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1. 若一个三角形的外心在它的内部，则这个三角形一定是（
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
C
）A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
答案
1. C
2. 在如图所示的方格纸中(每个小方格的边长都为1),A,O 是格点(网格线的交点叫作格点).在该方格纸中另外找格点 B,C,使得$△ ABC$的外心为 O,则 BC 的长为 （
A.4
B.5
C.$\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{5}$
D
）A.4
B.5
C.$\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
2. D
3. 新素养 几何直观 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 外接圆的圆心坐标是
(4,6)
.答案
3. (4,6)
4. 如图,在$5 × 7$的网格中,各小正方形的边长均为1,点$O,A,B,C,D,E$均在格点上,$O$是$△ ABC$的外心,在不添加其他字母的情况下,把你认为外心也是$O$的三角形都写出来:
△ABD,△ACD,△BCD
.$(△ ABC 除外)$答案
4. △ABD,△ACD,△BCD
5. (教材习题变式) 已知 $AB=4$，则同一平面内经过 A，B 两点且半径为 3 的圆有
2
个.答案
5. 2 解析:如图，$\odot O_{1},\odot O_{2}$即为满足题意的圆，有2个.
6. 新素养 应用意识 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为了更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1) 请利用直尺和圆规补全该输水管道的圆形截面;(不写作法,保留作图痕迹)
(2) 若该输水管道有水部分的水面宽 $AB=16\ \mathrm{cm}$,水的最大深度为$4\ \mathrm{cm}$,求该管道圆形截面的半径.
(1) 请利用直尺和圆规补全该输水管道的圆形截面;(不写作法,保留作图痕迹)
(2) 若该输水管道有水部分的水面宽 $AB=16\ \mathrm{cm}$,水的最大深度为$4\ \mathrm{cm}$,求该管道圆形截面的半径.
答案
6. (1) 在劣弧 AB 上任取一点 M(不与点 A,B 重合),连接 AM,分别作线段 AM 与线段 AB 的垂直平分线交于点 O,以点 O 为圆心,OB 为半径作 $\odot O$,即为所求.图略.
(2) 设 AB 的垂直平分线分别交劣弧 AB 及线段 AB 于点 C,D,连接 OB,则$∠ ODB=90°,BD=\frac{1}{2}AB$.因为$AB=16\ \mathrm{cm}$,所以$BD=8\ \mathrm{cm}$.设该管道圆形截面的半径为$x\ \mathrm{cm}$,则$OB=OC=x\ \mathrm{cm}$.由题意,得$CD=4\ \mathrm{cm}$,则$OD=OC-CD=(x-4)\mathrm{cm}$. 因为$OD^2+BD^2=OB^2$,所以$(x-4)^2+8^2=x^2$,解得$x=10$.故该管道圆形截面的半径为 10 cm.
(2) 设 AB 的垂直平分线分别交劣弧 AB 及线段 AB 于点 C,D,连接 OB,则$∠ ODB=90°,BD=\frac{1}{2}AB$.因为$AB=16\ \mathrm{cm}$,所以$BD=8\ \mathrm{cm}$.设该管道圆形截面的半径为$x\ \mathrm{cm}$,则$OB=OC=x\ \mathrm{cm}$.由题意,得$CD=4\ \mathrm{cm}$,则$OD=OC-CD=(x-4)\mathrm{cm}$. 因为$OD^2+BD^2=OB^2$,所以$(x-4)^2+8^2=x^2$,解得$x=10$.故该管道圆形截面的半径为 10 cm.
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$EF$垂直平分$AC$,分别交$AB$,$AD$,$AC$于点$E$,$O$,$F$. 若$OA=3$,则$△ ABC$外接圆的面积为（
A.$3π$
B.$4π$
C.$6π$
D.$9π$
D
）A.$3π$
B.$4π$
C.$6π$
D.$9π$
答案
7. D 解析:因为 $AB=AC$,AD 是$△ ABC$ 的角平分线,所以 $AD⊥ BC,BD=CD$,所以 AD 垂直平分 BC.因为 EF 垂直平分 AC,所以 O 是$△ ABC$ 外接圆的圆心. 因为 $OA=3$,所以$△ ABC$ 外接圆的面积为 $π· OA^2=9π$.
8. (2026·江苏无锡期中)如图,$\odot P$经过平面直角坐标系中$A(3,0),B(5,0),C(0,4)$三点,则点$P$的坐标为（
A.$(6,8)$
B.$(4,5)$
C.$(4,\dfrac{31}{8})$
D.$(4,\dfrac{33}{8})$
C
）A.$(6,8)$
B.$(4,5)$
C.$(4,\dfrac{31}{8})$
D.$(4,\dfrac{33}{8})$
答案
8. C 解析:因为$\odot P$ 经过 A,B,C 三点,所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 因为 $A(3,0),B(5,0)$,所以线段 AB 的垂直平分线为直线 $x=4$,所以点 P 的横坐标为 4,所以可设 $P(4,m)$. 因为 $C(0,4)$,所以 $PA^2=(4-3)^2+(m-0)^2=m^2+1,PC^2=(4-0)^2+(m-4)^2=m^2-8m+32$. 因为 $PA=PC$,所以 $PA^2=PC^2$,所以 $m^2+1=m^2-8m+32$,解得 $m=\frac{31}{8}$,所以点 P 的坐标为$(4,\frac{31}{8})$.
