9. 在$△ ABC$中,$AB=AC,BC=6$,$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径为5,则$AB$的长为 （）

A.$\sqrt{10}$
B.$3\sqrt{10}$
C.$3\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$

9. C 解析:过点 A 作 $AE⊥ BC$ 于点 D,交$\odot O$ 于另一点 E,连接 OB,则$∠ ODB=90°$. 因为 $AB=AC$,所以 $BD=CD=\frac{1}{2}BC$,所以 AE 垂直平分 BC,所以 AE 必经过圆心 O. 因为$\odot O$ 的半径为 5,$BC=6$,所以 $OA=OB=5,BD=3$,所以 $OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=4$. 分类讨论如下:① 如图①,当点 O 在$△ ABC$ 内部时,$AD=OA+OD=9$,所以 $AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=3\sqrt{10}$;② 如图②,当点 O 在$△ ABC$ 外部时,$AD=OA-OD=1$. 因为 $∠ ADB=180°-∠ ODB=90°$,所以 $AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{10}$. 综上所述,AB 的长为 $3\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$.

10. 已知直线 $l:y=x-4$,点 $A$ 的坐标为 $(0,2)$,点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$. 设 $P$ 为直线 $l$ 上一动点,则当点 $P$ 的坐标为时,经过 $P$,$A$,$B$ 三点不能作出一个圆.

10. (3,-1) 解析:设直线 AB 的函数表达式为 $y=kx+b$. 因为 $A(0,2),B(2,0)$,所以 $\begin{cases} b=2, \\ 2k+b=0, \end{cases}$解得 $\begin{cases} k=-1, \\ b=2, \end{cases}$所以直线 AB 的函数表达式为 $y=-x+2$. 联立方程组 $\begin{cases} y=-x+2, \\ y=x-4, \end{cases}$解得 $\begin{cases} x=3, \\ y=-1, \end{cases}$所以当点 P 的坐标为(3,-1)时,经过 P,A,B 三点不能作出一个圆.

11. 亮点原创 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足
$a+b^{2}+|c-12|+108=6\sqrt{a-1}+20b$，则
$△ ABC$的外接圆的直径为.

11. $\frac{25}{2}$ 解析:因为 $a+b^2+|c-12|+108=6\sqrt{a-1}+20b$,所以 $(a-1-6\sqrt{a-1}+9)+(b^2-20b+100)+|c-12|=0$,所以 $(\sqrt{a-1}-3)^2+(b-10)^2+|c-12|=0$. 因为 $(\sqrt{a-1}-3)^2\ge0,(b-10)^2\ge0,|c-12|\ge0$,所以 $\sqrt{a-1}-3=0,b-10=0,c-12=0$,解得 $a=10,b=10,c=12$. 不妨设 $AC=BC=10,AB=12$. 如图,过点 C 作 $CD⊥ AB$ 于点 D,则 $∠ ADC=90°,AD=BD=\frac{1}{2}AB=6$,所以 $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=8$,CD 垂直平分 AB,所以$△ ABC$ 的外接圆的圆心 O 在线段 CD 上. 连接 OA. 设$\odot O$ 的半径为 r,则 $OA=OC=r$,所以 $OD=CD-OC=8-r$. 因为 $OD^2+AD^2=OA^2$,所以 $(8-r)^2+6^2=r^2$,解得 $r=\frac{25}{4}$. 故$△ ABC$ 的外接圆的直径为 $\frac{25}{4}×2=\frac{25}{2}$.

12. 如图,$AB=4$,$C$ 为线段 $AB$ 上的一个动点(不与点 $A,B$ 重合),分别以 $AC,BC$ 为边作等边三角形 $ACD$ 和等边三角形 $BCE$,则在点 $C$ 运动的过程中,$△ CDE$ 的外接圆面积的最小值为.

12. $\frac{4π}{3}$ 解析:分别作$∠ CAD,∠ CBE$ 的平分线交于点 O,连接 OC. 因为$△ ACD$ 和$△ BCE$ 都是等边三角形,所以$∠ CAD=∠ CBE=60°$,AO 与 BO 分别为线段 CD,CE 的垂直平分线,所以 O 是$△ CDE$ 的外接圆的圆心,则当 OC 的长最小时,$△ CDE$ 的外接圆的面积最小. 结合题图可知 O 是定点,所以当 $OC⊥ AB$ 时,OC 的长最小,则 $∠ OCA=90°$. 因为 $∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAD=30°,∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBE=30°$,所以 $∠ OAB=∠ OBA$,所以 $OA=OB$,所以 $AC=BC=\frac{1}{2}AB$. 因为 $AB=4$,所以 $AC=2$. 设 $OC=x$,则 $OA=2OC=2x$,所以 $AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{3}x$,所以 $\sqrt{3}x=2$,解得 $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,所以$△ CDE$ 的外接圆面积的最小值为 $π×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=\frac{4π}{3}$.

