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1. 如图，$□ ABCD$的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 （）
A.$AB=BC$
B.$AD=BC$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥ BD$
A.$AB=BC$
B.$AD=BC$
C.$OA=OB$
D.$AC⊥ BD$
答案
B
解析
根据平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等，对角线互相平分，逐一判断选项：
选项A：$AB=BC$是邻边相等，仅菱形满足，普通平行四边形邻边不一定相等，该结论错误；
选项B：平行四边形对边相等，$AD$和$BC$是对边，因此$AD=BC$，该结论一定正确；
选项C：$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，普通平行四边形对角线不相等，因此$OA≠OB$，仅矩形满足$OA=OB$，该结论错误；
选项D：$AC⊥BD$是菱形的性质，普通平行四边形对角线不互相垂直，该结论错误。
选项A：$AB=BC$是邻边相等，仅菱形满足，普通平行四边形邻边不一定相等，该结论错误；
选项B：平行四边形对边相等，$AD$和$BC$是对边，因此$AD=BC$，该结论一定正确；
选项C：$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，普通平行四边形对角线不相等，因此$OA≠OB$，仅矩形满足$OA=OB$，该结论错误；
选项D：$AC⊥BD$是菱形的性质，普通平行四边形对角线不互相垂直，该结论错误。
2. 如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC=3 cm,∠A=60°,BD平分∠ABC,则梯形的周长 （）
A.12 cm
B.15 cm
C.18 cm
D.21 cm
A.12 cm
B.15 cm
C.18 cm
D.21 cm
答案
B
解析
1. 由等腰梯形性质得：∠ABC=∠A=60°，因BD平分∠ABC，故∠ABD=∠DBC=30°。
2. 在△ABD中，∠A=60°，∠ABD=30°，得∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形，因此AB=2AD=2×3=6cm。
3. 由AB//CD，得内错角∠CDB=∠ABD=30°，故∠CDB=∠DBC，推出CD=BC=3cm。
4. 梯形周长=AD+BC+CD+AB=3+3+3+6=15cm。
2. 在△ABD中，∠A=60°，∠ABD=30°，得∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形，因此AB=2AD=2×3=6cm。
3. 由AB//CD，得内错角∠CDB=∠ABD=30°，故∠CDB=∠DBC，推出CD=BC=3cm。
4. 梯形周长=AD+BC+CD+AB=3+3+3+6=15cm。
3. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，若$∠ A=45°$，$∠ CED=70°$，则$∠ C$的度数为（）
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
D
解析
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CDE=∠A=45°，
在△CDE中，由三角形内角和为180°得：
∠C=180°-∠CDE-∠CED=180°-45°-70°=65°。
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CDE=∠A=45°，
在△CDE中，由三角形内角和为180°得：
∠C=180°-∠CDE-∠CED=180°-45°-70°=65°。
4. 如图，直线$a // b$，直线$c$与$a$，$b$分别交于$A$，$B$两点，若$AB=4$，$∠ 1=30°$，则直线$a$，$b$之间的距离为（）
A.4
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.1
第4题图 第5题图
A.4
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.1
第4题图 第5题图
答案
B
解析
过点A作AH⊥直线b，垂足为H，∵a//b，∴AH的长度即为直线a、b之间的距离。在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠1=30°，AB=4，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AH=½AB=2，即直线a、b之间的距离为2。
5. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=8$，$∠ ABC=60°$，$BE$平分$∠ ABC$，交边$AD$于点$E$，连接$CE$，若$AE=2ED$，则$CE$的长为（）
A.$6$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
A.$6$
B.$4$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
C
解析
1. 由平行四边形性质得：$AD// BC$，$AB=CD=8$，$∠ ADC=∠ ABC=60°$。
2. 因为$BE$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABE=∠ EBC=30°$，结合$AD// BC$得$∠ AEB=∠ EBC=30°$，因此$∠ ABE=∠ AEB$，推出$AE=AB=8$。
3. 由$AE=2ED$，得$ED=\frac{AE}{2}=4$。
4. 过点$C$作$CF⊥ AD$交$AD$于点$F$，在$Rt△ CDF$中，$∠ D=60°$，$CD=8$，计算得：
$DF=CD·\cos60°=8×\frac{1}{2}=4$，$CF=CD·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
5. 因为$ED=4$，$DF=4$，所以点$F$与点$E$重合，即$CE⊥ AD$，$CE=CF=4\sqrt{3}$。
2. 因为$BE$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABE=∠ EBC=30°$，结合$AD// BC$得$∠ AEB=∠ EBC=30°$，因此$∠ ABE=∠ AEB$，推出$AE=AB=8$。
3. 由$AE=2ED$，得$ED=\frac{AE}{2}=4$。
4. 过点$C$作$CF⊥ AD$交$AD$于点$F$，在$Rt△ CDF$中，$∠ D=60°$，$CD=8$，计算得：
$DF=CD·\cos60°=8×\frac{1}{2}=4$，$CF=CD·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
5. 因为$ED=4$，$DF=4$，所以点$F$与点$E$重合，即$CE⊥ AD$，$CE=CF=4\sqrt{3}$。
6. 如图，$l_1 // l_2$，直线$l_1$与直线$l_2$之间的距离为4，点A是直线$l_1$与$l_2$外一点，点A到直线$l_1$的距离为2，B，D分别是直线$l_1$与直线$l_2$上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（）
A.6
B.8
C.10
D.12
A.6
B.8
C.10
D.12
答案
B
解析
1. 由作图条件可得：$BC=AD$，$DC=AB$，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形$ABCD$是平行四边形。
2. 已知点$A$到直线$l_1$的距离为2，$l_1// l_2$且两直线间距为4，结合平行四边形的平移性质，可得点$C$到直线$l_2$的距离等于点$A$到直线$l_1$的距离，即2。
3. 当线段$AC$垂直于$l_1$、$l_2$时，$AC$取得最小值，最小值为$2+4+2=8$。
2. 已知点$A$到直线$l_1$的距离为2，$l_1// l_2$且两直线间距为4，结合平行四边形的平移性质，可得点$C$到直线$l_2$的距离等于点$A$到直线$l_1$的距离，即2。
3. 当线段$AC$垂直于$l_1$、$l_2$时，$AC$取得最小值，最小值为$2+4+2=8$。
