1. (2026 · 盐城期中) 如图，△ ABC 的外角∠ ACN,∠ MAC 的平分线 交于点 P，PE ⊥ BM 于点 E，PF ⊥ BN 于点 F，下列结论中：①△ ABC 的周长为 2BE；②∠ EPF=2∠ APC；③连接 EF，则 EF 垂直平分线段 BP；④△ PAC的面积为 △ EAP 与 △ FCP 的面积和；⑤2∠ CPB=∠ BAC.其中正确的是 （ ）


A.②③④⑤
B.①②④⑤
C.①③④⑤
D.①②③④⑤

1. B 解析:①如图①所示,过点 P 作 $PD ⊥ AC$ 于点 D, $\because CP$ 平分 $∠ ACN, PD ⊥ AC, PF ⊥ CN, \therefore PD = PF$. 又 $\because PC = PC$, $\therefore \mathrm{Rt} △ PCD ≌ \mathrm{Rt} △ PCF \ (\mathrm{HL})$, 同理, $PE = PD$, $\mathrm{Rt} △ PAE ≌ \mathrm{Rt} △ PAD(\mathrm{HL})$, $\therefore AE = AD, CD = CF$, $\therefore PE = PF$, $\therefore BP$ 平分 $∠ MBN. \because PE = PF, PE ⊥ BM, PF ⊥ CN, BP = BP, \therefore \mathrm{Rt} △ PBE ≌ \mathrm{Rt} △ PBF \ (\mathrm{HL})$, $\therefore BE = BF$, $\therefore △ ABC$ 的周长为 $AB + AC + BC = AB + AD + BC + CD = AB + AE + BC + CF = BE + BF = 2BE$, 故①正确,符合题意;②由 $\mathrm{Rt} △ PCD ≌ \mathrm{Rt} △ PCF$ 和 $\mathrm{Rt} △ PAE ≌ \mathrm{Rt} △ PAD$ 得 $∠ CPD = ∠ CPF, ∠ APE = ∠ APD, \therefore ∠ EPF = ∠ APE + ∠ APD + ∠ CPD + ∠ CPF = 2∠ APD + 2∠ CPD = 2∠ APC$, 故②正确,符合题意;③如图①所示,连接 EF, 由 $BE = BF$ 和 $PE = PF$, 得 BP 垂直平分线段 EF, 而非 EF 垂直平分线段 BP, 故③错误,不符合题意;④由 $\mathrm{Rt} △ PCD ≌ \mathrm{Rt} △ PCF$ 和 $\mathrm{Rt} △ PAE ≌ \mathrm{Rt} △ PAD$ 得 $△ PAC$ 的面积为 $△ EAP$ 与 $△ FCP$ 的面积和, 故④正确,符合题意;⑤如图②, 在 BM 上靠近点 B 侧取 $C'$, 使 $PC' = PC, \therefore \mathrm{Rt} △ PEC' ≌ \mathrm{Rt} △ PFC(\mathrm{HL}), \therefore C'E = CF. \because BE = BF, \therefore BC' = BC$. 又 $BP = BP, \therefore △ BPC' ≌ △ BPC \ (\mathrm{SSS}), \therefore ∠ C'PB = ∠ CPB$, 在四边形 ADPE 中, $∠ AEP = ∠ ADP = 90°, \therefore ∠ EAD + ∠ DPE = 180°$, 又 $∠ EAD + ∠ BAC = 180°, \therefore ∠ DPE = ∠ BAC. \because \mathrm{Rt} △ PCD ≌ \mathrm{Rt} △ PCF$ 和 $\mathrm{Rt} △ PEC' ≌ \mathrm{Rt} △ PFC, \therefore ∠ C'PE = ∠ CPD, \therefore ∠ CPC' = ∠ DPE, \therefore ∠ CPC' = ∠ BAC$, 即 $2∠ CPB = ∠ BAC$, 故⑤正确,符合题意. 综上,①②④⑤正确,符合题意,故选 B.

2. (2026·宿迁期中) 如图,在$△ ABC$中,$D$为$AB$中点,$DE ⊥ AB$,$∠ ACE + ∠ BCE = 180°$,$EF ⊥ BC$于点$F$,$AC=7$,$BC=10$,则$BF$的长为.

2. $\frac{17}{2}$ 解析:如图,连接 AE, 过点 E 作 $EG ⊥ AC$ 交 AC 的延长线于点 G, $\because D$ 为 AB 中点, $DE ⊥ AB, \therefore EA = EB. \because ∠ ACE + ∠ BCE = 180°, ∠ ACE + ∠ ECG = 180°, \therefore ∠ ECG = ∠ BCE. \because EF ⊥ BC, EG ⊥ AC, \therefore EG = EF$. 在 $\mathrm{Rt} △ EFC$ 和 $\mathrm{Rt} △ EGC$ 中, $\begin{cases} EC = EC, \\ EF = EG, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt} △ EFC ≌ \mathrm{Rt} △ EGC \ (\mathrm{HL}), \therefore CF = CG$. 在 $\mathrm{Rt} △ BEF$ 和 $\mathrm{Rt} △ AEG$ 中, $\begin{cases} BE = AE, \\ EF = EG, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt} △ BEF ≌ \mathrm{Rt} △ AEG \ (\mathrm{HL}), \therefore BF = AG, \therefore 10 - CF = 7 + CF, \therefore CF = \frac{3}{2}, \therefore BF = BC - CF = 10 - \frac{3}{2} = \frac{17}{2}$.

