登录
6.(真题·杭州上城)一个长方体容器,图①是容器装满水从前面看的样子,水深为 8cm;将容器中的水倒出一部分后倾斜放置,如图②,A,B 的距离为 4cm;如果将容器放平,如图③,此时水深(
6
)cm。答案
6.6 解析:图②空白部分的体积和图③空白部分的体积相等,因为容器宽不变,所以只需考虑空白部分截面就行,图形②空白三角形的底是 4cm,所以图形③空白长方形的宽是 2cm,图③水深 8-2=6(cm)。
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用“水的体积不变”这一条件，结合容器宽度（前后方向长度）固定的特点，得出倾斜放置时空白部分的横截面积与放平后空白部分的横截面积相等，再通过平面图形的面积关系计算空白部分高度，最终求出水深。
【解析】
1. 水的体积始终不变，且容器的宽度（垂直于截面的方向长度）固定，因此图②中空白部分的横截面积与图③中空白部分的横截面积相等。
2. 图②空白部分是直角三角形，面积公式为：$ S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 4 × \mathrm{容器长} $。
3. 图③空白部分是长方形，面积公式为：$ S_{\mathrm{长方形}} = \mathrm{空白高度} × \mathrm{容器长} $。
4. 由于两者横截面积相等，约去容器长后可得：空白高度 $ = \frac{1}{2} × 4 = 2 \, \mathrm{cm} $。
5. 容器总高度为8cm，因此图③的水深为 $ 8 - 2 = 6 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
6
【知识点】
长方体体积、三角形面积、长方形面积
【点评】
本题通过水的体积不变，将立体体积问题转化为平面面积的等量关系，考查了对图形转化的理解，需要灵活运用平面图形面积公式解决实际问题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，核心是利用“水的体积不变”这一条件，结合容器宽度（前后方向长度）固定的特点，得出倾斜放置时空白部分的横截面积与放平后空白部分的横截面积相等，再通过平面图形的面积关系计算空白部分高度，最终求出水深。
【解析】
1. 水的体积始终不变，且容器的宽度（垂直于截面的方向长度）固定，因此图②中空白部分的横截面积与图③中空白部分的横截面积相等。
2. 图②空白部分是直角三角形，面积公式为：$ S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × \mathrm{底} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 4 × \mathrm{容器长} $。
3. 图③空白部分是长方形，面积公式为：$ S_{\mathrm{长方形}} = \mathrm{空白高度} × \mathrm{容器长} $。
4. 由于两者横截面积相等，约去容器长后可得：空白高度 $ = \frac{1}{2} × 4 = 2 \, \mathrm{cm} $。
5. 容器总高度为8cm，因此图③的水深为 $ 8 - 2 = 6 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
6
【知识点】
长方体体积、三角形面积、长方形面积
【点评】
本题通过水的体积不变，将立体体积问题转化为平面面积的等量关系，考查了对图形转化的理解，需要灵活运用平面图形面积公式解决实际问题。
【难度系数】
0.5
7.(真题·台州路桥)如图是用棱长1cm的小正方体拼成的一个大长方体。
(1)如果把大长方体的表面涂上颜色,两面涂色的小正方体有(
(2)如果去掉几个标注了字母的小正方体,从前面、上面看到的形状不变,最多可以去掉(
(3)如果将小正方体A拿走,剩下部分的表面积是(
(1)如果把大长方体的表面涂上颜色,两面涂色的小正方体有(
8
)个。(2)如果去掉几个标注了字母的小正方体,从前面、上面看到的形状不变,最多可以去掉(
3
)个,它们是(A,B,C
)。(3)如果将小正方体A拿走,剩下部分的表面积是(
42
)$\mathrm{c}\mathrm{m}^2$,体积是(17
)$\mathrm{c}\mathrm{m}^3$。答案
7.(1)8
(2)3 A,B,C
(3)42 17
(2)3 A,B,C
(3)42 17
解析
【分析】
本题结合长方体的特征、正方体涂色规律、三视图知识解决三个问题：
1. 两面涂色的小正方体：需明确其位置在长方体棱上（不含顶点），先确定大长方体的长宽高，再计算对应棱上的数量和；
2. 保持前、上视图不变：标注的小正方体在大长方体前表面，需去掉不影响前、上视图的小正方体，确定最多可去掉的数量和具体编号；
3. 拿走A后的表面积和体积：利用长方体表面积公式计算原表面积，结合顶点小正方体的表面积变化特点，以及体积的减法计算结果。
【解析】
(1) 大长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、3cm，长方体共12条棱（4条长、4条宽、4条高）。两面涂色的小正方体位于棱上且非顶点，长和高的棱上每条有3个小正方体，故每条长/高棱上两面涂色的数量为3-2=1个；宽的棱每条仅2个小正方体，均为顶点，无两面涂色的。总数量为：4×1 + 4×1 = 8个。
