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1. 亮点原创 下列图形各边的中点一定能在同一个圆上的是（
A.矩形
B.菱形
C.等腰梯形
D.直角梯形
B
）A.矩形
B.菱形
C.等腰梯形
D.直角梯形
答案
1. B
2. (2025·云南)已知$\odot O$的半径为5 cm.若点$P$在$\odot O$上,则点$P$到圆心$O$的距离为
5
cm.答案
2. 5
3. (教材习题变式) 如图, $B D, C E$ 是 $△ A B C$ 的高,$M$ 为 $B C$ 的中点,求证:点 $B, C, D, E$ 在以点 $M$ 为圆心的同一个圆上.
答案
3. 连接 MD,ME. 因为 BD,CE 是△ABC 的高,所以
∠BDC=∠BEC=90°. 又 M 为 BC 的中点,所以
DM=EM=BM=CM=$\frac{1}{2}$BC,所以点 B,C,D,E 在
以点 M 为圆心的同一个圆上.
∠BDC=∠BEC=90°. 又 M 为 BC 的中点,所以
DM=EM=BM=CM=$\frac{1}{2}$BC,所以点 B,C,D,E 在
以点 M 为圆心的同一个圆上.
4. 如图,点 $A,D,G,M$ 在半圆 $O$ 上,四边形$ABOC$、四边形 $DEOF$ 和四边形 $HMNO$ 均为矩形.若 $BC=a,EF=b,NH=c$,则 $a,b,c$之间的大小关系为（
A.$a＞b＞c$
B.$a=b=c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$
B
）A.$a＞b＞c$
B.$a=b=c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$
答案
4. B 解析:连接 OM,OD,OA. 因为点 A,D,M 在半圆
O 上,所以 OA=OD=OM. 又四边形 ABOC、四边形
DEOF 和四边形 HMNO 均为矩形,所以 OA=BC=
a,OD=EF=b,OM=NH=c,所以 BC=EF=
NH,即 a=b=c.
O 上,所以 OA=OD=OM. 又四边形 ABOC、四边形
DEOF 和四边形 HMNO 均为矩形,所以 OA=BC=
a,OD=EF=b,OM=NH=c,所以 BC=EF=
NH,即 a=b=c.
5. 如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A 的坐标为$(4,3)$,$\odot A$ 的半径为 2. 过点 A 作直线 $a$ 平行于 $x$ 轴,点 $P$ 在直线 $a$ 上运动,则当点 $P$ 在$\odot A$ 上时,点 $P$ 的坐标为
(2,3)或(6,3)
.答案
5. (2,3)或(6,3) 解析:分类讨论如下:① 当点 P 在点
A 左侧时,点 P 的坐标为(2,3);② 当点 P 在点 A 右
侧时,点 P 的坐标为(6,3). 综上所述,点 P 的坐标为
(2,3)或(6,3).
A 左侧时,点 P 的坐标为(2,3);② 当点 P 在点 A 右
侧时,点 P 的坐标为(6,3). 综上所述,点 P 的坐标为
(2,3)或(6,3).
6. 如图,D 为等边三角形ABC 的边BC 的中点，$AB=2$,动点 M 满足$AM ⊥ CM$,连接 BM.
(1) 求证:点 A,D,C,M 在同一个圆上;
(2) 求 BM 长的最大值与最小值.
(1) 求证:点 A,D,C,M 在同一个圆上;
(2) 求 BM 长的最大值与最小值.
答案
6. (1) 取 AC 的中点为 O,连接 AD,OD,OM. 因为
△ABC 为等边三角形,且 D 为 BC 的中点,所以
AD⊥BC,所以 ∠ADC=90°. 又 AM⊥CM,所以
∠AMC=90°,所以 OD=OM=OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,所
以点 A,D,C,M 在同一个圆上.
(2) 连接 OB. 因为△ABC 为等边三角形,所以 AC=
AB=2. 又 O 为 AC 的中点,所以 OM=OA=OC=
$\frac{1}{2}$AC=1,OB⊥AC,所以∠AOB=90°,所以 OB=
$\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{3}$. 因为 OB-OM≤BM≤OB+
OM,所以$\sqrt{3}-1≤BM≤\sqrt{3}+1$,所以 BM 长的最大值
为$\sqrt{3}+1$,最小值为$\sqrt{3}-1$.
△ABC 为等边三角形,且 D 为 BC 的中点,所以
AD⊥BC,所以 ∠ADC=90°. 又 AM⊥CM,所以
∠AMC=90°,所以 OD=OM=OA=OC=$\frac{1}{2}$AC,所
以点 A,D,C,M 在同一个圆上.
(2) 连接 OB. 因为△ABC 为等边三角形,所以 AC=
AB=2. 又 O 为 AC 的中点,所以 OM=OA=OC=
$\frac{1}{2}$AC=1,OB⊥AC,所以∠AOB=90°,所以 OB=
$\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{3}$. 因为 OB-OM≤BM≤OB+
OM,所以$\sqrt{3}-1≤BM≤\sqrt{3}+1$,所以 BM 长的最大值
为$\sqrt{3}+1$,最小值为$\sqrt{3}-1$.
7. 如图,半圆$O$是一个量角器,$△ AOB$为一纸片,$AB$交半圆于点$D$,$OB$交半圆于点$C$.若点$C$,$D$,$A$在量角器上对应读数分别为$40°$,$70°$,$150°$,则$∠ B$的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
A
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
7. A 解析:连接 OD. 由题意,得 ∠EOC=40°,
∠EOD=70°,∠EOA=150°,所以 ∠COD=30°,
∠AOD=80°. 因为点 A,D 都在半圆 O 上,所以
OA=OD,所以 ∠OAD=∠ODA=$\frac{1}{2}$（180°-
∠AOD）=50°,所以∠B=∠ODA-∠COD=20°.
∠EOD=70°,∠EOA=150°,所以 ∠COD=30°,
∠AOD=80°. 因为点 A,D 都在半圆 O 上,所以
OA=OD,所以 ∠OAD=∠ODA=$\frac{1}{2}$（180°-
∠AOD）=50°,所以∠B=∠ODA-∠COD=20°.
8. (2026·江苏南京期末)如图,数轴上半径为1的$\odot O$从原点开始以每秒1个单位长度的速度向右平移,同时,在原点右边距原点7个单位长度处有一点$P$以每秒2个单位长度的速度向左平移,则经过
2或$\frac{8}{3}$
s,点$P$在$\odot O$上.答案
8. 2或$\frac{8}{3}$ 解析:设经过 x s,点 P 在$\odot O$上.分类讨论
如下:① 当点 P 在点 O 右侧时,x+2x=7-1,解得
x=2;② 当点 P 在点 O 左侧时,x+2x=7+1,解得
x=$\frac{8}{3}$.综上所述,经过 2 s 或$\frac{8}{3}$ s,点 P 在$\odot O$上.
如下:① 当点 P 在点 O 右侧时,x+2x=7-1,解得
x=2;② 当点 P 在点 O 左侧时,x+2x=7+1,解得
x=$\frac{8}{3}$.综上所述,经过 2 s 或$\frac{8}{3}$ s,点 P 在$\odot O$上.