3. (2026·苏州期中) 如图,直线 $m ⊥ n$,垂足为点$O$,点$A$在直线$n$上,且 $OA=3$,点$P$是直线$m$上的一个动点,连接$AP$,将线段$AP$绕着点$A$按逆时针方向旋转$120°$得到线段$AQ$,点$Q$是点$P$的对应点,连接$OQ$,则$OQ$的最小值为.

3. $\frac{9}{2}$ 解析:如图,将线段 OA 绕着点 A 按逆时针方向旋转 $120°$ 得到线段 AM, 作直线 MQ, 交直线 n 于点 K, 交直线 m 于点 L, $\because$ 直线 $m ⊥ n$, 垂足为点 O, $\therefore ∠ AOP = 90°$, 由旋转可知 $AP = AQ, OA = AM, ∠ PAQ = ∠ OAM = 120°$, $\therefore ∠ OAP = ∠ MAQ, \therefore △ AOP ≌ △ AMQ \ (\mathrm{SAS}), \therefore ∠ AOP = ∠ AMQ = 90°. \because ∠ OAM = 120°, \therefore ∠ MKA = ∠ OAM - ∠ AMK = 120° - 90° = 30°, \therefore$ 点 Q 在直线 KL 上运动, 当 $OQ ⊥ KL$ 时 OQ 有最小值, 在 $\mathrm{Rt} △ AMK$ 中, $OA = AM = 3, ∠ MKA = 30°, \therefore AK = 2AM = 6, \therefore OK = OA + AK = 3 + 6 = 9$, 当 OQ 最小时, 在 $\mathrm{Rt} △ OKQ$ 中, $OK = 9, ∠ MKA = 30°, \therefore OQ = \frac{1}{2}OK = \frac{9}{2}$, 即 OQ 的最小值为 $\frac{9}{2}$.

4. (2026·泰州期中)(1)如图①，$AC ⊥ BC$，$DC ⊥ EC$，$AC=BC$，$DC=EC$。求证：$BD=AE$。
(2)如图②，$△ ABC$中，点$P$为三角形内一点，$PQ // BC$交$AB$于点$Q$，过点$P$的直线分别交$BC$，$AC$于点$D$，$E$，若$∠ AQP + ∠ AEP = 180°$，$∠ A=70°$，求$∠ CDE$。
(3)如图③，在(1)的条件下，点$G$为边$BC$上的动点，连接$EG$，$DG$，点$N$为$DG$中点，以$EG$为斜边，在$EG$上方作等腰直角$△ EGM$，在点$G$从点$C$运动到点$B$的过程中，$∠ MCN$的大小是否发生改变？若不改变，求出$∠ MCN$的大小；若发生改变，请说明理由。

4. (1) $\because AC ⊥ BC, DC ⊥ EC, \therefore ∠ ACB = ∠ DCE = 90°$, $\therefore ∠ BCD = ∠ ACE = 90° + ∠ ACD$. 又 $\because BC = AC, DC = EC$, $\therefore △ BCD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS}), \therefore BD = AE$.
(2) $\because ∠ AQP + ∠ AEP = 180°, \therefore ∠ A + ∠ EPQ = 360° - (∠ AQP + ∠ AEP) = 180°. \because ∠ A = 70°, \therefore ∠ EPQ = 110°$, $\therefore ∠ DPQ = 180° - ∠ EPQ = 70°. \because PQ // BC, \therefore ∠ CDE = ∠ DPQ = 70°$.
(3) 不改变. 理由:如图, 延长 CN 至点 F, 使 $CN = FN$, 连接 FG 并延长交 CE 于点 K, 连接 MF. $\because N$ 是 DG 的中点, $\therefore DN = NG. \because ∠ CND = ∠ FNG$, $\therefore △ CND ≌ △ FNG(\mathrm{SAS}), \therefore CD = FG$, $∠ D = ∠ FGN, \therefore CD // FG. \because CD = CE, \therefore FG = CE. \because DC ⊥ CE, \therefore FG ⊥ CE, \therefore ∠ FKE = 90°$. $\because △ EGM$ 为等腰直角三角形, $\therefore ∠ GME = 90°, GM = EM$, $\therefore ∠ GME + ∠ GKE = 180°, \therefore ∠ MGK + ∠ MEK = 180°. \because ∠ MGK + ∠ FGM = 180°, \therefore ∠ FGM = ∠ MEK$. 又 $\because FG = CE, GM = EM, \therefore △ MGF ≌ △ MEC \ (\mathrm{SAS}), \therefore MF = MC, ∠ FMG = ∠ CME, \therefore ∠ FMG + ∠ CMG = ∠ CME + ∠ CMG = 90°$, $\therefore △ MFC$ 为等腰直角三角形, $\therefore ∠ MCN = 45°, \therefore$ 在点 G 从点 C 运动到点 B 的过程中, $∠ MCN$ 的大小不发生改变, 始终为 $45°$.