13. 新趋势 推导探究 如图, AD 既是 $△ ABC$ 的中线, 又是 $△ ABC$ 的角平分线.
(1) 判断 $△ ABC$ 的形状, 并证明你的结论;
(2) 判断直线 AD 是否经过 $△ ABC$ 的外接圆的圆心, 并证明你的结论.

13. (1) $△ ABC$ 是等腰三角形. 证明如下:过点 D 分别作 $DE⊥ AB$ 于点 E,$DF⊥ AC$ 于点 F. 因为 AD 是$△ ABC$ 的角平分线,所以 $DE=DF$. 因为 AD 是$△ ABC$ 的中线,所以 $BD=CD$. 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$所以 $\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF$,所以 $∠ B=∠ C$,所以$△ ABC$ 是等腰三角形.
(2) 直线 AD 经过$△ ABC$ 的外接圆的圆心. 证明如下:因为$△ ABC$ 是等腰三角形,AD 是中线,所以 $AD⊥ BC$,所以 AD 垂直平分 BC,所以直线 AD 经过$△ ABC$ 的外接圆的圆心.

14. 如图,在圆的内接四边形$ABCD$中,$∠ BAD=$$60^{ \circ }$,$AB ⊥ BC$,$AB=BC=10$,则$CD$的长为（）


A.$5\sqrt{3}-5$
B.$5$
C.$10$
D.$5\sqrt{3}+5$

14. A 解析:设四边形 ABCD 的外接圆圆心为 O,连接 OA,OB,OC,OD,则 $OA=OB=OC=OD$,所以 $∠ OAB=∠ OBA,∠ OBC=∠ OCB,∠ OAD=∠ ODA,∠ OCD=∠ ODC$. 设 $∠ OAB=∠ OBA=x$,$∠ OCD=∠ ODC=y$. 因为 $∠ BAD=60°$,所以 $∠ ODA=∠ OAD=60°-x$. 因为 $AB⊥ BC$,所以 $∠ ABC=90°$,所以 $∠ OCB=∠ OBC=90°-x$. 因为 $∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ CDA=360°$,所以 $∠ BCD+∠ CDA=210°$,即 $90°-x+y+y+60°-x=210°$,所以 $y-x=30°$,所以 $∠ ADC=90°$,$∠ BCD=120°$. 延长 AD,BC 相交于点 E,则 $∠ CDE=90°$,$∠ DCE=60°$,所以 $∠ E=30°$,所以 $CE=2CD,AE=2AB$. 因为 $AB=BC=10$,所以 $AE=20$,所以 $BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=10\sqrt{3}$,所以 $CE=BE-BC=10\sqrt{3}-10$,所以 $CD=\frac{1}{2}CE=5\sqrt{3}-5$.

15. (2026·江苏常州期末)如图,在平面直角坐标系中,点 A,B,P 的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点 C 在第一象限内,且横、纵坐标均为整数,P 是$△ ABC$的外心,则点 C 的坐标为.

15. (7,4)或(1,4)或(6,5) 解析:如图,以点 P 为圆心,PA 为半径作圆,则符合题意的点 C 有 3 个,坐标分别为(7,4),(1,4),(6,5).

16. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=45°$,$AD$是高.若$BD=3$,$CD=1$,求$AD$的长.

16. 如图,作$△ ABC$ 的外接圆$\odot O$,连接 OA,OB,OC,延长 AO 交$\odot O$ 于点 H,过点 O 分别作 $OE⊥ BC$ 于点 E,$OF⊥ AD$ 于点 F,则 $∠ OED=∠ OFA=∠ OFD=90°$. 因为 AD 是$△ ABC$ 的高,所以 $AD⊥ BC$,所以 $∠ EDF=90°$,所以四边形 OEDF 是矩形,所以 $OE=DF,OF=DE$. 因为 $BD=3,CD=1$,所以 $BC=BD+CD=4$. 因为 $OA=OB=OC$,所以 $BE=CE=\frac{1}{2}BC=2$,$∠ OAB=∠ OBA$,$∠ OAC=∠ OCA$,所以 $∠ BOH=∠ OAB+∠ OBA=2∠ OAB$,$∠ COH=∠ OAC+∠ OCA=2∠ OAC$,所以 $∠ BOC=∠ BOH+∠ COH=2(∠ OAB+∠ OAC)=2∠ BAC$. 因为 $∠ BAC=45°$,所以 $∠ BOC=90°$. 设 $OA=OB=OC=x$,则 $BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{2}x$,所以 $\sqrt{2}x=4$,解得 $x=2\sqrt{2}$,所以 $OA=OB=OC=2\sqrt{2}$,所以 $DF=OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=2$,$OF=DE=CE-CD=1$,所以 $AF=\sqrt{OA^2-OF^2}=\sqrt{7}$,所以 $AD=AF+DF=\sqrt{7}+2$.