8.(2025·杭州上城)如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°,∠ BAC=30°$,把 $Rt△ ABC$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转得到$Rt△ AB'C'$,其中点 $C$ 落在 $AB$ 边的 $C'$处,则$∠ BB'C'$的度数为 （）

A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$30°$

8.B

【分析】
要解决本题，需利用旋转的性质（对应边相等、对应角相等），结合等腰三角形和直角三角形的角度关系逐步推导：首先根据Rt△ABC的已知角度求出∠ABC，再由旋转性质得到AB=AB'、∠AB'C'=∠ABC，进而确定△ABB'为等腰三角形，求出其底角，最后计算∠BB'C'的度数。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=30°$，因此$∠ ABC=180°-90°-30°=60°$。
根据旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等，可得$AB=AB'$，$∠ AB'C'=∠ ABC=60°$，且旋转角$∠ BAB'=∠ BAC=30°$（因点$C'$在$AB$上，旋转角等于原$∠ BAC$）。
由于$AB=AB'$，$△ ABB'$是等腰三角形，其底角$∠ AB'B=\frac{180°-∠ BAB'}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
因此，$∠ BB'C'=∠ AB'B - ∠ AB'C'=75°-60°=15°$。
【答案】
B
【知识点】
图形的旋转、等腰三角形性质、直角三角形角度计算
【点评】
本题结合旋转性质与三角形角度计算，核心是利用旋转得到等腰三角形，进而推导相关角度，属于中等难度的几何角度计算题，需熟练掌握旋转的基本性质。
【难度系数】
0.5

9.(2025·奉化、象山、宁海)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$∠ ADC=60°$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，连结$OE$。若$∠ CAE=30°$。则下列结论：①$AB=\dfrac{1}{2}BC$；②$OE⊥ AC$；③$OB=OC$，正确的有 （）

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

9.A

【分析】
首先利用平行四边形的性质，结合已知角度求出∠BAD的度数，再由角平分线和平行线的性质推出等边三角形，进而得到∠BAC的度数；接着在直角三角形ABC中，利用直角三角形的性质判断AB与BC的关系；再根据中点的性质，结合三角形中位线定理判断OE与AC的位置关系；最后通过计算对角线长度验证OB与OC是否相等，从而确定正确结论。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD + ∠ADC = 180°，AD//BC，BC=AD，AB=CD，
∵∠ADC=60°，
∴∠BAD=180°-60°=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=120°÷2=60°，
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠AEB=60°，
∴△ABE中，∠BAE=∠AEB=60°，即△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，
又
∵∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAE + ∠CAE=60°+30°=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ACB=180°-90°-60°=30°，
根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，得AB=½BC，故①正确；
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE，结合AB=½BC，得BE=½BC，即E是BC中点，
∵平行四边形对角线互相平分，
∴O是AC中点，
∴OE是△ABC的中位线，故OE//AB，
又
∵∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∴OE⊥AC，故②正确；
在Rt△ABC中，AC=√(BC² - AB²)=√((2AB)² - AB²)=√3 AB，
平行四边形中，BD²=AB² + AD² - 2AB·AD·cos∠BAD，AD=BC=2AB，∠BAD=120°，
代入得BD²=AB² + (2AB)² - 2·AB·2AB·(-½)=7AB²，即BD=√7 AB，
∵O是BD中点，
∴OB=½BD=(√7/2)AB，OC=½AC=(√3/2)AB，
∴OB≠OC，故③错误；
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、直角三角形性质、三角形中位线
【点评】
本题综合考查平行四边形、直角三角形及三角形中位线的相关知识，解题关键是利用角平分线与平行线推出等边三角形，再结合直角三角形性质推导线段关系，需注意对角线长度的计算验证OB与OC的关系，知识点运用较灵活。
【难度系数】
0.5

10. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2√3。过点A作BC的垂线交BC于点E,记BE=x,BC=y。当x,y的值变化时,下列代数式的值不变的是 ()

