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1. 共享自行车已成为城市交通的一道风景线. 某共享自行车公司规定: 前 $a\ \mathrm{km}$(含 $a\ \mathrm{km}$)只要1 元,超过 $a\ \mathrm{km}$ 的部分,每多行 1 km 加收 2 元. 经调查得出一组关于自行车行驶里程的数据,若要使 $50\%$ 用该共享自行车的人只花 1 元钱,则 $a$ 应该取这组数据的（
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
B
）A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
1. B
解析
【分析】
要解决本题，需先明确题目要求：让50%使用共享自行车的人只花1元，即这些人的行驶里程不超过$a\ \mathrm{km}$，也就是行驶里程≤$a\ \mathrm{km}$的人数占总人数的50%。再回忆各统计量的意义：平均数反映数据的平均水平，众数是出现次数最多的数据，方差反映数据的波动程度，而中位数是将数据从小到大排列后处于中间位置的数，其特点是有一半的数据不大于中位数，正好匹配题目中“50%的人里程不超过$a$”的要求，因此$a$应取这组数据的中位数。
【解析】
解：根据题意，要使50%的人只花1元，需满足行驶里程≤$a\ \mathrm{km}$的人数占总人数的50%。
选项A：平均数是所有数据的平均值，无法体现一半数据的位置，不符合要求；
选项B：中位数是将数据从小到大排列后中间位置的数，有一半的数据不大于中位数，恰好满足50%的人行驶里程不超过$a\ \mathrm{km}$，符合题意；
选项C：众数是出现次数最多的数据，与题目要求无关，不符合；
选项D：方差是衡量数据离散程度的统计量，无法满足题目条件，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的意义、统计量的应用
【点评】
本题考查统计量的实际应用，核心是理解中位数描述数据中间位置的作用，结合题目要求即可快速选出正确选项，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先明确题目要求：让50%使用共享自行车的人只花1元，即这些人的行驶里程不超过$a\ \mathrm{km}$，也就是行驶里程≤$a\ \mathrm{km}$的人数占总人数的50%。再回忆各统计量的意义：平均数反映数据的平均水平，众数是出现次数最多的数据，方差反映数据的波动程度，而中位数是将数据从小到大排列后处于中间位置的数，其特点是有一半的数据不大于中位数，正好匹配题目中“50%的人里程不超过$a$”的要求，因此$a$应取这组数据的中位数。
【解析】
解：根据题意，要使50%的人只花1元，需满足行驶里程≤$a\ \mathrm{km}$的人数占总人数的50%。
选项A：平均数是所有数据的平均值，无法体现一半数据的位置，不符合要求；
选项B：中位数是将数据从小到大排列后中间位置的数，有一半的数据不大于中位数，恰好满足50%的人行驶里程不超过$a\ \mathrm{km}$，符合题意；
选项C：众数是出现次数最多的数据，与题目要求无关，不符合；
选项D：方差是衡量数据离散程度的统计量，无法满足题目条件，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
中位数的意义、统计量的应用
【点评】
本题考查统计量的实际应用，核心是理解中位数描述数据中间位置的作用，结合题目要求即可快速选出正确选项，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 某校拟招聘一名优秀的数学教师,设置了笔试、面试、试讲三项水平测试,综合成绩按照笔试占40%,面试占20%,试讲占40%进行计算,小李的三项测试成绩如图所示,则她的综合成绩为
86.4
分.答案
2. 86.4 解析:她的综合成绩为 $86×40\%+80×20\%+90×40\%=86.4$(分).
解析
【分析】首先从条形统计图中读取小李的笔试、面试、试讲成绩，分别为86分、80分、90分；再根据题目给出的权重（笔试占40%、面试占20%、试讲占40%），利用加权平均数的计算方法，将各成绩乘以对应权重后相加，即可得到综合成绩。
【解析】由条形图可知，小李的笔试成绩为86分，面试成绩为80分，试讲成绩为90分。根据加权平均数的计算公式，综合成绩为各测试成绩乘以对应权重之和，代入数据计算：
$\begin{aligned}&86×40\% + 80×20\% + 90×40\%\\=&86×0.4 + 80×0.2 + 90×0.4\\=&34.4 + 16 + 36\\=&86.4\end{aligned}$
【答案】86.4
【知识点】加权平均数、条形统计图
【点评】本题结合条形统计图考查加权平均数的实际应用，核心是准确读取数据并运用权重计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】由条形图可知，小李的笔试成绩为86分，面试成绩为80分，试讲成绩为90分。根据加权平均数的计算公式，综合成绩为各测试成绩乘以对应权重之和，代入数据计算：
$\begin{aligned}&86×40\% + 80×20\% + 90×40\%\\=&86×0.4 + 80×0.2 + 90×0.4\\=&34.4 + 16 + 36\\=&86.4\end{aligned}$
【答案】86.4
【知识点】加权平均数、条形统计图
【点评】本题结合条形统计图考查加权平均数的实际应用，核心是准确读取数据并运用权重计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
3. 某乡镇企业生产部有技术工人15人,生产部为了合理制订产品的每月生产定额,统计了15人某月加工零件的个数,结果如下表所示.
