登录
9. 八年级的学生升九年级时,下列有关年龄的统计量中不变的是（
A.平均年龄
B.年龄的方差
C.年龄的众数
D.年龄的中位数
B
）A.平均年龄
B.年龄的方差
C.年龄的众数
D.年龄的中位数
答案
9. B 解析:由题意知,八年级的学生升九年级时,每个同学的年龄都增加了,因而平均年龄、年龄的众数、年龄的中位数都产生变化,而方差不变.
解析
【分析】
首先明确题目背景：八年级学生升九年级时，每个学生的年龄都增加了1岁。接下来回忆各统计量的定义与性质：①平均数是总年龄除以学生数，每个数据加1时，总年龄增加学生数，平均数会加1；②众数是出现次数最多的年龄，每个年龄加1，众数也会加1；③中位数是排序后中间位置的年龄，每个年龄加1，中位数也会加1；④方差衡量数据的离散程度，每个数据加相同数时，数据的波动程度不变，因此方差不变。需逐一分析选项找出不变的统计量。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 平均年龄：八年级到九年级，每个学生年龄增加1岁，总年龄增加学生人数×1，平均年龄=总年龄÷学生数，因此平均年龄增加1，发生变化；
B. 年龄的方差：方差反映数据的波动程度，当一组数据中每个数据都加上同一个常数时，数据的波动程度不变，因此方差不变；
C. 年龄的众数：众数是出现次数最多的年龄，原众数对应的年龄随整体年龄增加1，因此众数发生变化；
D. 年龄的中位数：中位数是排序后中间位置的年龄，整体年龄增加1，中位数也增加1，发生变化。
综上，不变的统计量是方差，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
统计量的意义；数据变化对统计量的影响
【点评】
本题考查基础统计量的性质，需准确理解平均数、众数、中位数、方差的定义，明确数据平移时各统计量的变化规律，是易混淆的基础题型，需注意区分方差与其他统计量的差异。
【难度系数】
0.6
首先明确题目背景：八年级学生升九年级时，每个学生的年龄都增加了1岁。接下来回忆各统计量的定义与性质：①平均数是总年龄除以学生数，每个数据加1时，总年龄增加学生数，平均数会加1；②众数是出现次数最多的年龄，每个年龄加1，众数也会加1；③中位数是排序后中间位置的年龄，每个年龄加1，中位数也会加1；④方差衡量数据的离散程度，每个数据加相同数时，数据的波动程度不变，因此方差不变。需逐一分析选项找出不变的统计量。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 平均年龄：八年级到九年级，每个学生年龄增加1岁，总年龄增加学生人数×1，平均年龄=总年龄÷学生数，因此平均年龄增加1，发生变化；
B. 年龄的方差：方差反映数据的波动程度，当一组数据中每个数据都加上同一个常数时，数据的波动程度不变，因此方差不变；
C. 年龄的众数：众数是出现次数最多的年龄，原众数对应的年龄随整体年龄增加1，因此众数发生变化；
D. 年龄的中位数：中位数是排序后中间位置的年龄，整体年龄增加1，中位数也增加1，发生变化。
综上，不变的统计量是方差，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
统计量的意义；数据变化对统计量的影响
【点评】
本题考查基础统计量的性质，需准确理解平均数、众数、中位数、方差的定义，明确数据平移时各统计量的变化规律，是易混淆的基础题型，需注意区分方差与其他统计量的差异。
【难度系数】
0.6
10. 若一组数据 2,4,6,8,x 的方差比另一组数据 5,7,9,11,13 的方差大,则 x 的值可以是
（
A.12
B.10
C.2
D.0
（
A
）A.12
B.10
C.2
D.0
答案
10. A 解析:5,7,9,11,13 的平均数为 9,方差为$s_1^2=\frac{1}{5}×[(5-9)^2+(7-9)^2+(9-9)^2+(11-9)^2+(13-9)^2]=8$.当$x=12$时,2,4,6,8,12 的平均数为 6.4,方差为$\frac{1}{5}×[(2-6.4)^2+(4-6.4)^2+(6-6.4)^2+(8-6.4)^2+(12-6.4)^2]=11.84$,故A选项符合题意.
