1. 如图,A 是反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$图象上任意一点,B,C 两点在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上.若$AB// x$轴,$AC// y$轴,阴影部分的面积为 4,则$k$的值为（）

A.2
B.3
C.4
D.6

1. D 解析:过点 C 作 $CD ⊥ x$ 轴于点 D,过点 B 作$BE ⊥ x$ 轴于点 E. 因为 $AB// x$ 轴,$AC// y$ 轴,所以易得四边形 ABED 为矩形, $S_{△ OCD}=S_{△ OBE}=\dfrac{k}{2}$. 因为$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OCD}+S_{\mathrm{矩形}ABED}-S_{△ OBE}=S_{\mathrm{矩形}ABED}$,且 $S_{\mathrm{阴影}}=4$,所以 $S_{\mathrm{矩形}ABED}=4$. 设 $A(m,\dfrac{2}{m})$,则 $B(\dfrac{km}{2},\dfrac{2}{m})$,所以 $AB=\dfrac{km}{2}-m$,$AD=\dfrac{2}{m}$. 又 $S_{\mathrm{矩形}ABED}=AB · AD$,所以 $(\dfrac{km}{2}-m)· \dfrac{2}{m}=4$,解得 $k=6$.

2. (2024·江苏镇江改编)在平面直角坐标系中,过点 $A(m,0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与反比例函数
$y=-\dfrac{4}{x}$的图象交于点$B$,将直线$l$绕点$B$逆时针旋转$45°$,所得的直线经过第一、二、四象限,则$m$的取值范围是（）

A.$m＜-2$ 或 $m＞2$
B.$-2＜m＜2$ 且 $m≠0$
C.$-2＜m＜0$ 或 $m＞2$
D.$m＜-2$ 或 $0＜m＜2$

2. C 解析:将直线 $l$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $45°$,所得直线与直线 $y=-x$ 平行,所以可设其函数表达式为$y=-x+b$. 因为 $AB⊥ x$ 轴,$A(m,0)$,点 $B$ 在反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 的图象上,所以 $B(m,-\dfrac{4}{m})$. 又点 $B$ 在直线 $y=-x+b$ 上,所以 $-\dfrac{4}{m}=-m+b$,即 $b=m-\dfrac{4}{m}$,所以 $y=-x+m-\dfrac{4}{m}$. 因为直线 $y=-x+m-\dfrac{4}{m}$经过第一、二、四象限,所以 $m-\dfrac{4}{m}＞0$. 当 $m＜0$ 时,$m^2-4＜0$,解得 $-2＜m＜0$;当 $m＞0$ 时,$m^2-4＞0$,解得 $m＞2$. 综上所述,$m$ 的取值范围是 $-2＜m＜0$ 或$m＞2$.

3. (2025·山东济宁)如图,取直线 $y=-x$ 上一点 $A_1(x_1,y_1)$. ① 过点 $A_1$ 作 $x$ 轴的垂线,交双曲线
$y=\dfrac{1}{x}$ 于点 $A_2(x_2,y_2)$; ② 过点 $A_2$ 作 $y$ 轴的垂线,交直线 $y=-x$ 于点 $A_3(x_3,y_3)······$ 如此循环
进行下去. 按照上面的操作,若点 $A_1$ 的坐标为 $(1,-1)$,则点 $A_{2025}$ 的坐标为.

3. (1,-1) 解析:由题意,得 $A_1(1,-1)$,$A_2(1,1)$,$A_3(-1,1)$,$A_4(-1,-1)$,$A_5(1,-1)$,$A_6(1,1)$,…. 因为 $2\ 025÷ 4=506······1$,所以点 $A_{{2025}}$ 的坐标与点 $A_1$ 的坐标相同,为 $(1,-1)$.

4. 新素养 推理能力 如图,在双曲线$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$与两坐标轴之间的区域$A$内,最多可以水平摆放边长为$\dfrac{1}{2}$的正方形个.

4. 35 解析:对于 $y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$,当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时,$y=6$,且$6÷ \dfrac{1}{2}=12$;当 $x=1$ 时,$y=3$,且 $3÷ \dfrac{1}{2}=6$;当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时,$y=2$,且 $2÷ \dfrac{1}{2}=4$;当 $x=2$ 时,$y=\dfrac{3}{2}$,且 $\dfrac{3}{2}÷ \dfrac{1}{2}=3$;当 $x=\dfrac{5}{2}$ 时,$y=\dfrac{6}{5}$,且 $\dfrac{6}{5}÷ \dfrac{1}{2}=\dfrac{12}{5}$;当 $x=3$ 时,$y=1$,且 $1÷ \dfrac{1}{2}=2$;当 $x=\dfrac{7}{2}$ 时,$y=\dfrac{6}{7}$,且 $\dfrac{6}{7}÷ \dfrac{1}{2}=\dfrac{12}{7}$;当 $x=4$ 时,$y=\dfrac{3}{4}$,且 $\dfrac{3}{4}÷ \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$;当 $x=\dfrac{9}{2}$ 时,$y=\dfrac{2}{3}$,且 $\dfrac{2}{3}÷ \dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{3}$;当 $x=5$ 时,$y=\dfrac{3}{5}$,且$\dfrac{3}{5}÷ \dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{5}$;当 $x=\dfrac{11}{2}$ 时,$y=\dfrac{6}{11}$,且 $\dfrac{6}{11}÷ \dfrac{1}{2}=\dfrac{12}{11}$;当$x=6$ 时,$y=\dfrac{1}{2}$,且 $\dfrac{1}{2}÷ \dfrac{1}{2}=1$. 故最多可以水平摆放边长为 $\dfrac{1}{2}$ 的正方形 $12+6+4+3+2+2+1+1+1+1+1+1=35$(个).