(2) 标注的小正方体为前表面的A、B、C、D、E、F，共6个。要使前面看到的形状不变，需保留前表面下层的D、E、F；要使上面看到的形状不变，上层仍有其他小正方体，因此最多可去掉前表面上层的A、B、C，共3个。
(3) 原大长方体表面积：根据公式$S=2(ab+ah+bh)$，代入$a=3$、$b=2$、$h=3$，得$S=2×(3×2 + 3×3 + 2×3)=42\ \mathrm{cm}^2$。小正方体A是顶点处的小正方体，拿走A时，减少3个外露面的同时，露出3个相邻面，表面积不变，仍为42$\mathrm{cm}^2$；原小正方体总数为$3×2×3=18$个，拿走1个后体积为$18-1=17\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 8；(2) 3，A、B、C；(3) 42，17
【知识点】
长方体表面积、正方体体积、三视图
【点评】
本题综合考查长方体的特征、表面积与体积计算，以及三视图的应用，需掌握两面涂色小正方体的位置规律，明确顶点小正方体拿走后表面积不变的特点，是中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
本题结合长方体的特征、正方体涂色规律、三视图知识解决三个问题：
1. 两面涂色的小正方体：需明确其位置在长方体棱上（不含顶点），先确定大长方体的长宽高，再计算对应棱上的数量和；
2. 保持前、上视图不变：标注的小正方体在大长方体前表面，需去掉不影响前、上视图的小正方体，确定最多可去掉的数量和具体编号；
3. 拿走A后的表面积和体积：利用长方体表面积公式计算原表面积，结合顶点小正方体的表面积变化特点，以及体积的减法计算结果。
【解析】
(1) 大长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、3cm，长方体共12条棱（4条长、4条宽、4条高）。两面涂色的小正方体位于棱上且非顶点，长和高的棱上每条有3个小正方体，故每条长/高棱上两面涂色的数量为3-2=1个；宽的棱每条仅2个小正方体，均为顶点，无两面涂色的。总数量为：4×1 + 4×1 = 8个。
(2) 标注的小正方体为前表面的A、B、C、D、E、F，共6个。要使前面看到的形状不变，需保留前表面下层的D、E、F；要使上面看到的形状不变，上层仍有其他小正方体，因此最多可去掉前表面上层的A、B、C，共3个。
(3) 原大长方体表面积：根据公式$S=2(ab+ah+bh)$，代入$a=3$、$b=2$、$h=3$，得$S=2×(3×2 + 3×3 + 2×3)=42\ \mathrm{cm}^2$。小正方体A是顶点处的小正方体，拿走A时，减少3个外露面的同时，露出3个相邻面，表面积不变，仍为42$\mathrm{cm}^2$；原小正方体总数为$3×2×3=18$个，拿走1个后体积为$18-1=17\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 8；(2) 3，A、B、C；(3) 42，17
【知识点】
长方体表面积、正方体体积、三视图
【点评】
本题综合考查长方体的特征、表面积与体积计算，以及三视图的应用，需掌握两面涂色小正方体的位置规律，明确顶点小正方体拿走后表面积不变的特点，是中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
1.(真题·温州洞头、龙湾)一个长方体鱼缸,想知道鱼缸可注入多少水,是求这个鱼缸的(
A.容积
B.体积
C.表面积
D.棱长总和
A
)。A.容积
B.体积
C.表面积
D.棱长总和
答案
1.A
解析
【分析】首先明确题目要求是求鱼缸可注入水的量，即容器容纳物体的体积，需先区分各选项对应的数学概念，再匹配题目需求。
【解析】逐一分析选项：A.容积是容器所能容纳物体的体积，鱼缸可注入水的量就是它容纳水的体积，符合题意；B.体积是物体自身所占空间的大小，鱼缸的体积是其材料占据的空间，并非容纳水量，不符合；C.表面积是物体所有面的面积之和，与容纳水量无关，不符合；D.棱长总和是所有棱的长度之和，和水量计算无关，不符合。因此选A。
【答案】A
【知识点】容积的认识、体积与容积的区别
【点评】本题为基础概念辨析题，考查对容积概念的理解，核心是区分容积与体积的不同，属于学生需掌握的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】逐一分析选项：A.容积是容器所能容纳物体的体积，鱼缸可注入水的量就是它容纳水的体积，符合题意；B.体积是物体自身所占空间的大小，鱼缸的体积是其材料占据的空间，并非容纳水量，不符合；C.表面积是物体所有面的面积之和，与容纳水量无关，不符合；D.棱长总和是所有棱的长度之和，和水量计算无关，不符合。因此选A。
【答案】A
【知识点】容积的认识、体积与容积的区别
【点评】本题为基础概念辨析题，考查对容积概念的理解，核心是区分容积与体积的不同，属于学生需掌握的基础题型。
【难度系数】0.8
2.(真题·温州平阳)右边的几何体,从右面看到的图形是(
A.
D
)。A.
