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22.(10分)如图，$AB// CD$，点$E,F$分别在$AB,CD$上，且$EF⊥ GF$，$∠1$和$∠2$互余。
(1)比较$∠ AEF$和$∠2$的大小关系，并说明理由。
(2)若$∠1=28°$，求$∠ BEP$的度数。
(1)比较$∠ AEF$和$∠2$的大小关系，并说明理由。
(2)若$∠1=28°$，求$∠ BEP$的度数。
答案
22.(1)$∠AEF=∠2$。理由如下:因为$EF⊥GF$,所以$∠EFG=90°$。所以$∠1+∠EFD=90°$。因为$∠1$和$∠2$互余,所以$∠1+∠2=90°$。所以$∠2=∠EFD$。因为$AB//CD$,所以$∠AEF=∠EFD$。所以$∠AEF=∠2$。
(2)因为$∠1$和$∠2$互余,$∠1=28°$,所以$∠2=90°-∠1=62°$。由(1)知,$∠AEF=∠2$,所以$∠BEP=180°-∠AEF-∠2=180°-62°-62°=56°$。
(2)因为$∠1$和$∠2$互余,$∠1=28°$,所以$∠2=90°-∠1=62°$。由(1)知,$∠AEF=∠2$,所以$∠BEP=180°-∠AEF-∠2=180°-62°-62°=56°$。
解析
【分析】
第(1)问要比较∠AEF和∠2的大小，需结合已知的垂直、互余和平行线的性质推导：先由EF⊥GF得∠EFG=90°，推出∠1+∠EFD=90°；再根据∠1与∠2互余，得∠1+∠2=90°，从而推出∠2=∠EFD；最后利用AB//CD，内错角相等得∠AEF=∠EFD，即可得到∠AEF=∠2。
第(2)问求∠BEP，先根据∠1和∠2互余，结合∠1的度数算出∠2；再利用第(1)问的结论∠AEF=∠2，结合平角为180°，计算∠BEP=180°-∠AEF-∠2，代入数值即可求解。
【解析】
(1) ∠AEF=∠2，理由如下：
∵ EF⊥GF（已知），
∴ ∠EFG=90°（垂直的定义），
∴ ∠1 + ∠EFD = 180° - ∠EFG = 180° - 90° = 90°（平角的定义）。
又
∵ ∠1和∠2互余（已知），
∴ ∠1 + ∠2 = 90°（互余的定义），
∴ ∠2 = ∠EFD（同角的余角相等）。
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠AEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEF = ∠2（等量代换）。
(2)
∵ ∠1和∠2互余，∠1=28°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 28° = 62°（互余的定义）。
由(1)知∠AEF=∠2，
∴ ∠AEF=62°，
∵ 点E在AB上，∠AEF + ∠2 + ∠BEP = 180°（平角的定义），
∴ ∠BEP = 180° - ∠AEF - ∠2 = 180° - 62° - 62° = 56°。
【答案】
(1) ∠AEF=∠2；(2) ∠BEP=56°
【知识点】
平行线的性质，余角的定义，垂直的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质、角的互余关系及垂直的定义，解题时需结合图形，利用角的关系逐步推导，难度适中，能较好考查学生对基础几何知识的掌握情况。
【难度系数】
0.6
第(1)问要比较∠AEF和∠2的大小，需结合已知的垂直、互余和平行线的性质推导：先由EF⊥GF得∠EFG=90°，推出∠1+∠EFD=90°；再根据∠1与∠2互余，得∠1+∠2=90°，从而推出∠2=∠EFD；最后利用AB//CD，内错角相等得∠AEF=∠EFD，即可得到∠AEF=∠2。
第(2)问求∠BEP，先根据∠1和∠2互余，结合∠1的度数算出∠2；再利用第(1)问的结论∠AEF=∠2，结合平角为180°，计算∠BEP=180°-∠AEF-∠2，代入数值即可求解。
【解析】
(1) ∠AEF=∠2，理由如下：
∵ EF⊥GF（已知），
∴ ∠EFG=90°（垂直的定义），
∴ ∠1 + ∠EFD = 180° - ∠EFG = 180° - 90° = 90°（平角的定义）。
又
∵ ∠1和∠2互余（已知），
∴ ∠1 + ∠2 = 90°（互余的定义），
∴ ∠2 = ∠EFD（同角的余角相等）。
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠AEF = ∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠AEF = ∠2（等量代换）。
(2)
∵ ∠1和∠2互余，∠1=28°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 28° = 62°（互余的定义）。
由(1)知∠AEF=∠2，
