17. (8分)(包头中考改编)如图,点E是正方形ABCD 内的一点,连接 AE,BE,CE,将$△ ABE$绕点 B 顺时针旋转$90^{\circ }$到$△ CBE'$的位置.若$AE=1,BE=2,CE=3$,求$∠ AEB$的度数.

17. 连接 $EE'.\because\ △ ABE$ 绕点 B 顺时针旋转 $90°$ 到 $△ CBE'$ 的位置,$\therefore\ ∠ EBE'=90°$,$\therefore\ △ EBE'$ 是直角三角形.$\because\ △ ABE$ 与 $△ CBE'$ 全等,$\therefore\ BE=BE'=2$,$∠ AEB=∠ CE'B$,$\therefore\ ∠ BEE'=∠ BE'E=45°$,$\therefore\ EE'^2=2^2+2^2=8,AE=CE'=1$.又 $EC=3$,$EC^2=E'C^2+EE'^2$,$\therefore\ △ EE'C$ 是直角三角形,$\therefore\ ∠ EE'C=90°$,$\therefore\ ∠ BE'C=∠ BE'E+∠ EE'C=135°$,$\therefore\ ∠ AEB=135°$.

18. (9分)(2026·沈阳期末)如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,EF为折痕,使其对角顶点A与C重合,D与G重合.若长方形的长BC为4,宽AB为2.
(1)求DE的长;
(2)求EF的长;
(3)求阴影部分$△ GED$的面积.

数学八上(SK)

18. (1)由折叠可知 $DE=GE$.设 $DE=x$,则 $AE=4-x$,在Rt$△ AEG$ 中,$AG^2+GE^2=AE^2$,$\therefore\ 4+x^2=(4-x)^2$,解得 $x=\frac32$,$\therefore\ DE=\frac32$.
(2)如图,过点 F 作 $FH⊥ AD$ 于点 H,则 $FH=2$,在 Rt$△ ABF$ 中,$\because\ AF=FC$,由勾股定理得 $BF^2=AF^2-AB^2$,即 $BF^2=(4-BF)^2-4$,$\therefore\ BF=AH=\frac32.\because\ AE=AD-DE=\frac52$,

$\therefore\ EH=AE-AH=1$,$\therefore\ EF^2=2^2+1^2=5$,$\therefore\ EF=\sqrt5$.
(3)如图,过点 G 作 $GM⊥ AD$ 于点 M,$\because\ GE=DE=\frac32,AE=\frac52,AG=2$,且 $\frac12AG· GE=\frac12AE· GM$,$\therefore\ GM=\frac65$,$\therefore\ S_{△ GED}=\frac12· GM· DE=\frac9{10}$.

19. (13 分) (扬州中考改编) 我们规定: 三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差. 如图①, 在 $△ ABC$ 中, $AO$ 是 $BC$ 边上的中线, $AB$ 与 $AC$ 的“极化值”就等于 $AO^2-BO^2$ 的值, 可记为 $AB\ \Delta\ AC = AO^2-BO^2$.
(1) 在图①中, 若 $∠ BAC=90°, AB=8, AC=6$, $AO$ 是 $BC$ 边上的中线, 则 $AB\ \Delta\ AC=$ , $OC\ \Delta\ OA=$ .
(2) 如图②, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC=4$, $∠ BAC=120°$, 求 $AB\ \Delta\ AC, BA\ \Delta\ BC$ 的值.
(3) 如图③, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC, AO$ 是 $BC$ 边上的中线, 点 $N$ 在 $AO$ 上, 且 $ON=\dfrac{1}{3}AO$. 已知 $AB\ \Delta\ AC=14, BN\ \Delta\ BA=10$, 求 $BC$ 的长.

题中题 096

19. (1)0 7 解析:$\because\ ∠ BAC=90°,AB=8,AC=6$,$\therefore\ BC=10$,$\therefore\ BO=\frac12BC=5.\because\ ∠ BAC=90°,AO$ 是斜边 BC 上的中线,$\therefore\ AO=\frac12BC=5$,$\therefore\ AB\ △\ AC=AO^2-BO^2=25-25=0$.如图①,取 AC 的中点 M,连接 OM,$\therefore\ CM=\frac12AC=3.\because\ AO=CO=5$,$\therefore\ OM⊥ AC$,$\therefore\ ∠ OMC=90°$,$\therefore\ OM^2=OC^2-CM^2=5^2-3^2=16$,$\therefore\ OC\ △\ OA=OM^2-CM^2=16-9=7$.
(2)如图②,过点 A 作 $AD⊥ BC$ 于点 D.$\because\ AB=AC,∠ BAC=120°$,$\therefore\ AD$ 为边 BC 上的中线,$∠ ABC=\frac12(180°-∠ BAC)=30°$.在 Rt$△ ABD$ 中,$\because\ AB=4,∠ ABC=30°$,易得 $AD=\frac12AB=2$,$\therefore\ BD^2=AB^2-AD^2=4^2-2^2=12$,$\therefore\ AB\ △\ AC=AD^2-BD^2=2^2-12=4-12=-8$.过点 B 作 $BE⊥ AC$,交CA 的延长线于点 E,取 AC 的中点 F,连接 BF,$\therefore\ AF=\frac12AC=2$,$∠ BEA=90°$,$\therefore\ ∠ ABE=∠ BAC-∠ BEA=120°-90°=30°$.在 Rt$△ ABE$ 中,$\because\ AB=4,∠ ABE=30°$,易得 $AE=\frac12AB=2$,$\therefore\ BE^2=AB^2-AE^2=4^2-2^2=12$.在 Rt$△ BEF$ 中,$\because\ BE^2=12,EF=AE+AF=2+2=4$,$\therefore\ BF^2=BE^2+EF^2=12+16=28$,$\therefore\ BA\ △\ BC=BF^2-AF^2=28-4=24$.
(3)如图③,取 AN 的中点 M,连接 BM.$\because\ ON=\frac13AO$,$\therefore\ $ 设$AM=MN=NO=x.\because\ AB\ △\ AC=AO^2-BO^2=9x^2-BO^2=14$,$\therefore\ BO^2=9x^2-14.\because\ BN\ △\ BA=BM^2-AM^2=BM^2-x^2=10$,$\therefore\ BM^2=x^2+10.\because\ BO^2+OM^2=BM^2$,$\therefore\ (9x^2-14)+4x^2=x^2+10$,得 $x^2=2$,$\therefore\ BO^2=9x^2-14=4$,$\therefore\ BO=2,BC=2BO=4$.