(1)求这15人该月加工零件个数的平均数、中位数和众数.
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为26,你认为这个定额是否合理?为什么?
(1)求这15人该月加工零件个数的平均数、中位数和众数.
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为26,你认为这个定额是否合理?为什么?
答案
3. (1)这15人该月加工零件个数的平均数为 $\frac{54+45+30×2+24×6+21×3+12×2}{15}=26$; 将加工零件个数从小到大排列,处在第8位的数是24,因此中位数为24;24出现的次数最多,因此众数为24.
(2)不合理.理由如下:如果定为26个,只有4人能完成,大多数都完不成,不利于调动工人的积极性.
(2)不合理.理由如下:如果定为26个,只有4人能完成,大多数都完不成,不利于调动工人的积极性.
解析
【分析】
要解决该问题，需分两步：第一步计算平均数、中位数、众数，其中平均数为加权平均数，需用总加工零件数除以总人数；中位数需将所有数据从小到大排列后，找到15个数据的中间位置（第8位）的数；众数是出现次数最多的数。第二步判断定额是否合理，需看该定额对应的人数占比，是否符合大多数工人的实际加工能力。
【解析】
(1) 计算平均数：
总加工零件数 = $54×1 + 45×1 + 30×2 + 24×6 + 21×3 + 12×2 = 390$，
总人数 = $1+1+2+6+3+2 = 15$，
因此平均数 = $390÷15 = 26$；
计算中位数：
将15个加工零件个数从小到大排列，前2个为12，接下来3个为21，再接下来6个为24，后续为30、45、54，第8位数据在24的范围内，故中位数为24；
计算众数：
24出现的次数最多（共6次），因此众数为24；
(2) 判断定额合理性：
若定额为26，能完成的工人是加工零件数≥26的，即54（1人）、45（1人）、30（2人），共4人，仅占总人数的$\frac{4}{15}$，大多数工人（11人）都完不成，不利于调动工人积极性，因此该定额不合理。
【答案】
(1) 平均数为26，中位数为24，众数为24；
(2) 不合理，理由：只有4人能完成，大多数工人完不成，不利于调动工人的积极性。
【知识点】
加权平均数、中位数、众数
【点评】
本题考查统计中集中趋势的三个量的计算及实际应用，需掌握加权平均数的计算方法，明确中位数、众数的确定规则，同时能结合生产实际判断数据合理性，是贴近生活的基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需分两步：第一步计算平均数、中位数、众数，其中平均数为加权平均数，需用总加工零件数除以总人数；中位数需将所有数据从小到大排列后，找到15个数据的中间位置（第8位）的数；众数是出现次数最多的数。第二步判断定额是否合理，需看该定额对应的人数占比，是否符合大多数工人的实际加工能力。
【解析】
(1) 计算平均数：
总加工零件数 = $54×1 + 45×1 + 30×2 + 24×6 + 21×3 + 12×2 = 390$，
总人数 = $1+1+2+6+3+2 = 15$，
因此平均数 = $390÷15 = 26$；
计算中位数：
将15个加工零件个数从小到大排列，前2个为12，接下来3个为21，再接下来6个为24，后续为30、45、54，第8位数据在24的范围内，故中位数为24；
计算众数：
24出现的次数最多（共6次），因此众数为24；
(2) 判断定额合理性：
若定额为26，能完成的工人是加工零件数≥26的，即54（1人）、45（1人）、30（2人），共4人，仅占总人数的$\frac{4}{15}$，大多数工人（11人）都完不成，不利于调动工人积极性，因此该定额不合理。
【答案】
(1) 平均数为26，中位数为24，众数为24；
(2) 不合理，理由：只有4人能完成，大多数工人完不成，不利于调动工人的积极性。
【知识点】
加权平均数、中位数、众数
【点评】
本题考查统计中集中趋势的三个量的计算及实际应用，需掌握加权平均数的计算方法，明确中位数、众数的确定规则，同时能结合生产实际判断数据合理性，是贴近生活的基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
4. 某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选18名学生参加比赛. 若甲班参赛学生身高数据的方差是3.4，且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐，则乙班参赛学生身高数据的方差不可能是（
A.5
B.4.5
C.4
D.3
D
）A.5
B.4.5
C.4
D.3
答案
4. D 解析:
∵甲班参赛学生身高数据的方差是3.4,且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐,
∴乙班参赛学生身高数据的方差大于3.4,
∴乙班参赛学生身高数据的方差不可能是3.