∴ ∠AEF=62°，
∵ 点E在AB上，∠AEF + ∠2 + ∠BEP = 180°（平角的定义），
∴ ∠BEP = 180° - ∠AEF - ∠2 = 180° - 62° - 62° = 56°。
【答案】
(1) ∠AEF=∠2；(2) ∠BEP=56°
【知识点】
平行线的性质，余角的定义，垂直的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质、角的互余关系及垂直的定义，解题时需结合图形，利用角的关系逐步推导，难度适中，能较好考查学生对基础几何知识的掌握情况。
【难度系数】
0.6
23.(10分)小聪观察等式$(3a+b)(a+2b)=3a^2+7ab+2b^2$(按$a$降幂排序),发现如下规律:①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和:左边$(3+1)×(1+2)=4×3=12$,右边$3+7+2=12$,左边$=$右边;②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数:左边$3×1=3$,右边为3,左边$=$右边;左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数:左边$1×2=2$,右边为2,左边$=$右边。
(1)类比探究。请通过展开计算$(2a-b)(-a+2b)$,判断规律①和规律②是否成立。(类比小聪的表述写出必要的过程)
(2)基础应用。请根据上述规律填空:
①若$m,n$为常数,则$(a-b)(ma+nb)$的展开式中各项系数之和为
②若$t,r$为常数,满足$(ta-b)(a+rb)=2a^2-7ab+3b^2$,则$t^r=$
(3)拓展应用。
若$p,q$为常数,且$(2a-b)(a-pb)=2a^2+qab-2b^2$,请用上述发现规律列方程(组)求$p,q$的值。
(1)类比探究。请通过展开计算$(2a-b)(-a+2b)$,判断规律①和规律②是否成立。(类比小聪的表述写出必要的过程)
(2)基础应用。请根据上述规律填空:
①若$m,n$为常数,则$(a-b)(ma+nb)$的展开式中各项系数之和为
$0$
。②若$t,r$为常数,满足$(ta-b)(a+rb)=2a^2-7ab+3b^2$,则$t^r=$
$\dfrac{1}{8}$
。(3)拓展应用。
若$p,q$为常数,且$(2a-b)(a-pb)=2a^2+qab-2b^2$,请用上述发现规律列方程(组)求$p,q$的值。
答案
23.(1)$(2a-b)(-a+2b)=-2a^2+5ab-2b^2$,规律①②成立。理由如下:①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和:左边$[2+(-1)]×[(-1)+2]=1×1=1$,右边$(-2)+5+(-2)=1$,左边=右边;②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数:左边$2×(-1)=-2$,右边为$-2$,左边=右边;左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数:左边$(-1)×2=-2$,右边为$-2$,左边=右边。
(2)①根据规律①,右边展开式中多项式各项系数之和等于左边两个多项式各项系数之和的乘积,因为$(a-b)(ma+nb)$各项系数之和的乘积为$[1+(-1)](m+n)=0$,所以展开式中各项系数之和为0。故答案为:0。②$(ta-b)(a+rb)=2a^2-7ab+3b^2$,根据规律②,可得$t×1=2,-r=3$,所以$t=2,r=-3$。所以$t^r=2^{-3}=\dfrac{1}{8}$。故答案为:$\dfrac{1}{8}$。
(3)根据题意,得$\begin{cases} [2+(-1)]·[1+(-p)]=2+q+(-2), \\ (-1)·(-p)=-2, \end{cases}$所以$\begin{cases} 1-p=q, \\ p=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} p=-2, \\ q=3。 \end{cases}$
(2)①根据规律①,右边展开式中多项式各项系数之和等于左边两个多项式各项系数之和的乘积,因为$(a-b)(ma+nb)$各项系数之和的乘积为$[1+(-1)](m+n)=0$,所以展开式中各项系数之和为0。故答案为:0。②$(ta-b)(a+rb)=2a^2-7ab+3b^2$,根据规律②,可得$t×1=2,-r=3$,所以$t=2,r=-3$。所以$t^r=2^{-3}=\dfrac{1}{8}$。故答案为:$\dfrac{1}{8}$。
