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1. (教材习题变式)(2025·泸州)某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试,每人10 次跳绳成绩的平均数(单位:个)及方差(单位:个$^{2}$)如下表所示.
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛,应选择 （
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1. B 解析:由表可知,乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙,所以乙、丁两名同学的成绩好,又因为乙跳绳成绩的方差小于丁,所以乙同学成绩好且发挥稳定.
解析
【分析】要选择成绩好且发挥稳定的同学，需明确：成绩好坏由平均数决定，平均数越大成绩越好；发挥稳定性由方差决定，方差越小成绩波动越小、越稳定。因此需先比较四人的平均数，选出成绩好的，再在其中比较方差，选出稳定的。
【解析】首先比较四人的平均数：甲为205，乙为217，丙为208，丁为217，可知乙和丁的平均数最大，成绩较好；再比较乙和丁的方差：乙的方差是4.6，丁的方差是9.6，乙的方差更小，说明乙的成绩更稳定。因此应选择乙同学。
【答案】B
【知识点】平均数的意义、方差的意义
【点评】本题考查统计量的实际应用，核心是理解平均数反映平均水平、方差反映波动程度，属于基础应用题型，需准确掌握两个统计量的作用。
【难度系数】0.2
【解析】首先比较四人的平均数：甲为205，乙为217，丙为208，丁为217，可知乙和丁的平均数最大，成绩较好；再比较乙和丁的方差：乙的方差是4.6，丁的方差是9.6，乙的方差更小，说明乙的成绩更稳定。因此应选择乙同学。
【答案】B
【知识点】平均数的意义、方差的意义
【点评】本题考查统计量的实际应用，核心是理解平均数反映平均水平、方差反映波动程度，属于基础应用题型，需准确掌握两个统计量的作用。
【难度系数】0.2
2. 一组数据2,4,7,5,2的离差平方和是（
A.3.6
B.4
C.18
D.20
C
）A.3.6
B.4
C.18
D.20
答案
2. C
解析
【分析】要计算离差平方和，需遵循两个核心步骤：①先求出这组数据的平均数；②计算每个数据与平均数的离差，再将所有离差平方后求和，最终得到离差平方和。
【解析】第一步，计算数据的平均数：$\bar{x} = \frac{2+4+7+5+2}{5} = \frac{20}{5} = 4$；
第二步，计算每个数据的离差平方并求和：
$(2-4)^2 + (4-4)^2 + (7-4)^2 + (5-4)^2 + (2-4)^2 = (-2)^2 + 0^2 + 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 0 + 9 + 1 + 4 = 18$；
因此离差平方和为18，对应选项C。
【答案】C
【知识点】平均数计算、离差平方和
【点评】本题考查统计中离差平方和的基础计算，仅需掌握平均数和离差平方和的定义，步骤清晰明确，属于基础题型，适合巩固统计基本概念。
【难度系数】0.8
【解析】第一步，计算数据的平均数：$\bar{x} = \frac{2+4+7+5+2}{5} = \frac{20}{5} = 4$；
第二步，计算每个数据的离差平方并求和：
$(2-4)^2 + (4-4)^2 + (7-4)^2 + (5-4)^2 + (2-4)^2 = (-2)^2 + 0^2 + 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 0 + 9 + 1 + 4 = 18$；
因此离差平方和为18，对应选项C。
【答案】C
【知识点】平均数计算、离差平方和
【点评】本题考查统计中离差平方和的基础计算，仅需掌握平均数和离差平方和的定义，步骤清晰明确，属于基础题型，适合巩固统计基本概念。
【难度系数】0.8
3. (2024·宜宾)某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间(单位：min)：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80. 对这组数据判断正确的是（
A.方差为0
B.众数为75
C.中位数为77.5
D.平均数为75
B
）A.方差为0
B.众数为75
C.中位数为77.5
D.平均数为75
答案
3. B 解析:这组数据的平均数为$\frac{1}{10}×(65+67+75+65+75+80+75+88+78+80)=74.8$;将数据从小到大排序为65,65,67,75,75,75,78,80,80,88,
∴中位数为$\frac{75+75}{2}=75$;众数为75;这组数据的方差为$\frac{1}{10}×[(65-74.8)^2×2+(67-74.8)^2+(75-74.8)^2×3+(78-74.8)^2+(80-74.8)^2×2+(88-74.8)^2]=49.16$.综上所述,只有B选项正确.