∵甲班参赛学生身高数据的方差是3.4,且甲班参赛学生的身高比乙班的更整齐,
∴乙班参赛学生身高数据的方差大于3.4,
∴乙班参赛学生身高数据的方差不可能是3.
解析
【分析】
首先明确方差的统计意义：方差用于衡量一组数据的波动大小，方差越小，数据的波动越小，数据就越整齐；方差越大，数据的波动越大，数据越不整齐。题目中说明甲班参赛学生的身高比乙班更整齐，因此甲班身高数据的方差小于乙班的方差。已知甲班方差为3.4，据此可推出乙班方差的范围，再结合选项判断不可能的数值。
【解析】
根据方差的意义，数据越整齐，其方差越小。已知甲班参赛学生身高比乙班更整齐，甲班身高数据的方差是3.4，所以乙班参赛学生身高数据的方差必须大于3.4。对各选项分析：A选项5＞3.4，符合要求；B选项4.5＞3.4，符合要求；C选项4＞3.4，符合要求；D选项3＜3.4，不符合要求，因此乙班参赛学生身高数据的方差不可能是3。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差的统计意义，核心是理解方差与数据整齐度的关系，属于基础题，难度较低，主要考查学生对基础概念的掌握。
【难度系数】
0.7
首先明确方差的统计意义：方差用于衡量一组数据的波动大小，方差越小，数据的波动越小，数据就越整齐；方差越大，数据的波动越大，数据越不整齐。题目中说明甲班参赛学生的身高比乙班更整齐，因此甲班身高数据的方差小于乙班的方差。已知甲班方差为3.4，据此可推出乙班方差的范围，再结合选项判断不可能的数值。
【解析】
根据方差的意义，数据越整齐，其方差越小。已知甲班参赛学生身高比乙班更整齐，甲班身高数据的方差是3.4，所以乙班参赛学生身高数据的方差必须大于3.4。对各选项分析：A选项5＞3.4，符合要求；B选项4.5＞3.4，符合要求；C选项4＞3.4，符合要求；D选项3＜3.4，不符合要求，因此乙班参赛学生身高数据的方差不可能是3。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差的统计意义，核心是理解方差与数据整齐度的关系，属于基础题，难度较低，主要考查学生对基础概念的掌握。
【难度系数】
0.7
5. (2025·河南)为考查学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势,数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 20 株进行测量,测得两种小麦苗高的平均数相同,方差分别为$s^{2}_{甲}=3.6,s^{2}_{乙}=$5.8,则这两种小麦长势更整齐的是
甲
.(填“甲”或“乙”)答案
5. 甲
解析
【分析】要判断哪种小麦长势更整齐，需依据方差的意义：方差用于衡量数据的波动大小，方差越小，数据的波动幅度越小，稳定性越强，对应长势越整齐。已知甲、乙两种小麦苗高的方差，只需比较两个方差的大小即可得出结论。
【解析】方差反映数据的离散程度，方差越小，数据的波动越小，长势越整齐。已知$s^{2}_{甲}=3.6$，$s^{2}_{乙}=5.8$，因为$3.6 ＜ 5.8$，即$s^{2}_{甲} ＜ s^{2}_{乙}$，所以甲种小麦的苗高波动更小，长势更整齐。
【答案】甲
【知识点】方差的意义，数据的稳定性
【点评】本题考查方差在实际问题中的基础应用，核心是理解“方差越小数据越稳定”的知识点，题目难度低，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】方差反映数据的离散程度，方差越小，数据的波动越小，长势越整齐。已知$s^{2}_{甲}=3.6$，$s^{2}_{乙}=5.8$，因为$3.6 ＜ 5.8$，即$s^{2}_{甲} ＜ s^{2}_{乙}$，所以甲种小麦的苗高波动更小，长势更整齐。
【答案】甲
【知识点】方差的意义，数据的稳定性
【点评】本题考查方差在实际问题中的基础应用，核心是理解“方差越小数据越稳定”的知识点，题目难度低，属于易得分题。
【难度系数】0.8
6. 某射击队准备从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩(单位:环)如下表所示.
(1)写出表中①、②表示的数:①
(2)请分别计算甲、乙两人六次测试成绩的方差.
(3)你认为推荐谁参加比赛更合适?请说明理由.