A.$ x + y $
B.$ x - y $
C.$ xy $
D.$ x^2 + y^2 $

10.C

【分析】
要解决本题，需利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合坐标法与勾股定理建立方程，通过方程运算推导代数式的定值。首先设点坐标，结合对角线长度得到两个关于x、y、h的方程，消去h后即可确定不变的代数式。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OA = AC/2 = 1，OB = BD/2 = √3。
设点B为坐标原点(0,0)，BC在x轴上，点E坐标为(x,0)（BE=x），则点A坐标为(x, h)（AE⊥BC，h为AE的长度），点C坐标为(y,0)（BC=y）。
根据平行四边形对角线中点性质，对角线中点O是AC和BD的公共中点，因此点D坐标为(x+y, h)。
由BD=2√3，根据两点间距离公式：
BD² = (x+y)² + h² = (2√3)² → (x+y)² + h² = 12 ①
由AC=2，同理：
AC² = (y - x)² + h² = 2² → (y - x)² + h² = 4 ②
用① - ②得：
(x+y)² - (y - x)² = 12 - 4
展开左边：(x² + 2xy + y²) - (y² - 2xy + x²) = 4xy
∴ 4xy = 8 → xy = 2，即xy为定值，不随x、y变化而改变。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理、代数式定值
【点评】
本题通过坐标法结合平行四边形性质，利用方程消元推导定值，关键是建立对角线长度对应的方程，消去辅助量h后得到xy的值，难度适中，需掌握平行四边形基本性质与代数运算能力。
【难度系数】
0.5

11.(2024·舟山定海)五边形的内角和是________°。

11.540

【分析】要计算五边形的内角和，需运用多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且为整数）。本题是五边形，即n=5，将n代入公式即可求出结果。
【解析】根据多边形内角和公式，五边形的内角和为：$(5-2)×180°=3×180°=540°$。
【答案】540
【知识点】多边形内角和公式
【点评】本题考查多边形内角和的基础计算，属于概念应用类题目，只要牢记多边形内角和公式就能快速解答，是基础题型。
【难度系数】0.9

12.(2025·温岭)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,请添加一个条件:,使四边形ABCD是平行四边形。

12.$AB=CD$(答案不唯一)

【分析】已知四边形ABCD中AB//CD，要判定其为平行四边形，需结合平行四边形的判定定理思考：平行四边形的判定定理包含“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，因此可添加使AB与CD既平行又相等的条件，也可选择其他判定对应的条件（如AD//BC等），本题以参考答案给出的条件为例。
【解析】已知AB//CD，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，当添加条件AB=CD时，AB和CD满足平行且相等的关系，因此四边形ABCD是平行四边形。本题答案不唯一，也可添加AD//BC等合理条件。
【答案】AB=CD（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的判定，属于基础题型，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】0.7

13.(2025·绍兴柯桥)在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=130°，
则∠A的度数是________。

13.$115°$

【分析】首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。题目给出∠B与∠D的和，利用对角相等可先求出∠B的度数，再根据邻角互补的性质就能计算出∠A的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D（平行四边形的对角相等），
已知∠B+∠D=130°，
∴∠B=130°÷2=65°，
又
∵平行四边形的邻角互补，即∠A+∠B=180°，
∴∠A=180°−65°=115°。
【答案】115°
【知识点】平行四边形的性质，对角相等，邻角互补
【点评】本题考查平行四边形的基础性质，属于几何入门的常规题型，只要掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可快速解题，难度较低。
【难度系数】0.8

