5. (2026·扬州期中) 如图,在三角形$ABC$中,$∠ ACB=90°, AC=BC, AD$平分$∠ BAC, CE ⊥ AD$交$AB$于$E$,点$G$是$AD$上的一点,且$∠ ACG=45°$,连接$BG$交$CE$于$P$,连接$DP$,下列结论:
①$AC=AE$; ②$CD=BE$; ③$BG+2DP=AD$; ④$PG=PE$.其中正确的有（）


A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

5. B 解析:如图, 设 CE 与 AD 交于点 O, $\because ∠ ACB = 90°, AC = BC, \therefore ∠ ABC = ∠ BAC = 45°. \because AD$ 平分 $∠ BAC$, $\therefore ∠ CAD = ∠ BAD = 22.5°. \because CE ⊥ AD, \therefore ∠ AOC = ∠ AOE = 90°, \therefore ∠ ACO = ∠ AEO = 67.5°$, $\therefore AC = AE$, 故①正确; $\because ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ BCE = ∠ CAG = 22.5°$, 在 $△ ACG$ 和 $△ CBE$ 中, $\begin{cases} ∠ CAG = ∠ BCE, \\ AC = CB, \\ ∠ ACG = ∠ CBE, \end{cases} \therefore △ ACG ≌ △ CBE(\mathrm{ASA}), \therefore CG = BE. \because ∠ ACB = 90°, \therefore ∠ ADC = 67.5°$. $\because ∠ CGD = ∠ CAD + ∠ ACG = 22.5° + 45° = 67.5°, \therefore ∠ ADC = ∠ CGD = 67.5°, \therefore CD = CG, \therefore CD = BE$, 故②正确; $\because CE ⊥ AD, \therefore DO = GO, \therefore CE$ 垂直平分 DG, $\therefore DP = PG. \because ∠ ACG = ∠ BCG = 45°, \therefore$ 可知 CG 所在直线垂直平分 AB, $\therefore BG = AG, \therefore AD = AG + DG = BG + DG, DG ≠ 2DP$, 故③错误; $\because BG = AG, \therefore ∠ GAB = ∠ GBA = ∠ PCG = 22.5°$, 由上可知 $CG = BE$. 在 $△ PBE$ 和 $△ PCG$ 中, $\begin{cases} ∠ PBE = ∠ PCG, \\ ∠ BPE = ∠ CPG, \\ BE = CG, \end{cases} \therefore △ PBE ≌ △ PCG(\mathrm{AAS}), \therefore PG = PE$, 故④正确. 综上,①②④正确, 故选 B.

6. (2026·徐州期中) 如图，$∠ AOB = 120°$，$OP$平分$∠ AOB$，且$OP = 2$. 若点$M,N$分别在$OA$，$OB$上，且$△ PMN$为等边三角形，则满足上述条件的$△ PMN$有个.

6. 无数 解析:如图, 过点 P 作 $PM ⊥ OA$ 于点 M, $PN ⊥ OB$ 于点 N, $\because OP$ 平分 $∠ AOB, \therefore PM = PN, ∠ PMO = 90°, ∠ PNO = 90°, \therefore ∠ MPN = 360° - ∠ AOB - ∠ PMO - ∠ PNO = 60°$, 此时 $△ PMN$ 是等边三角形. 当 M 向 O 移动, N 向 B 移动, 且 $∠ MPM_1 = ∠ NPN_1$ 时, $∠ M_1PN_1 = ∠ M_1PN + ∠ NPN_1 = ∠ M_1PN + ∠ MPM_1 = ∠ MPN = 60°$, 在 $△ MPM_1$ 和 $△ NPN_1$ 中, $\begin{cases} ∠ PMM_1 = ∠ PNN_1, \\ PM = PN, \\ ∠ MPM_1 = ∠ NPN_1, \end{cases} \therefore △ MPM_1 ≌ △ NPN_1(\mathrm{ASA}), \therefore PM_1 = PN_1. \therefore △ PM_1N_1$ 是等边三角形, 同理: 当 M 向 A 移动, N 向 O 移动, 且 $∠ MPM_1 = ∠ NPN_1$ 时, 都有 $△ PMN$ 是等边三角形. 综上, 满足条件的 $△ PMN$ 有无数个.

7. (2026·常州期中)如图,若$△ ABC$为等腰直角三角形,$AC=BC=5,∠ BCD=15°,P$为射线$CD$上的动点,则$|PA-PB|$的最大值是.

