11. (2025·太原期中)包装纸箱是我们生活中常见的物品.如图①,创意 DIY 小组的同学将一个 $10\ \mathrm{cm}×30\ \mathrm{cm}×40\ \mathrm{cm}$ 的长方体纸箱裁去一部分(虚线为裁剪线),得到如图②所示的简易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点 A 出发,沿书架内壁爬行到顶点 B 处,则它爬行的最短距离为cm.

11. 50 解析:如图,把书架侧面展开,A,B 点如图所示,连接 A,B,则爬行最短距离为 AB 的长,由图可知 $OA=30+10=40(\mathrm{cm}),OB=40-10=30(\mathrm{cm})$,在 Rt$△ AOB$ 中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{40^2+30^2}=50(\mathrm{cm})$,则它爬行的最短距离为 50 cm.

12. (2025·衡阳期末) 如图,在$△ ABC$中,$AC=6$,$BC=8$,$AB=10$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,若$P,Q$分别是$AD$和$AC$上的动点,则$PC+PQ$的最小值是.

12. $\frac{24}5$ 解析:如图,过点 C 作 $CQ'⊥ AB$ 于点 $Q'$,交 AD 于点P,过点 P 作 $PQ⊥ AC$ 于点 $Q$,$\because\ AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线,$\therefore\ PQ=PQ'$,根据垂线段最短可知,此时 $PC+PQ$ 有最小值,最小值为 $CQ'$ 的长.$\because\ AC=6,BC=8,AB=10$,$\therefore\ AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore\ ∠ ACB=90°$,$\therefore\ S_{△ ABC}=\frac12AC· BC=\frac12AB· CQ'$,$\therefore\ CQ'=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}5$,$\therefore\ PC+PQ$ 的最小值为$\frac{24}5$.

13. (2024·陕西中考) 如图,在$△ ABC$中,$AB=$$AC$,$E$是边$AB$上一点,连接$CE$,在$BC$右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接$CF$.若$AC=13$,$BC=10$,则四边形$EBFC$的面积为.

13. 60 解析:$\because\ AB=AC$,$\therefore\ ∠ ABC=∠ ACB.\because\ BF// AC$,$\therefore\ ∠ ACB=∠ CBF$,$\therefore\ ∠ ABC=∠ CBF$,$\therefore\ BC$ 平分 $∠ ABF$.如图,过点 C 作 $CM⊥ AB,CN⊥ BF$,则 $CM=CN.\because\ S_{△ ACE}=\frac12AE· CM,S_{△ CBF}=\frac12BF· CN$,且 $BF=AE$,$\therefore\ S_{△ CBF}=S_{△ ACE}$,$\therefore\ $ 四边形 EBFC 的面积 $=S_{△ CBF}+S_{△ CBE}=S_{△ ACE}+S_{△ CBE}=S_{△ CBA}.\because\ AC=13$,$\therefore\ AB=13$,设 $AM=x$,则 $BM=13-x$,由勾股定理,得 $CM^2=AC^2-AM^2=BC^2-BM^2$,$\therefore\ 13^2-x^2=10^2-(13-x)^2$,解得 $x=\frac{119}{13}$,$\therefore\ CM=\sqrt{13^2-(\frac{119}{13})^2}=\frac{120}{13}$,$\therefore\ S_{△ CBA}=\frac12AB· CM=60$,$\therefore\ $ 四边形 EBFC 的面积为 60.

14. 如图,直角三角形$DEF$中,$∠ DFE=90°$,在直角三角形外面作正方形$ABDE,CDFI,EFGH$,面积分别为25,9,16,$△ AEH$,$△ BDC$,$△ GFI$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$, 则$S_1+S_2+S_3=$.

14. 18 解析:过点 A 作 $AM⊥ EH$,交 HE 的延长线于点 M.$\because\ $ 正方形 ABDE,CDFI,EFGH 的面积分别为 25,9,16,$\therefore\ AE=DE=5,EF=FG=4,DF=FI=3$,$∠ AED=∠ HEF=90°=∠ MEF$,$\therefore\ ∠ AEM=∠ DEF$,且 $∠ AME=∠ DFE,AE=DE$,$\therefore\ △ AME≌△ DFE(\mathrm{AAS})$,$\therefore\ AM=DF.\because\ S_1=\frac12EH· AM,S_{△ DEF}=\frac12· EF· DF$,$\therefore\ S_1=S_{△ DEF}$.同理可得 $S_2=S_{△ DEF},S_3=S_{△ DEF}$,$\therefore\ S_1+S_2+S_3=3S_{△ DEF}=3×\frac12×4×3=18$.

三、解答题(共44分)
15. (6 分)(泰州中考)如图, $△ A B C$ 中, $∠ C=$$90°, A C=4, B C=8$.
(1)用直尺和圆规作 $A B$ 的垂直平分线(保留作图痕迹,不要求写作法)；
(2)若(1)中所作的垂直平分线交 $B C$ 于点$D$,求 $B D$ 的长.

15. (1)如图,直线 MN 即为所求.

(2)如图,$\because\ MN$ 垂直平分线段 $AB$,$\therefore\ DA=DB$,设 $DA=DB=x$.在Rt$△ ACD$ 中,$\because\ AD^2=AC^2+CD^2$,$\therefore\ x^2=4^2+(8-x)^2$,解得 $x=5$,$\therefore\ BD=5$.

16. (8分)为整治城市街道的汽车超速现象,交警大队在某街道旁进行了流动测速.如图,一辆小汽车在某城市街道上直行,某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A 60 m的C处,过了4 s后,小汽车到达离车速检测仪A 100 m的B处($AC⊥ BC$),已知该段城市街道的限速为60 km/h,请问这辆小汽车是否超速?

16. 超速. 理由如下:在 Rt$△ ABC$ 中,$AC=60\ \mathrm{m},AB=100\ \mathrm{m}$,由勾股定理可得 $BC^2=AB^2-AC^2=100^2-60^2=80^2$,$\therefore\ BC=80\ \mathrm{m}$,$\therefore\ $ 这辆小汽车的平均速度为 $80÷4=20(\mathrm{m/s})=72(\mathrm{km/h}).\because\ 72＞60$,$\therefore\ $ 这辆小汽车超速了.