14.(2025·慈溪)如图,D,E分别是$△ ABC$边AB,AC的中点,连结BE,DE。若$∠ AED=∠ BEC,DE=2$,则BE的长为。

14.4

【分析】
要解决这道题，需结合三角形中位线定理、平行线的性质和等腰三角形的判定来推导：首先根据D、E是AB、AC中点，确定DE为△ABC的中位线，利用中位线定理求出BC的长度；再由DE//BC得到∠AED与∠C相等，结合已知角的等量关系推出∠BEC=∠C；最后通过等角对等边得到BE=BC，从而算出BE的长。
【解析】
解：
∵ D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：DE//BC，且$ DE = \frac{1}{2}BC $。
已知$ DE=2 $，代入得：$ BC = 2×DE = 2×2 = 4 $。
∵ DE//BC，
∴ $ ∠AED = ∠C $（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $ ∠AED = ∠BEC $，
∴ $ ∠BEC = ∠C $。
在△BEC中，$ ∠BEC = ∠C $，
∴ $ BE = BC $（等角对等边），
因此$ BE = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、平行线性质与等腰三角形判定，解题核心是利用中位线建立线段关系，结合角的等量推导等腰三角形，属于基础综合题，难度适中。
【难度系数】
0.6

15.(2024·温州)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$在$AB$上,作$DE⊥ BC$于点$E$,将$△ BDE$绕点$D$逆时针旋转至$△ FDG$,点$G$,$F$分别落在$AB$,$AC$上。若$DG=2$,$FG=3$,则$CE=$。

15.$\frac{12}{13}\sqrt{13}$

【分析】首先，根据旋转的性质，旋转前后的图形全等，得到对应边和对应角相等：△BDE绕点D逆时针旋转至△FDG，故DG=DE=2，BE=FG=3，DB=DF，且∠DEB=∠DGF=90°；再结合∠C=90°、DE⊥BC，可推出DE//AC，利用勾股定理算出DB的长度，最后通过相似三角形或坐标法建立方程，求出BC的长度，进而计算CE=BC-BE。
【解析】
1. 利用旋转性质确定对应边：
由旋转可知，△BDE≌△FDG，因此：
$DG=DE=2$，$BE=FG=3$，$DB=DF$，$∠ DEB=∠ DGF=90°$。
2. 计算DB的长度：
在$Rt△ BDE$中，由勾股定理得：
$DB=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，故$DF=DB=\sqrt{13}$。
3. 结合直角三角形性质推导关系：
因为$∠ C=90°$，$DE⊥ BC$，所以$DE// AC$，得$∠ BDE=∠ A$；
由旋转得$∠ FDG=∠ BDE$，故$∠ FDG=∠ A$，结合$∠ DGF=∠ C=90°$，可知$△ BDE∼△ BAC$，因此：
$\cos B=\frac{BE}{DB}=\frac{3}{\sqrt{13}}$，即$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{13}}$，设$BC=3k$，$AB=\sqrt{13}k$，则$AC=2k$。
4. 建立方程求解BC：
设$C(0,0)$，$B(3k,0)$，$A(0,2k)$，则$D$点坐标为$(3k-3,2)$；
$F$在$AC$上，由$△ AGF∼△ ACB$得$AF=\sqrt{13}$，故$F$的纵坐标为$2k-\sqrt{13}$，即$F(0,2k-\sqrt{13})$；
由$DF=\sqrt{13}$，根据两点间距离公式：
$(3k-3-0)^2 + (2-(2k-\sqrt{13}))^2=13$，
化简求解得$k=1+\frac{4\sqrt{13}}{13}$，故$BC=3k=3+\frac{12\sqrt{13}}{13}$。
5. 计算CE：
$CE=BC-BE=3+\frac{12\sqrt{13}}{13}-3=\frac{12}{13}\sqrt{13}$。
【答案】
$\frac{12}{13}\sqrt{13}$
【知识点】
旋转的性质、勾股定理、相似三角形
【点评】
本题综合考查几何变换（旋转）、直角三角形性质及相似三角形的应用，关键是利用旋转的对应关系建立边长联系，通过方程求解未知边，需要学生熟练掌握几何定理的综合运用，难度中等。
【难度系数】
0.4