几何知识与日常运动场景结合，难度较低，侧重考查学生对知识点的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
首先明确跳远成绩的测量本质：起跳线可看作一条直线，落地点是直线外一点，测量跳远成绩需要得到该点到直线的最短距离；而直线外一点到直线的所有线段中，垂线段是最短的，因此测量时取垂线段长度，依据的就是垂线段最短这一数学基本事实。
【解析】
校运动会测量跳远成绩时，起跳线可近似为一条直线，落地点是直线外一点。为保证测量公平准确，需测量该点到直线的最短距离，根据数学基本事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此应用的数学基本事实是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何基本事实的应用，将抽象的几何知识与日常运动场景结合，难度较低，侧重考查学生对知识点的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
13. 已知$\begin{cases} x=2 \\ y=a \end{cases}$是方程$3x - y = 5$的一个解，则$a$的值为________.
答案
1
解析
【分析】
首先明确：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。本题中已知$\begin{cases} x=2 \\ y=a \end{cases}$是方程$3x - y = 5$的解，因此将$x=2$、$y=a$代入原方程，可得到仅含参数$a$的一元一次方程，解该方程就能求出$a$的值。
【解析】
解：因为$\begin{cases} x=2 \\ y=a \end{cases}$是方程$3x - y = 5$的解，所以将$x=2$，$y=a$代入方程得：
$3×2 - a = 5$
计算得：$6 - a = 5$
移项得：$-a = 5 - 6$
即：$-a = -1$
两边同乘$-1$，解得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解；一元一次方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程解的基本应用，属于基础题型，直接代入求解即可，主要考查学生对概念的理解和基本计算能力。
【难度系数】
0.9
首先明确：方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。本题中已知$\begin{cases} x=2 \\ y=a \end{cases}$是方程$3x - y = 5$的解，因此将$x=2$、$y=a$代入原方程，可得到仅含参数$a$的一元一次方程，解该方程就能求出$a$的值。
【解析】
解：因为$\begin{cases} x=2 \\ y=a \end{cases}$是方程$3x - y = 5$的解，所以将$x=2$，$y=a$代入方程得：
$3×2 - a = 5$
计算得：$6 - a = 5$
移项得：$-a = 5 - 6$
即：$-a = -1$
两边同乘$-1$，解得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解；一元一次方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程解的基本应用，属于基础题型，直接代入求解即可，主要考查学生对概念的理解和基本计算能力。
【难度系数】
0.9
14. 某学校计划新建一个面积为$3a^2+18a$的长方形劳动实践基地，若基地的长为$3a$，则基地的宽为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$a+6$
解析
【分析】
要计算长方形的宽，需利用长方形面积公式：面积=长×宽，变形可得宽=面积÷长。将题目中给出的面积（$3a^2+18a$）和长（$3a$）代入，通过多项式除以单项式的法则计算即可得到宽。
【解析】
根据长方形的面积公式，宽 = 面积 ÷ 长，代入已知条件得：
宽 = $(3a^2 + 18a) ÷ 3a$
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
= $3a^2 ÷ 3a + 18a ÷ 3a$
= $a + 6$
【答案】
$a+6$
【知识点】
整式的除法、长方形面积公式
【点评】
本题结合长方形面积公式考查多项式除以单项式的运算，属于基础题型，重点考查学生对整式除法法则的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算长方形的宽，需利用长方形面积公式：面积=长×宽，变形可得宽=面积÷长。将题目中给出的面积（$3a^2+18a$）和长（$3a$）代入，通过多项式除以单项式的法则计算即可得到宽。
【解析】
根据长方形的面积公式，宽 = 面积 ÷ 长，代入已知条件得：
宽 = $(3a^2 + 18a) ÷ 3a$
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
= $3a^2 ÷ 3a + 18a ÷ 3a$
= $a + 6$
【答案】
$a+6$
【知识点】
整式的除法、长方形面积公式
【点评】
本题结合长方形面积公式考查多项式除以单项式的运算，属于基础题型，重点考查学生对整式除法法则的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.8