解析
【分析】要解决本题，需利用方差的意义：方差反映数据的波动程度，波动越大方差越大。解题步骤为：①先计算已知数据组的方差；②分别计算各选项中x对应数据组的方差；③对比结果，选出方差更大的选项。
【解析】1. 计算数据5,7,9,11,13的平均数和方差：
平均数$\bar{x}_1=\frac{5+7+9+11+13}{5}=9$，
方差$s_1^2=\frac{1}{5}×[(5-9)^2+(7-9)^2+(9-9)^2+(11-9)^2+(13-9)^2]=\frac{1}{5}×(16+4+0+4+16)=8$。
2. 分别计算选项对应数据组的方差：
选项A：x=12时，数据2,4,6,8,12的平均数$\bar{x}_2=\frac{2+4+6+8+12}{5}=6.4$，
方差$s_2^2=\frac{1}{5}×[(2-6.4)^2+(4-6.4)^2+(6-6.4)^2+(8-6.4)^2+(12-6.4)^2]=\frac{1}{5}×(19.36+5.76+0.16+2.56+31.36)=11.84$，11.84＞8，符合要求；
选项B：x=10时，平均数为6，方差为8，等于已知方差，不符合；
选项C：x=2时，平均数为4.4，方差为5.44，小于8，不符合；
选项D：x=0时，平均数为4，方差为8，等于已知方差，不符合。
【答案】A
【知识点】方差的计算、平均数的计算
【点评】本题考查方差的意义及计算，需熟练掌握平均数和方差的公式，通过计算对比数据波动程度解题，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算数据5,7,9,11,13的平均数和方差：
平均数$\bar{x}_1=\frac{5+7+9+11+13}{5}=9$，
方差$s_1^2=\frac{1}{5}×[(5-9)^2+(7-9)^2+(9-9)^2+(11-9)^2+(13-9)^2]=\frac{1}{5}×(16+4+0+4+16)=8$。
2. 分别计算选项对应数据组的方差：
选项A：x=12时，数据2,4,6,8,12的平均数$\bar{x}_2=\frac{2+4+6+8+12}{5}=6.4$，
方差$s_2^2=\frac{1}{5}×[(2-6.4)^2+(4-6.4)^2+(6-6.4)^2+(8-6.4)^2+(12-6.4)^2]=\frac{1}{5}×(19.36+5.76+0.16+2.56+31.36)=11.84$，11.84＞8，符合要求；
选项B：x=10时，平均数为6，方差为8，等于已知方差，不符合；
选项C：x=2时，平均数为4.4，方差为5.44，小于8，不符合；
选项D：x=0时，平均数为4，方差为8，等于已知方差，不符合。
【答案】A
【知识点】方差的计算、平均数的计算
【点评】本题考查方差的意义及计算，需熟练掌握平均数和方差的公式，通过计算对比数据波动程度解题，属于基础题型。
【难度系数】0.6
11. (2025·烟台)求一组数据方差的算式为$s^{2}=\frac{1}{n}×[(6-\overline{x})^{2}+(8-\overline{x})^{2}+(8-\overline{x})^{2}+(6-\overline{x})^{2}+(7-\overline{x})^{2}]$.由算式提供的信息,下列说法错误的是（
A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
C
）A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
答案
11. C 解析:
∵这组数据为6,6,7,8,8,
∴n的值是5,故A选项不符合题意;该组数据的平均数是$\frac{6×2+7+8×2}{5}=7$,故B选项不符合题意;该组数据的众数为6,8,故C选项符合题意;该组数据的方差为$s_1^2=\frac{1}{5}×[(6-7)^2×2+(7-7)^2+(8-7)^2×2]=\frac{4}{5}$,若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的平均数不变,方差为$s_2^2=\frac{1}{7}×[(6-7)^2×2+(7-7)^2×3+(8-7)^2×2]=\frac{4}{7}$,方差变小,故D选项不符合题意.
