登录
24.(12分)近年来，“低空经济”越来越受到全球瞩目，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1h到达市民餐桌成为现实。一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站。该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况。
(1)求大小两款无人机的单次运输价格。
(2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍。已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣。
(3)在(2)的折扣下，某两天大无人机共运营$a$单，小无人机共运营$b$单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元。
①求$a$和$b$的数量关系。
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
(1)求大小两款无人机的单次运输价格。
(2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍。已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣。
(3)在(2)的折扣下，某两天大无人机共运营$a$单，小无人机共运营$b$单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元。
①求$a$和$b$的数量关系。
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
答案
24.(1)设大无人机的单次运输价格是x元,小无人机的单次运输价格是y元。根据题意得$\begin{cases} 4x+20y=3600, \\ 8x+28y=5760, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=300, \\ y=120, \end{cases}$所以大无人机的单次运输价格是300元,小无人机的单次运输价格是120元。
(2)$5100÷(300×0.85)=20$(单),设小无人机的优惠折扣为m折。根据题意得$20×2×120×\dfrac{m}{10}=4320$,解得$m=9$。所以小无人机实行九折优惠。
(3)①根据题意得$\dfrac{300×0.85a+120×0.9b}{a+b}=\dfrac{3600+5760}{4+20+8+28}+1$,所以$b=2a$。 ②设这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的n倍(n为正整数),根据题意得$300×0.85a+120×0.9×2a=120n$,即$471a=120n$,所以$157a=40n$。又因为a,n均为正整数,且157是质数,所以a的最小值为40,此时$471a=471×40=18840$。所以这两天总营收的最小值为18840元。
(2)$5100÷(300×0.85)=20$(单),设小无人机的优惠折扣为m折。根据题意得$20×2×120×\dfrac{m}{10}=4320$,解得$m=9$。所以小无人机实行九折优惠。
(3)①根据题意得$\dfrac{300×0.85a+120×0.9b}{a+b}=\dfrac{3600+5760}{4+20+8+28}+1$,所以$b=2a$。 ②设这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的n倍(n为正整数),根据题意得$300×0.85a+120×0.9×2a=120n$,即$471a=120n$,所以$157a=40n$。又因为a,n均为正整数,且157是质数,所以a的最小值为40,此时$471a=471×40=18840$。所以这两天总营收的最小值为18840元。
解析
【分析】
本题围绕无人机运输的价格、营收问题展开，分三小问逐步求解：第(1)问需通过设大、小无人机单次运输价格为未知数，利用两天的营收总额建立二元一次方程组；第(2)问先根据大无人机的营收和折扣算出其运输次数，再设小无人机的优惠折扣，结合小无人机的营收建立一元一次方程；第(3)问①需根据“平均每单运输营收比试运营多1元”的条件，推导a、b的数量关系，②结合数量关系和整除性求总营收的最小值。
【解析】
(1)设大无人机单次运输价格为$x$元，小无人机单次运输价格为$y$元。
根据第一天营收得：$4x + 20y = 3600$；
根据第二天营收得：$8x + 28y = 5760$。
联立方程组$\begin{cases}4x + 20y = 3600 \\8x + 28y = 5760 \end{cases}$，
化简第一个方程得$x = 900 - 5y$，代入第二个方程：
$8(900 - 5y) + 28y = 5760$，
解得$y = 120$，则$x = 900 - 5×120 = 300$。
(2)大无人机八五折后单价为$300×0.85 = 255$元，
大无人机运输次数为$5100÷255 = 20$单，故小无人机运输次数为$20×2 = 40$单。
设小无人机优惠折扣为$m$折，根据小无人机营收：
$40×120×\frac{m}{10} = 4320$，
解得$m = 9$，即九折。
(3)①试运营总营收为$3600 + 5760 = 9360$元，总运输单数为$4 + 20 + 8 + 28 = 60$单，
试运营平均每单营收为$9360÷60 = 156$元，这两天平均每单营收为$156 + 1 = 157$元。
这两天总营收为$255a + 108b$，故$\frac{255a + 108b}{a + b} = 157$，
化简得$b = 2a$。
②由$b = 2a$，总营收为$255a + 108×2a = 471a$。
设总营收为打折前小无人机单次价格的$n$倍（$n$为正整数），则$471a = 120n$，
化简得$157a = 40n$，因157是质数，故$a$最小为40，此时总营收为$471×40 = 18840$元。
【答案】
(1)大无人机单次运输价格300元，小无人机单次运输价格120元；
(2)小无人机实行九折优惠；
(3)①$b = 2a$；②总营收最小值为18840元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次方程应用、代数式化简
【点评】
本题结合实际运营场景，将价格、折扣、平均营收转化为数学方程，考查建模与运算能力，各小问衔接紧密，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕无人机运输的价格、营收问题展开，分三小问逐步求解：第(1)问需通过设大、小无人机单次运输价格为未知数，利用两天的营收总额建立二元一次方程组；第(2)问先根据大无人机的营收和折扣算出其运输次数，再设小无人机的优惠折扣，结合小无人机的营收建立一元一次方程；第(3)问①需根据“平均每单运输营收比试运营多1元”的条件，推导a、b的数量关系，②结合数量关系和整除性求总营收的最小值。
【解析】
(1)设大无人机单次运输价格为$x$元，小无人机单次运输价格为$y$元。
根据第一天营收得：$4x + 20y = 3600$；
根据第二天营收得：$8x + 28y = 5760$。
联立方程组$\begin{cases}4x + 20y = 3600 \\8x + 28y = 5760 \end{cases}$，
化简第一个方程得$x = 900 - 5y$，代入第二个方程：
$8(900 - 5y) + 28y = 5760$，
解得$y = 120$，则$x = 900 - 5×120 = 300$。
(2)大无人机八五折后单价为$300×0.85 = 255$元，
大无人机运输次数为$5100÷255 = 20$单，故小无人机运输次数为$20×2 = 40$单。
设小无人机优惠折扣为$m$折，根据小无人机营收：
$40×120×\frac{m}{10} = 4320$，
解得$m = 9$，即九折。
(3)①试运营总营收为$3600 + 5760 = 9360$元，总运输单数为$4 + 20 + 8 + 28 = 60$单，
试运营平均每单营收为$9360÷60 = 156$元，这两天平均每单营收为$156 + 1 = 157$元。
这两天总营收为$255a + 108b$，故$\frac{255a + 108b}{a + b} = 157$，
化简得$b = 2a$。
②由$b = 2a$，总营收为$255a + 108×2a = 471a$。
设总营收为打折前小无人机单次价格的$n$倍（$n$为正整数），则$471a = 120n$，
化简得$157a = 40n$，因157是质数，故$a$最小为40，此时总营收为$471×40 = 18840$元。
【答案】
(1)大无人机单次运输价格300元，小无人机单次运输价格120元；
(2)小无人机实行九折优惠；
(3)①$b = 2a$；②总营收最小值为18840元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次方程应用、代数式化简
【点评】
本题结合实际运营场景，将价格、折扣、平均营收转化为数学方程，考查建模与运算能力，各小问衔接紧密，难度适中。
【难度系数】
0.5