(3)根据题意,得$\begin{cases} [2+(-1)]·[1+(-p)]=2+q+(-2), \\ (-1)·(-p)=-2, \end{cases}$所以$\begin{cases} 1-p=q, \\ p=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} p=-2, \\ q=3。 \end{cases}$
解析
【分析】
本题是多项式乘法的规律探究题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先按多项式乘法法则展开目标式子，再分别计算左右两边多项式的系数和验证规律①，计算左右两边首项、末项系数乘积验证规律②；
2. 第(2)问：利用规律①计算展开式系数和，利用规律②的首项、末项系数关系求t和r，进而计算$t^r$；
3. 第(3)问：结合规律①、②列出方程组，求解p和q的值。
【解析】
(1) 展开计算：
$(2a-b)(-a+2b)=2a·(-a)+2a·2b+(-b)·(-a)+(-b)·2b=-2a^2+5ab-2b^2$。
验证规律①：左边系数和乘积为$[2+(-1)]×[(-1)+2]=1×1=1$，右边系数和为$(-2)+5+(-2)=1$，左边=右边，规律①成立；
验证规律②：左边首项系数乘积为$2×(-1)=-2$，右边首项系数为-2，相等；左边末项系数乘积为$(-1)×2=-2$，右边末项系数为-2，相等，规律②成立。
(2) ① 根据规律①，展开式系数和等于左边两多项式系数和的乘积，左边系数和为$[1+(-1)](m+n)=0$，故答案为0；
② 根据规律②，首项系数乘积$t×1=2$得$t=2$，末项系数乘积$(-1)×r=3$得$r=-3$，则$t^r=2^{-3}=\dfrac{1}{8}$，故答案为$\dfrac{1}{8}$。
(3) 根据规律①：左边系数和乘积为$[2+(-1)]·[1+(-p)]=1-p$，右边系数和为$2+q-2=q$，得$1-p=q$；
根据规律②：末项系数乘积$(-1)·(-p)=p=-2$；
联立方程组$\begin{cases}1-p=q \\ p=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=-2 \\ q=3\end{cases}$。
【答案】
(1) $(2a-b)(-a+2b)=-2a^2+5ab-2b^2$，规律①②成立，理由见解析；
(2) ① $0$；② $\dfrac{1}{8}$；
(3) $p=-2$，$q=3$。
【知识点】
多项式乘多项式、整式运算、规律探究
【点评】
本题通过具体多项式乘法的系数关系总结规律，考查学生的观察归纳与规律应用能力，需准确理解并运用总结的规律解题。
【难度系数】
0.6
本题是多项式乘法的规律探究题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先按多项式乘法法则展开目标式子，再分别计算左右两边多项式的系数和验证规律①，计算左右两边首项、末项系数乘积验证规律②；
2. 第(2)问：利用规律①计算展开式系数和，利用规律②的首项、末项系数关系求t和r，进而计算$t^r$；
3. 第(3)问：结合规律①、②列出方程组，求解p和q的值。
【解析】
(1) 展开计算：
$(2a-b)(-a+2b)=2a·(-a)+2a·2b+(-b)·(-a)+(-b)·2b=-2a^2+5ab-2b^2$。
验证规律①：左边系数和乘积为$[2+(-1)]×[(-1)+2]=1×1=1$，右边系数和为$(-2)+5+(-2)=1$，左边=右边，规律①成立；
验证规律②：左边首项系数乘积为$2×(-1)=-2$，右边首项系数为-2，相等；左边末项系数乘积为$(-1)×2=-2$，右边末项系数为-2，相等，规律②成立。
(2) ① 根据规律①，展开式系数和等于左边两多项式系数和的乘积，左边系数和为$[1+(-1)](m+n)=0$，故答案为0；
② 根据规律②，首项系数乘积$t×1=2$得$t=2$，末项系数乘积$(-1)×r=3$得$r=-3$，则$t^r=2^{-3}=\dfrac{1}{8}$，故答案为$\dfrac{1}{8}$。
(3) 根据规律①：左边系数和乘积为$[2+(-1)]·[1+(-p)]=1-p$，右边系数和为$2+q-2=q$，得$1-p=q$；
根据规律②：末项系数乘积$(-1)·(-p)=p=-2$；
联立方程组$\begin{cases}1-p=q \\ p=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=-2 \\ q=3\end{cases}$。
【答案】
(1) $(2a-b)(-a+2b)=-2a^2+5ab-2b^2$，规律①②成立，理由见解析；
(2) ① $0$；② $\dfrac{1}{8}$；
(3) $p=-2$，$q=3$。
【知识点】
多项式乘多项式、整式运算、规律探究
【点评】
本题通过具体多项式乘法的系数关系总结规律，考查学生的观察归纳与规律应用能力，需准确理解并运用总结的规律解题。
【难度系数】
0.6