∵这组数据为6,6,7,8,8,
∴n的值是5,故A选项不符合题意;该组数据的平均数是$\frac{6×2+7+8×2}{5}=7$,故B选项不符合题意;该组数据的众数为6,8,故C选项符合题意;该组数据的方差为$s_1^2=\frac{1}{5}×[(6-7)^2×2+(7-7)^2+(8-7)^2×2]=\frac{4}{5}$,若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的平均数不变,方差为$s_2^2=\frac{1}{7}×[(6-7)^2×2+(7-7)^2×3+(8-7)^2×2]=\frac{4}{7}$,方差变小,故D选项不符合题意.
解析
【分析】
首先根据方差公式的结构确定数据个数n，再提取算式中的数据；接着计算该组数据的平均数，找出出现次数最多的数确定众数；最后分别计算原数据和加入两个7后的新数据的方差，逐一判断选项，找出错误说法。
【解析】
由方差算式可知，数据为6,6,7,8,8，共5个，因此：
A选项：数据个数n=5，说法正确；
B选项：平均数$\overline{x}=\frac{6×2+7+8×2}{5}=7$，说法正确；
C选项：6和8均出现2次，是众数，并非只有6，说法错误；
D选项：原方差$s_1^2=\frac{1}{5}×[(6-7)^2×2+(7-7)^2+(8-7)^2×2]=\frac{4}{5}$；加入两个7后，新数据共7个，平均数仍为7，新方差$s_2^2=\frac{1}{7}×[(6-7)^2×2+(7-7)^2×3+(8-7)^2×2]=\frac{4}{7}$，$\frac{4}{7}＜\frac{4}{5}$，方差变小，说法正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
方差、平均数、众数
【点评】
本题考查方差公式的理解、平均数与众数的计算，需准确掌握各统计量的定义，逐一分析选项即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
首先根据方差公式的结构确定数据个数n，再提取算式中的数据；接着计算该组数据的平均数，找出出现次数最多的数确定众数；最后分别计算原数据和加入两个7后的新数据的方差，逐一判断选项，找出错误说法。
【解析】
由方差算式可知，数据为6,6,7,8,8，共5个，因此：
A选项：数据个数n=5，说法正确；
B选项：平均数$\overline{x}=\frac{6×2+7+8×2}{5}=7$，说法正确；
C选项：6和8均出现2次，是众数，并非只有6，说法错误；
D选项：原方差$s_1^2=\frac{1}{5}×[(6-7)^2×2+(7-7)^2+(8-7)^2×2]=\frac{4}{5}$；加入两个7后，新数据共7个，平均数仍为7，新方差$s_2^2=\frac{1}{7}×[(6-7)^2×2+(7-7)^2×3+(8-7)^2×2]=\frac{4}{7}$，$\frac{4}{7}＜\frac{4}{5}$，方差变小，说法正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
方差、平均数、众数
【点评】
本题考查方差公式的理解、平均数与众数的计算，需准确掌握各统计量的定义，逐一分析选项即可得出结论，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
12. 如果一组数据 1,3,5,a,8 的方差是 3,那么另一组数据 2,6,10,2a,16 的方差是
12
.答案
12. 12 解析:
∵一组数据 1,3,5,a,8 的方差是 3,
∴另一组数据 2,6,10,2a,16 的方差是$3×2^2=12$.
∵一组数据 1,3,5,a,8 的方差是 3,
∴另一组数据 2,6,10,2a,16 的方差是$3×2^2=12$.