∴中位数为$\frac{75+75}{2}=75$;众数为75;这组数据的方差为$\frac{1}{10}×[(65-74.8)^2×2+(67-74.8)^2+(75-74.8)^2×3+(78-74.8)^2+(80-74.8)^2×2+(88-74.8)^2]=49.16$.综上所述,只有B选项正确.
解析
【分析】
本题需通过计算给定数据的众数、中位数、平均数、方差，逐一判断选项正误。首先将数据排序，再依据各统计量的定义分别计算，最后对比选项得出正确结论。
【解析】
1. 数据排序：将10个数据从小到大排列为：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88；
2. 众数计算：众数是出现次数最多的数，75出现3次，次数最多，故众数为75；
3. 中位数计算：10个数据的中位数为排序后第5、6个数据的平均数，即$\frac{75+75}{2}=75$；
4. 平均数计算：总和为$65+65+67+75+75+75+78+80+80+88=748$，平均数为$\frac{748}{10}=74.8$；
5. 方差计算：代入方差公式得$\frac{1}{10}×[(65-74.8)^2×2+(67-74.8)^2+(75-74.8)^2×3+(78-74.8)^2+(80-74.8)^2×2+(88-74.8)^2]=49.16$；
6. 选项判断：A选项方差为0（错误，实际为49.16），B选项众数为75（正确），C选项中位数为77.5（错误，实际为75），D选项平均数为75（错误，实际为74.8），故正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
众数、中位数、平均数
【点评】
本题考查统计量的基本计算，需熟练掌握各统计量的定义，计算时需仔细核对数据，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题需通过计算给定数据的众数、中位数、平均数、方差，逐一判断选项正误。首先将数据排序，再依据各统计量的定义分别计算，最后对比选项得出正确结论。
【解析】
1. 数据排序：将10个数据从小到大排列为：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88；
2. 众数计算：众数是出现次数最多的数，75出现3次，次数最多，故众数为75；
3. 中位数计算：10个数据的中位数为排序后第5、6个数据的平均数，即$\frac{75+75}{2}=75$；
4. 平均数计算：总和为$65+65+67+75+75+75+78+80+80+88=748$，平均数为$\frac{748}{10}=74.8$；
5. 方差计算：代入方差公式得$\frac{1}{10}×[(65-74.8)^2×2+(67-74.8)^2+(75-74.8)^2×3+(78-74.8)^2+(80-74.8)^2×2+(88-74.8)^2]=49.16$；
6. 选项判断：A选项方差为0（错误，实际为49.16），B选项众数为75（正确），C选项中位数为77.5（错误，实际为75），D选项平均数为75（错误，实际为74.8），故正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
众数、中位数、平均数
【点评】
本题考查统计量的基本计算，需熟练掌握各统计量的定义，计算时需仔细核对数据，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 对数据进行分组时，若遵循“组内离差平方和最小”原则，其目的是 （
A.使组内数据差异最大
B.使组内数据差异最小
C.使组间数据差异最大
D.使组间数据差异最小
B
）A.使组内数据差异最大
B.使组内数据差异最小
C.使组间数据差异最大
D.使组间数据差异最小
答案
4. B
解析
【分析】
要解答本题，需先明确“组内离差平方和”的统计含义：它是衡量同一组内数据与组均值偏差程度的指标，数值大小直接反映组内数据的差异程度。题目要求判断遵循“组内离差平方和最小”原则的目的，需结合该指标的意义分析选项。
【解析】
组内离差平方和越小，说明同一组内各数据与组均值的偏差越小，即组内数据的差异越小。该原则的核心是让组内数据尽可能集中，因此其目的是使组内数据差异最小，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
统计分组、离差平方和
【点评】
本题考查统计分组的基础原则，核心是理解组内离差平方和的意义，区分组内与组间差异的逻辑，属于概念识记类题目，难度较低。
【难度系数】
0.3
要解答本题，需先明确“组内离差平方和”的统计含义：它是衡量同一组内数据与组均值偏差程度的指标，数值大小直接反映组内数据的差异程度。题目要求判断遵循“组内离差平方和最小”原则的目的，需结合该指标的意义分析选项。
【解析】
组内离差平方和越小，说明同一组内各数据与组均值的偏差越小，即组内数据的差异越小。该原则的核心是让组内数据尽可能集中，因此其目的是使组内数据差异最小，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
统计分组、离差平方和
【点评】
本题考查统计分组的基础原则，核心是理解组内离差平方和的意义，区分组内与组间差异的逻辑，属于概念识记类题目，难度较低。
【难度系数】
0.3