(1)写出表中①、②表示的数:①
9
,②9
.(2)请分别计算甲、乙两人六次测试成绩的方差.
(3)你认为推荐谁参加比赛更合适?请说明理由.
答案
6. (1)9 9 解析:甲的测试成绩重新排列为 8,8,9,9,10,10,
∴甲的测试成绩的中位数为 9;乙的测试成绩的平均数为 $\frac{10+7+10+10+9+8}{6}=9$.
(2)甲六次测试成绩的方差为 $\frac{1}{6}×[2×(10-9)^2+2×(9-9)^2+2×(8-9)^2]=\frac{2}{3}$;乙六次测试成绩的方差为 $\frac{1}{6}×[3×(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(7-9)^2]=\frac{4}{3}$.
(3)推荐甲参加比赛更合适.理由如下:
∵甲、乙的平均成绩相同,而甲测试成绩的方差小于乙测试成绩的方差,
∴甲的测试成绩更稳定,故推荐甲参加比赛更合适.(答案不唯一,合理即可)
∴甲的测试成绩的中位数为 9;乙的测试成绩的平均数为 $\frac{10+7+10+10+9+8}{6}=9$.
(2)甲六次测试成绩的方差为 $\frac{1}{6}×[2×(10-9)^2+2×(9-9)^2+2×(8-9)^2]=\frac{2}{3}$;乙六次测试成绩的方差为 $\frac{1}{6}×[3×(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(7-9)^2]=\frac{4}{3}$.
(3)推荐甲参加比赛更合适.理由如下:
∵甲、乙的平均成绩相同,而甲测试成绩的方差小于乙测试成绩的方差,
∴甲的测试成绩更稳定,故推荐甲参加比赛更合适.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
解决本题需分三步：第一步，计算甲的中位数和乙的平均成绩，需明确中位数是将数据排序后，偶数个数据取中间两数的平均数，平均成绩为总成绩除以测试次数；第二步，计算方差，方差公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$（$\bar{x}$为平均数，$n$为数据个数）；第三步，对比两人的平均成绩和方差，方差越小数据越稳定，据此推荐参赛人员。
【解析】
(1) 求①（甲的中位数）：
将甲的六次成绩从小到大排列：8，8，9，9，10，10，共6个数据，中位数为中间两个数的平均数，即$\frac{9+9}{2}=9$，故①=9；
求②（乙的平均成绩）：
乙的六次成绩总和为$10+7+10+10+9+8=54$，平均成绩为$\frac{54}{6}=9$，故②=9。
(2) 计算方差：
甲的平均成绩$\bar{x}_甲=9$，方差：
$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+1+0+1+1+0)=\frac{2}{3}$；
乙的平均成绩$\bar{x}_乙=9$，方差：
$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+4+1+1+0+1)=\frac{4}{3}$。
(3) 推荐参赛人员：
甲、乙平均成绩相同（均为9），但甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定，因此推荐甲参加比赛更合适。
【答案】
(1) 9，9；(2) 甲的方差为$\frac{2}{3}$，乙的方差为$\frac{4}{3}$；(3) 推荐甲参加比赛更合适。
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需掌握中位数、平均数、方差的计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义，是基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
解决本题需分三步：第一步，计算甲的中位数和乙的平均成绩，需明确中位数是将数据排序后，偶数个数据取中间两数的平均数，平均成绩为总成绩除以测试次数；第二步，计算方差，方差公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$（$\bar{x}$为平均数，$n$为数据个数）；第三步，对比两人的平均成绩和方差，方差越小数据越稳定，据此推荐参赛人员。
【解析】
(1) 求①（甲的中位数）：
将甲的六次成绩从小到大排列：8，8，9，9，10，10，共6个数据，中位数为中间两个数的平均数，即$\frac{9+9}{2}=9$，故①=9；
求②（乙的平均成绩）：
乙的六次成绩总和为$10+7+10+10+9+8=54$，平均成绩为$\frac{54}{6}=9$，故②=9。
(2) 计算方差：
甲的平均成绩$\bar{x}_甲=9$，方差：
$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+1+0+1+1+0)=\frac{2}{3}$；
乙的平均成绩$\bar{x}_乙=9$，方差：
$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(10-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(10-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2]$
$=\frac{1}{6}×(1+4+1+1+0+1)=\frac{4}{3}$。
(3) 推荐参赛人员：
甲、乙平均成绩相同（均为9），但甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定，因此推荐甲参加比赛更合适。
【答案】
(1) 9，9；(2) 甲的方差为$\frac{2}{3}$，乙的方差为$\frac{4}{3}$；(3) 推荐甲参加比赛更合适。
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需掌握中位数、平均数、方差的计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义，是基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