解析
【分析】首先回忆方差的核心性质：若一组数据的每个数据都扩大为原来的$k$倍，则新数据的方差是原数据方差的$k^2$倍。观察两组数据，第二组数据（2,6,10,2a,16）的每个数均为第一组对应数据（1,3,5,a,8）的2倍，因此可直接利用方差性质快速计算，无需重复推导均值与方差。
【解析】已知原数据1,3,5,a,8的方差为3，新数据是原数据每个数乘以2得到的，根据方差性质，当数据扩大为原来的$k=2$倍时，方差扩大为原来的$k^2=4$倍，因此新数据的方差为$3×2^2=12$。
【答案】12
【知识点】方差的性质、数据变换与方差
【点评】本题考查方差的基础性质，属于常规基础题，解题关键是牢记“数据缩放倍数的平方与方差成正比”的规律，可避免复杂计算，提升解题效率，易错点为误将方差扩大倍数记为$k$而非$k^2$。
【难度系数】0.7
【解析】已知原数据1,3,5,a,8的方差为3，新数据是原数据每个数乘以2得到的，根据方差性质，当数据扩大为原来的$k=2$倍时，方差扩大为原来的$k^2=4$倍，因此新数据的方差为$3×2^2=12$。
【答案】12
【知识点】方差的性质、数据变换与方差
【点评】本题考查方差的基础性质，属于常规基础题，解题关键是牢记“数据缩放倍数的平方与方差成正比”的规律，可避免复杂计算，提升解题效率，易错点为误将方差扩大倍数记为$k$而非$k^2$。
【难度系数】0.7
13. 已知数据$x_{1},x_{2},x_{3}$的方差为5，则数据$2x_{1}-1,2x_{2}-1,2x_{3}-1$的方差为
20
。答案
13. 20 解析:
∵数据$x_1,x_2,x_3$的方差$s_1^2=5$,则数据$2x_1-1,2x_2-1,2x_3-1$的方差$s_2^2=4s_1^2=20$.
∵数据$x_1,x_2,x_3$的方差$s_1^2=5$,则数据$2x_1-1,2x_2-1,2x_3-1$的方差$s_2^2=4s_1^2=20$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用方差的线性变换性质：当一组数据进行“每个数据乘以常数a，再加上常数b”的线性变换时，新数据的方差等于原数据方差乘以a²，常数项b不影响方差（仅改变数据均值，不改变离散程度）。本题中原数据变换形式为2xᵢ -1，对应a=2、b=-1，因此只需用原方差乘以a²即可得到结果。
【解析】
已知数据$x_1,x_2,x_3$的方差$s_1^2=5$，对于数据$2x_1-1,2x_2-1,2x_3-1$，根据方差的线性变换性质：若$y_i=ax_i+b$，则新数据方差$s_2^2=a^2s_1^2$。此处$a=2$，代入得：
$s_2^2=2^2×5=4×5=20$
【答案】
20
【知识点】
方差的性质
【点评】
本题考查方差的基础性质，属于统计学中数据离散程度分析的基础应用，核心是掌握线性变换下方差的变化规律，题目难度较低，是学生必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用方差的线性变换性质：当一组数据进行“每个数据乘以常数a，再加上常数b”的线性变换时，新数据的方差等于原数据方差乘以a²，常数项b不影响方差（仅改变数据均值，不改变离散程度）。本题中原数据变换形式为2xᵢ -1，对应a=2、b=-1，因此只需用原方差乘以a²即可得到结果。
【解析】
已知数据$x_1,x_2,x_3$的方差$s_1^2=5$，对于数据$2x_1-1,2x_2-1,2x_3-1$，根据方差的线性变换性质：若$y_i=ax_i+b$，则新数据方差$s_2^2=a^2s_1^2$。此处$a=2$，代入得：
$s_2^2=2^2×5=4×5=20$
【答案】
20
【知识点】
方差的性质
【点评】
本题考查方差的基础性质，属于统计学中数据离散程度分析的基础应用，核心是掌握线性变换下方差的变化规律，题目难度较低，是学生必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
14. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，甲、乙、丙三位选手的得分数据分别如图所示.
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 完成表格.
(2) 从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由.
(3) 在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分.如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为 $ s^2 $，则$ s^2 $
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 完成表格.
(2) 从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由.
(3) 在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分.如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为 $ s^2 $，则$ s^2 $
＜
0.56.(填“＜”“＞”或“=”)答案
14. (1)9 0.96 8.8 解析:甲的中位数为9;乙的方差为$\frac{1}{5}×[(7-8.8)^2+3×(9-8.8)^2+(10-8.8)^2]=0.96$;丙的平均数为$10×40\%+8×60\%=8.8$.