5. 在对某样本进行方差计算时,计算的公式是$s^{2}=\frac{1}{10}[(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+···+(x_{10}-3)^{2}],$则该样本的样本容量是
10
.答案
5. 10
解析
【分析】要确定样本容量，需回忆方差计算公式的结构：样本方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+…+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$\overline{x}$是样本平均数。题目给出的方差公式中，分母的数值和求和项的项数都对应样本容量，据此可直接得出结果。
【解析】根据方差公式的定义，公式中分母的数值、求和项的个数均为样本容量$n$。本题的方差公式为$s^2=\frac{1}{10}[(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+···+(x_{10}-3)^{2}]$，分母为10，求和项共10个，因此样本容量是10。
【答案】10
【知识点】方差、样本容量
【点评】本题考查方差公式的基本概念，属于基础题，只要明确方差公式中各部分的含义即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据方差公式的定义，公式中分母的数值、求和项的个数均为样本容量$n$。本题的方差公式为$s^2=\frac{1}{10}[(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+···+(x_{10}-3)^{2}]$，分母为10，求和项共10个，因此样本容量是10。
【答案】10
【知识点】方差、样本容量
【点评】本题考查方差公式的基本概念，属于基础题，只要明确方差公式中各部分的含义即可快速解答。
【难度系数】0.9
6. 若一组数据 2,4,x,5,6 的平均数为 4 , 则这组数据的方差为
2
.答案
6. 2 解析:
∵一组数据 2,4,x,5,6 的平均数为 4,
∴$x=4×5-2-4-5-6=3$,
∴$s^2=\frac{1}{5}×[(2-4)^2+(4-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2$.
∵一组数据 2,4,x,5,6 的平均数为 4,
∴$x=4×5-2-4-5-6=3$,
∴$s^2=\frac{1}{5}×[(2-4)^2+(4-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=2$.
解析
【分析】首先根据平均数的定义，利用已知的平均数求出未知数据$x$的值；再依据方差的计算公式，代入数据计算得到结果，解题关键是牢记平均数和方差的公式。
【解析】根据平均数公式：$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)$，已知数据$2,4,x,5,6$的平均数为$4$，数据个数$n=5$，则总和为$4×5=20$，因此$x=20 - (2+4+5+6)=3$。再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：$s^2=\frac{1}{5}×[(2-4)^2+(4-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=\frac{1}{5}×(4+0+1+1+4)=2$。
【答案】2
【知识点】平均数计算、方差计算
【点评】本题考查平均数与方差的基础计算，属于常规题型，只要掌握公式即可顺利求解，注重基础公式的应用。
【难度系数】0.8
【解析】根据平均数公式：$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+...+x_n)$，已知数据$2,4,x,5,6$的平均数为$4$，数据个数$n=5$，则总和为$4×5=20$，因此$x=20 - (2+4+5+6)=3$。再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：$s^2=\frac{1}{5}×[(2-4)^2+(4-4)^2+(3-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=\frac{1}{5}×(4+0+1+1+4)=2$。
【答案】2
【知识点】平均数计算、方差计算
【点评】本题考查平均数与方差的基础计算，属于常规题型，只要掌握公式即可顺利求解，注重基础公式的应用。
【难度系数】0.8
7. 一组数据 10,13,16,19 的方差与另一组数据 2,5,8,11 的方差
相等
.(填“相等”或“不相等”)答案
7. 相等 解析:10,13,16,19 的平均数为$\frac{1}{4}×(10+13+16+19)=14.5$,方差为$\frac{1}{4}×[(10-14.5)^2+(13-14.5)^2+(16-14.5)^2+(19-14.5)^2]=11.25$;2,5,8,11 的平均数为$\frac{1}{4}×(2+5+8+11)=6.5$,方差为$\frac{1}{4}×[(2-6.5)^2+(5-6.5)^2+(8-6.5)^2+(11-6.5)^2]=11.25$,
∴两组数据的方差相等.