7. 5 解析:如图, 作点 A 关于 CD 的对称点 $A'$, 连接 $A'C, AA'$, 连接 $A'B$ 交 CD 于 P, 则点 P 就是使 $|PA - PB|$ 的值最大的点, $|PA - PB| = A'B. \because △ ABC$ 为等腰直角三角形, $AC = BC = 5, \therefore ∠ CAB = ∠ ABC = 45°, ∠ ACB = 90°. \because ∠ BCD = 15°$, $\therefore ∠ ACD = 75°, \therefore ∠ CAA' = 15°. \because AC = A'C, \therefore A'C = BC$, $∠ CA'A = ∠ CAA' = 15°, \therefore ∠ ACA' = 150°. \because ∠ ACB = 90°$, $\therefore ∠ A'CB = 60°, \therefore △ A'BC$ 是等边三角形, $\therefore A'B = BC = 5$.

8. (2026·南京期中)(1) 如图①,在等边三角形
$ABC$ 中,点 $D$ 在 $BC$ 上,$CD$ 的垂直平分线交
$BA$ 的延长线于点 $E$,连接 $ED,EC,DE$ 交 $AC$ 于点 $F$.
【特殊化】
(Ⅰ)当点 $D$ 与点 $C$ 重合时,如图②,直接写出
$AE$ 与 $BD$ 的数量关系:.
【一般化】
(Ⅱ)当点 $D$ 与点 $C$ 不重合时,如图①,判断
$AE$ 与 $BD$ 的数量关系,并说明理由.
【应用】
(2) 如图③,$ED=EC$,点 $A$ 在 $△ DEC$ 外,$∠ DAE=120°$,$∠ ADC=60°$,$AD$ 交 $CE$ 于点 $F$,若 $AE=CD$,直接写出 $AF$ 与 $DF$ 的数量关系:.

8. (1) (Ⅰ) $AE = BD$ 解析: $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ B = ∠ ACB = 60°. \because ED ⊥ BC$, 点 D 与点 C 重合, $\therefore ∠ BCE = 90°, \therefore ∠ E = 90° - ∠ B = 30°, ∠ ACE = 90° - ∠ ACB = 30°$, $\therefore ∠ E = ∠ ACE = 30°, \therefore AE = AC = BD$.
(Ⅱ) $AE = BD$. 理由: 如图①, 在线段 BE 上截取 $BG = BD$, $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ B = ∠ BAC = ∠ ACB = 60°$, $\therefore △ BDG$ 是等边三角形, $\therefore ∠ B = ∠ BDG = ∠ BGD = 60°$, $BG = BD = DG, \therefore ∠ DGE = ∠ EAC = 180° - 60° = 120°$, 由线段的垂直平分线得 $DE = EC, \therefore ∠ EDC = ∠ ECD, \therefore ∠ DEG = ∠ EDC - ∠ B = ∠ EDC - 60°, ∠ ECA = ∠ ECD - ∠ ACB = ∠ ECD - 60°, \therefore ∠ DEG = ∠ ECA, \therefore △ EDG ≌ △ CEA \ (\mathrm{AAS}), \therefore AE = DG, \therefore AE = BD$.

(2) $DF = 3AF$ 解析: 如图②, 延长 EA, DC 相交于点 M, 在线段 MA 上截取 $MG = CM$, 连接 CG, 过点 C 作 $CH // AM$, 交 AD 于点 H. $\because ∠ DAE = 120°, \therefore ∠ DAM = 180° - ∠ DAE = 60°. \because ∠ ADC = 60°, \therefore ∠ M = 180° - ∠ ADC - ∠ DAM = 60°$. $\because CH // AM, \therefore ∠ DHC = ∠ DAM = 60°, ∠ DCH = ∠ M = 60°$, $\therefore △ ADM, △ GCM, △ DHC$ 为等边三角形, $\therefore DC = DH = CH$, $DM = AM = AD, CG = CM = GM. \because ED = EC, \therefore ∠ EDC = ∠ ECD$, $\therefore ∠ DEA = 180° - ∠ M - ∠ EDC = 120° - ∠ EDC, ∠ ECG = 180° - ∠ GCM - ∠ ECD = 120° - ∠ ECD, \therefore ∠ DEA = ∠ ECG$. 又 $\because ∠ DAE = ∠ EGC = 180° - ∠ CGM = 120°, \therefore △ DAE ≌ △ EGC \ (\mathrm{AAS}), \therefore AE = CG$. 又 $\because AE = CD, \therefore$ 根据线段的和差及等边三角形的性质得 $AE = CD = CH = DH = CM = GM = AG = CG = AH. \because CH // AM, \therefore ∠ FHC = ∠ FAE, ∠ FCH = ∠ FEA, \therefore △ FAE ≌ △ FHC \ (\mathrm{ASA}), \therefore AF = HF$, 即 $AH = 2AF. \therefore AD = 4AF$, $\therefore DF = 3AF$.