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1. 新素养 几何直观 如图，$AB$是$\odot O$的弦，$OC⊥$$AB$，垂足为$C$，半径$OD// AB$，连接$BD$.若$OC=\dfrac{1}{2}OD$，则$∠ ABD$的度数为 （
A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
D
）A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
答案
1. D
2.（教材习题变式）已知$\odot O$的直径$CD=10$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$，垂足为$M$.若$OM:OC=3:5$，则$AC$的长为
$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$
.答案
2. $2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$ 解析:连接OA. 因为CD=10,所以OA=$OC=OD=\frac{1}{2}CD=5$. 因为OM：OC=3：5,所以OM=3. 因为AB⊥CD,所以∠AMO=∠AMC=90°,
所以$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=4$.分类讨论如下:① 当点M在线段OC上时,CM=OC-OM=2,所以$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=2\sqrt{5}$;② 当点M在线段OD上时,CM=OC+OM=8,所以$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=4\sqrt{5}$.综上所述,AC的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$.
·易错警示·
在解答与圆有关的问题时,若题中没有给出示意图,则需考虑图形是否唯一.
所以$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=4$.分类讨论如下:① 当点M在线段OC上时,CM=OC-OM=2,所以$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=2\sqrt{5}$;② 当点M在线段OD上时,CM=OC+OM=8,所以$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=4\sqrt{5}$.综上所述,AC的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$.
·易错警示·
在解答与圆有关的问题时,若题中没有给出示意图,则需考虑图形是否唯一.
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$∠ A=40^{ \circ }$,以点$C$为圆心,$CB$为半径的圆交$AB$于点$D$,连接$CD$,求$∠ ACD$的度数.
答案
3. 因为∠ACB=90°,∠A=40°,所以∠B=90°-∠A=50°. 因为CB=CD,所以∠CDB=∠B=50°,所以∠ACD=∠CDB-∠A=10°.
4. (2026·江苏苏州期末)如图,AB 是$\odot O$的直径,C 是$\odot O$上一点,连接 AC,BC,过点 C 作$CD ⊥ AB$于点 D,且$CD=4$,$BD=3$,则$\odot O$的周长为（
A.$\dfrac{25π}{3}$
B.$\dfrac{50π}{3}$
C.$\dfrac{625π}{9}$
D.$\dfrac{625π}{36}$
A
）A.$\dfrac{25π}{3}$
B.$\dfrac{50π}{3}$
C.$\dfrac{625π}{9}$
D.$\dfrac{625π}{36}$
答案
4. A 解析:连接OC. 因为CD⊥AB,所以∠ODC=90°.设⊙O的半径为r,则OB=OC=r. 因为BD=3,所以OD=OB-BD=r-3. 因为$OD^2+CD^2=OC^2$,CD=4,所以$(r-3)^2+4^2=r^2$,解得$r=\frac{25}{6}$,所以⊙O的周长为$2πr=\frac{25π}{3}$.
5. 新素养 推理能力 如图,已知扇形$OMN$,矩形$PAOB$的顶点$P$,$A$,$B$分别在$\overset{\frown}{MN}$,$OM$,$ON$上,且点$P$不与点$M$,$N$重合,当点$P$在$\overset{\frown}{MN}$上由点$M$向点$N$运动时,矩形$PAOB$的形状、大小随之变化,则$PA^{2}+PB^{2}$的值（
A.先变大后变小
B.先变小后变大
C.不变
D.逐渐变大
C
）A.先变大后变小
B.先变小后变大
C.不变
D.逐渐变大
答案
5. C 解析:连接OP. 因为四边形PAOB是矩形,所以AB=OP,∠APB=90°,所以$PA^2+PB^2=AB^2=OP^2$. 因为OP的长为定值,所以$PA^2+PB^2$的值不变.
6. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$C$是$BA$延长线上一点,点$D$在$\odot O$上,且$CD=OA$,$CD$的延长线交$\odot O$于点$E$,连接$OE$. 若$∠ C=23°$,则$∠ BOE$的度数为
$69°$
.答案
6. $69°$ 解析:连接OD. 因为OA=OD,CD=OA,所以CD=OD,所以∠DOC=∠C=23°,所以∠ODE=∠DOC+∠C=46°. 因为OD=OE,所以∠OED=∠ODE=46°,所以∠BOE=∠OED+∠C=69°.
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB$为锐角,分别以$AB,AC$为直径画半圆,过点$B,A,C$作$\overset{\frown}{BAC}$.若$AB=4,AC=2$,两个新月形的面积分别为$S_1,S_2$,两个弓形的面积分别为$S_3$,$S_4$,且$S_1-S_2=\frac{π}{4}$,则$S_3-S_4$等于 （
A.$\frac{29π}{4}$
B.$\frac{23π}{4}$
C.$\frac{11π}{4}$
D.$\frac{5π}{4}$
D
）A.$\frac{29π}{4}$
B.$\frac{23π}{4}$
C.$\frac{11π}{4}$
D.$\frac{5π}{4}$
答案
7. D 解析: 因为AB=4,AC=2,所以$S_1+S_3=2π$,$S_2+S_4=\frac{π}{2}$,所以$(S_1+S_3)-(S_2+S_4)=\frac{3π}{2}$,所以$(S_1-S_2)+(S_3-S_4)=\frac{3π}{2}$. 因为$S_1-S_2=\frac{π}{4}$,所以$S_3-S_4=\frac{5π}{4}$.
8. 如图,正方形$ABCD$的四个顶点分别在$\odot O$的半径$OM$,$OP$以及$\overset{\frown}{MP}$上.若$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}$,$∠ POM=45^{ \circ }$,则$AB$的长为
$2$
.答案
8. 2 解析:连接OA. 设正方形ABCD的边长为x,则BC=CD=AB=x,∠ABC=∠BCD=90°,所以∠OCD=180°-∠BCD=90°. 因为∠POM=45°,所以∠ODC=90°-∠POM=45°,所以∠ODC=∠POM,所以OC=CD=x,所以OB=OC+BC=2x,所以$OA=\sqrt{OB^2+AB^2}=\sqrt{5}x$. 因为⊙O的半径为$2\sqrt{5}$,所以$OA=2\sqrt{5}$,所以$\sqrt{5}x=2\sqrt{5}$,解得x=2,所以AB的长为2.