∴两组数据的方差相等.
解析
【分析】
要判断两组数据的方差是否相等，需先分别计算两组数据的方差。计算方差的核心步骤是：先求每组数据的平均数，再代入方差公式计算，最后比较结果；也可利用方差的性质（一组数据各数据加减同一个常数，方差不变）快速判断。
【解析】
1. 计算第一组数据（10,13,16,19）的平均数：
$\bar{x_1}=\frac{1}{4}×(10+13+16+19)=14.5$
2. 计算第一组数据的方差：
$s_1^2=\frac{1}{4}×[(10-14.5)^2+(13-14.5)^2+(16-14.5)^2+(19-14.5)^2]=\frac{1}{4}×(20.25+2.25+2.25+20.25)=11.25$
3. 计算第二组数据（2,5,8,11）的平均数：
$\bar{x_2}=\frac{1}{4}×(2+5+8+11)=6.5$
4. 计算第二组数据的方差：
$s_2^2=\frac{1}{4}×[(2-6.5)^2+(5-6.5)^2+(8-6.5)^2+(11-6.5)^2]=\frac{1}{4}×(20.25+2.25+2.25+20.25)=11.25$
5. 比较方差：$s_1^2=s_2^2$，故两组数据方差相等。
【答案】
相等
【知识点】
方差的计算、平均数的计算
【点评】
本题考查方差的计算，既可以通过常规步骤计算两组数据的方差后比较，也可利用“数据平移后方差不变”的性质快速判断，是统计模块的基础题型，侧重考查对方差概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8
要判断两组数据的方差是否相等，需先分别计算两组数据的方差。计算方差的核心步骤是：先求每组数据的平均数，再代入方差公式计算，最后比较结果；也可利用方差的性质（一组数据各数据加减同一个常数，方差不变）快速判断。
【解析】
1. 计算第一组数据（10,13,16,19）的平均数：
$\bar{x_1}=\frac{1}{4}×(10+13+16+19)=14.5$
2. 计算第一组数据的方差：
$s_1^2=\frac{1}{4}×[(10-14.5)^2+(13-14.5)^2+(16-14.5)^2+(19-14.5)^2]=\frac{1}{4}×(20.25+2.25+2.25+20.25)=11.25$
3. 计算第二组数据（2,5,8,11）的平均数：
$\bar{x_2}=\frac{1}{4}×(2+5+8+11)=6.5$
4. 计算第二组数据的方差：
$s_2^2=\frac{1}{4}×[(2-6.5)^2+(5-6.5)^2+(8-6.5)^2+(11-6.5)^2]=\frac{1}{4}×(20.25+2.25+2.25+20.25)=11.25$
5. 比较方差：$s_1^2=s_2^2$，故两组数据方差相等。
【答案】
相等
【知识点】
方差的计算、平均数的计算
【点评】
本题考查方差的计算，既可以通过常规步骤计算两组数据的方差后比较，也可利用“数据平移后方差不变”的性质快速判断，是统计模块的基础题型，侧重考查对方差概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8
8. 某社区开展“垃圾分类小卫士”积分活动,某志愿小组6月份记录的8次积分数据如下(单位:分):79,97,84,100,88,92,89,91.将这组数据分成两组:
第一组:79,84,88,89;第二组:97,100,92,91.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和及组间离差平方和.
第一组:79,84,88,89;第二组:97,100,92,91.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和及组间离差平方和.
答案
8. 第一组数据的平均数为$(79+84+88+89)÷4=85$,第二组数据的平均数为$(97+100+92+91)÷4=95$,所以组内离差平方和为$(79-85)^2+(84-85)^2+(88-85)^2+(89-85)^2+(97-95)^2+(100-95)^2+(92-95)^2+(91-95)^2=116$.分组前数据的平均数为$\frac{1}{8}×(79+84+88+89+97+100+92+91)=90$,所以组间离差平方和为$4×(85-90)^2+4×(95-90)^2=200$.