(2)选甲更合适.理由如下:
∵三位选手的平均数相同,但甲的方差最小,稳定性最好,
∴选甲更合适.
(3)＜ 解析:去掉一个最高分和一个最低分之后,甲的平均数为$\frac{1}{3}×(8+9+9)=\frac{26}{3}$,方差为$s^2=\frac{1}{3}×[(8-\frac{26}{3})^2+2×(9-\frac{26}{3})^2]=\frac{2}{9}＜0.56$.
(2)选甲更合适.理由如下:
∵三位选手的平均数相同,但甲的方差最小,稳定性最好,
∴选甲更合适.
(3)＜ 解析:去掉一个最高分和一个最低分之后,甲的平均数为$\frac{1}{3}×(8+9+9)=\frac{26}{3}$,方差为$s^2=\frac{1}{3}×[(8-\frac{26}{3})^2+2×(9-\frac{26}{3})^2]=\frac{2}{9}＜0.56$.
解析
【分析】
解决本题需明确中位数、方差、平均数的定义及计算方法：(1)计算甲的中位数时，需先将得分排序，取中间位置的数；计算乙的方差需代入方差公式；计算丙的平均数需用加权平均数公式。(2)选参赛选手需结合平均数和方差，平均数相同的情况下，方差越小数据越稳定。(3)计算去掉甲的最高分和最低分后的方差，再与0.56比较大小。
【解析】
(1) 甲的得分排序后，中位数为9；乙的方差：$\frac{1}{5}×[(7-8.8)^2+3×(9-8.8)^2+(10-8.8)^2]=0.96$；丙的加权平均数：$10×40\%+8×60\%=8.8$。
(2) 三位选手的平均数相同，甲的方差最小，数据稳定性最好，因此选甲更合适。
(3) 去掉甲的一个最高分和一个最低分后，余下分数为8、9、9，平均数为$\frac{1}{3}×(8+9+9)=\frac{26}{3}$，方差$s^2=\frac{1}{3}×[(8-\frac{26}{3})^2+2×(9-\frac{26}{3})^2]=\frac{2}{9}≈0.22＜0.56$，故填“＜”。
【答案】
(1)9；0.96；8.8 (2)选甲，理由：三位选手平均数相同，甲的方差最小，稳定性最好 (3)＜
【知识点】
中位数、方差、平均数
【点评】
本题考查统计基本量的计算及实际应用，需熟练掌握各统计量的计算方法，能利用统计结果做出合理决策，难度适中。
【难度系数】
0.7
解决本题需明确中位数、方差、平均数的定义及计算方法：(1)计算甲的中位数时，需先将得分排序，取中间位置的数；计算乙的方差需代入方差公式；计算丙的平均数需用加权平均数公式。(2)选参赛选手需结合平均数和方差，平均数相同的情况下，方差越小数据越稳定。(3)计算去掉甲的最高分和最低分后的方差，再与0.56比较大小。
【解析】
(1) 甲的得分排序后，中位数为9；乙的方差：$\frac{1}{5}×[(7-8.8)^2+3×(9-8.8)^2+(10-8.8)^2]=0.96$；丙的加权平均数：$10×40\%+8×60\%=8.8$。
(2) 三位选手的平均数相同，甲的方差最小，数据稳定性最好，因此选甲更合适。
(3) 去掉甲的一个最高分和一个最低分后，余下分数为8、9、9，平均数为$\frac{1}{3}×(8+9+9)=\frac{26}{3}$，方差$s^2=\frac{1}{3}×[(8-\frac{26}{3})^2+2×(9-\frac{26}{3})^2]=\frac{2}{9}≈0.22＜0.56$，故填“＜”。
【答案】
(1)9；0.96；8.8 (2)选甲，理由：三位选手平均数相同，甲的方差最小，稳定性最好 (3)＜
【知识点】
中位数、方差、平均数
【点评】
本题考查统计基本量的计算及实际应用，需熟练掌握各统计量的计算方法，能利用统计结果做出合理决策，难度适中。
【难度系数】
0.7