5. 如图,在平面直角坐标系中,$O$是原点,菱形$OABC$的边$OC$在$x$轴负半轴上,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$($x＜0$)的图象经过点$A$和对角线$OB$的中点$M$,作$AN// OB$交$y$轴于点$N$,连接$CM$,$CN$,$MN$.若$△ CMN$的面积为$6$,则$k$的值为.

5. 16 解析:因为四边形 OABC 是菱形,所以其两条对角线互相平分,$AB// OC$. 连接 AM,则 A,M,C 三点共线,M 为 AC 的中点,所以 $S_{△ AMN}=S_{△ CMN}=6$. 设点M 的坐标为 $(x_0,y_0)$,则点 B 的坐标为 $(2x_0,2y_0)$,所以点 A 的纵坐标为 $2y_0$. 又 A,M 两点在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 的图象上,所以 $k=x_0y_0$,所以点 A 的坐标为 $(\dfrac{x_0}{2},2y_0)$. 易得直线 OB 的函数表达式为 $y=\dfrac{y_0}{x_0}x$. 因为 $AN// OB$,所以 $S_{△ AON}=S_{△ AMN}=6$,且可设直线 AN 的函数表达式为 $y=\dfrac{y_0}{x_0}x+b$. 把点 $A(\dfrac{x_0}{2},2y_0)$ 代入 $y=\dfrac{y_0}{x_0}x+b$,得 $2y_0=\dfrac{y_0}{x_0}· \dfrac{x_0}{2}+b$,解得 $b=\dfrac{3}{2}y_0$,所以直线 AN 的函数表达式为 $y=\dfrac{y_0}{x_0}x+\dfrac{3}{2}y_0$. 对于 $y=\dfrac{y_0}{x_0}x+\dfrac{3}{2}y_0$,令 $x=0$,得 $y=\dfrac{3}{2}y_0$,则$ON=-\dfrac{3}{2}y_0$,所以 $\dfrac{1}{2}× (-\dfrac{3}{2}y_0)× (-\dfrac{x_0}{2})=6$,即$x_0y_0=16$,所以 $k=16$.

6. 如图,直线 $y=\dfrac{1}{3}x$ 与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 交于 $A,B$ 两点,直线 $BC$ 经过点 $B$,与双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 交于另一点 $C,∠ ABC=45°$,连接 $AC$. 若 $△ ABC$ 的面积是 35,求 $k$ 的值.

6. 如图,连接 OC,过点 O 作 $OK⊥ AB$,交 BC 于点 K,过A,K 两点分别作 $AM⊥ x$ 轴于点 M,$KT⊥ x$ 轴于点 T,则$∠ OTK=∠ AMO=∠ KOA=90°$. 因为 $∠ ABC=45°$,所以 $∠ OKB=90°-∠ ABC=45°$,即 $∠ OKB=∠ OBK$,所以 $OK=BO$. 又 A,B 两点都在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 上,且直线 AB 经过原点 O,所以 $AO=BO$,所以$OK=AO$. 因为 $∠ OKT+∠ KOT=90°$,$∠ AOM+∠ KOT=180°-∠ KOA=90°$,所以 $∠ OKT=∠ AOM$,所以 $△ OKT≌△ AOM$,所以 $KT=OM$,$OT=AM$. 因为直线 AB 的函数表达式为 $y=\dfrac{1}{3}x$,所以可设点 A 的坐标为 $(x_0,\dfrac{x_0}{3})$,则点 B 的坐标为$(-x_0,-\dfrac{x_0}{3})$,所以 $KT=OM=x_0$,$OT=AM=\dfrac{x_0}{3}$,即点 K 的坐标为 $(-\dfrac{x_0}{3},x_0)$. 易得直线 BC 的函数表达式为 $y=2x+\dfrac{5}{3}x_0$,则可设点 C 的坐标为 $(t,2t+\dfrac{5}{3}x_0)$. 设直线 BC 与 y 轴的交点为 J,则点 J 的坐标为 $(0,\dfrac{5}{3}x_0)$. 因为 $S_{△ ABC}=35$,所以 $S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=\dfrac{35}{2}$,即 $S_{△ BOJ}+S_{△ COJ}=\dfrac{35}{2}$,所以 $\dfrac{1}{2}x_0·\dfrac{5}{3}x_0+\dfrac{1}{2}t·\dfrac{5}{3}x_0=\dfrac{35}{2}$,即 $x_0(x_0+t)=21$. 又 $k=x_0·\dfrac{x_0}{3}=t(2t+\dfrac{5}{3}x_0)$,所以 $(x_0+t)(x_0-6t)=0$. 因为 $x_0+t≠0$,所以 $x_0-6t=0$,即 $t=\dfrac{x_0}{6}$. 把 $t=\dfrac{x_0}{6}$ 代入$x_0(x_0+t)=21$,得 $\dfrac{7}{6}x_0^2=21$,即 $x_0^2=18$,所以 $k=\dfrac{x_0^2}{3}=6$.