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确组内离差平方和、组间离差平方和的计算规则：①组内离差平方和是每组内各数据与该组平均数的差的平方之和，因此需先分别计算第一组、第二组数据的平均数；②组间离差平方和是每组数据个数乘以（该组平均数与总平均数的差）的平方之和，因此还需计算所有数据的总平均数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 计算第一组数据的平均数：$\bar{x_1}=(79+84+88+89)÷4=85$；
2. 计算第二组数据的平均数：$\bar{x_2}=(97+100+92+91)÷4=95$；
3. 计算组内离差平方和：
第一组内各数据与本组平均数的差的平方和：$(79-85)^2+(84-85)^2+(88-85)^2+(89-85)^2=36+1+9+16=62$；
第二组内各数据与本组平均数的差的平方和：$(97-95)^2+(100-95)^2+(92-95)^2+(91-95)^2=4+25+9+16=54$；
组内离差平方和=$62+54=116$；
4. 计算所有数据的总平均数：$\bar{x}=\frac{1}{8}×(79+84+88+89+97+100+92+91)=90$；
5. 计算组间离差平方和：每组有4个数据，因此组间离差平方和=$4×(85-90)^2+4×(95-90)^2=4×25+4×25=200$；
【答案】
第一组数据的平均数为$(79+84+88+89)÷4=85$，第二组数据的平均数为$(97+100+92+91)÷4=95$，所以组内离差平方和为$(79-85)^2+(84-85)^2+(88-85)^2+(89-85)^2+(97-95)^2+(100-95)^2+(92-95)^2+(91-95)^2=116$。分组前数据的平均数为$\frac{1}{8}×(79+84+88+89+97+100+92+91)=90$，所以组间离差平方和为$4×(85-90)^2+4×(95-90)^2=200$。
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算
【点评】
本题考查基础统计量的计算，核心是掌握组内、组间离差平方和的定义，计算过程需细心，属于难度较低的统计应用题。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，需先明确组内离差平方和、组间离差平方和的计算规则：①组内离差平方和是每组内各数据与该组平均数的差的平方之和，因此需先分别计算第一组、第二组数据的平均数；②组间离差平方和是每组数据个数乘以（该组平均数与总平均数的差）的平方之和，因此还需计算所有数据的总平均数，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 计算第一组数据的平均数：$\bar{x_1}=(79+84+88+89)÷4=85$；
2. 计算第二组数据的平均数：$\bar{x_2}=(97+100+92+91)÷4=95$；
3. 计算组内离差平方和：
第一组内各数据与本组平均数的差的平方和：$(79-85)^2+(84-85)^2+(88-85)^2+(89-85)^2=36+1+9+16=62$；
第二组内各数据与本组平均数的差的平方和：$(97-95)^2+(100-95)^2+(92-95)^2+(91-95)^2=4+25+9+16=54$；
组内离差平方和=$62+54=116$；
4. 计算所有数据的总平均数：$\bar{x}=\frac{1}{8}×(79+84+88+89+97+100+92+91)=90$；
5. 计算组间离差平方和：每组有4个数据，因此组间离差平方和=$4×(85-90)^2+4×(95-90)^2=4×25+4×25=200$；
【答案】
第一组数据的平均数为$(79+84+88+89)÷4=85$，第二组数据的平均数为$(97+100+92+91)÷4=95$，所以组内离差平方和为$(79-85)^2+(84-85)^2+(88-85)^2+(89-85)^2+(97-95)^2+(100-95)^2+(92-95)^2+(91-95)^2=116$。分组前数据的平均数为$\frac{1}{8}×(79+84+88+89+97+100+92+91)=90$，所以组间离差平方和为$4×(85-90)^2+4×(95-90)^2=200$。
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算
【点评】
本题考查基础统计量的计算，核心是掌握组内、组间离差平方和的定义，计算过程需细心，属于难度较低的统计应用题。
【难度系数】
0.7