答案
2.D
解析
【分析】要确定几何体从右面看到的图形，需明确右视图的观察方向：从几何体的右侧向左侧观察，分层判断上下层的小正方形分布。先明确原几何体结构：左侧有2个上下叠放的小正方体，底层右侧还有2个前后排列的小正方体，据此分析右视图的形状。
【解析】从右面观察该几何体，分层分析：①下层：从右侧看，能看到2个横向排列的小正方形；②上层：从右侧看，仅能看到右侧的1个小正方形。将两层组合后，得到的图形为“底层2个小正方形，上层右侧1个小正方形”，与选项D的图形一致。
【答案】D
【知识点】几何体的右视图、三视图
【点评】本题考查简单组合体的右视图，需要具备基础的空间想象能力，能准确判断从特定方向观察到的平面图形。
【难度系数】0.5
【解析】从右面观察该几何体，分层分析：①下层：从右侧看，能看到2个横向排列的小正方形；②上层：从右侧看，仅能看到右侧的1个小正方形。将两层组合后，得到的图形为“底层2个小正方形，上层右侧1个小正方形”，与选项D的图形一致。
【答案】D
【知识点】几何体的右视图、三视图
【点评】本题考查简单组合体的右视图，需要具备基础的空间想象能力，能准确判断从特定方向观察到的平面图形。
【难度系数】0.5
3.(真题·温州苍南)下面不适合用折线统计图表示的是(
A.某校五年段各班学生数量情况
B.病人的心率变化情况
C.近几年全国旅游人数变化情况
D.纸飞机在空中飞行的高度变化情况
A
)。A.某校五年段各班学生数量情况
B.病人的心率变化情况
C.近几年全国旅游人数变化情况
D.纸飞机在空中飞行的高度变化情况
答案
3.A
解析
【分析】
首先明确折线统计图的核心作用是展示数据的变化趋势，适合反映随时间或其他顺序变化的量；条形统计图的作用是对比不同类别数据的数量多少。再逐一分析选项：A选项是某校五年段各班学生数量，属于不同班级类别的数量统计，重点是比较各班数量的多少，更适合用条形统计图，不适合折线；B选项病人的心率随时间变化，需体现变化情况，适合折线；C选项近几年全国旅游人数随年份变化，要反映增减趋势，适合折线；D选项纸飞机飞行高度随时间变化，适合折线。因此不适合用折线统计图的是A选项。
【解析】
折线统计图的特点是能清晰呈现数据的变化趋势，适用于展示随时间或有序序列变化的数据；条形统计图的特点是便于比较不同类别数据的数量多少。对各选项分析如下：
1. A选项：某校五年段各班学生数量，是不同班级类别的数量统计，侧重数量对比，适合用条形统计图，不适合折线统计图；
2. B选项：病人的心率随时间变化，需体现变化情况，适合用折线统计图；
3. C选项：近几年全国旅游人数随年份变化，要反映变化趋势，适合用折线统计图；
4. D选项：纸飞机在空中飞行的高度随时间变化，适合用折线统计图。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
折线统计图的特点；条形统计图的特点
【点评】
本题考查不同统计图的适用场景，属于统计知识的基础应用，掌握两种统计图的功能区别即可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确折线统计图的核心作用是展示数据的变化趋势，适合反映随时间或其他顺序变化的量；条形统计图的作用是对比不同类别数据的数量多少。再逐一分析选项：A选项是某校五年段各班学生数量，属于不同班级类别的数量统计，重点是比较各班数量的多少，更适合用条形统计图，不适合折线；B选项病人的心率随时间变化，需体现变化情况，适合折线；C选项近几年全国旅游人数随年份变化，要反映增减趋势，适合折线；D选项纸飞机飞行高度随时间变化，适合折线。因此不适合用折线统计图的是A选项。
【解析】
折线统计图的特点是能清晰呈现数据的变化趋势，适用于展示随时间或有序序列变化的数据；条形统计图的特点是便于比较不同类别数据的数量多少。对各选项分析如下：
1. A选项：某校五年段各班学生数量，是不同班级类别的数量统计，侧重数量对比，适合用条形统计图，不适合折线统计图；
2. B选项：病人的心率随时间变化，需体现变化情况，适合用折线统计图；
3. C选项：近几年全国旅游人数随年份变化，要反映变化趋势，适合用折线统计图；
4. D选项：纸飞机在空中飞行的高度随时间变化，适合用折线统计图。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
折线统计图的特点；条形统计图的特点
【点评】
本题考查不同统计图的适用场景，属于统计知识的基础应用，掌握两种统计图的功能区别即可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.7
4.(真题·温州苍南)如图,一个立体图形由若干个小正方体拼成,从上面看是如图的形状,上面的数字
代表这个位置上小正方体的个数。下面图形中,是从这个立体图形左面看到的是(
代表这个位置上小正方体的个数。下面图形中,是从这个立体图形左面看到的是(C
)。答案
4.C
解析
【分析】要确定立体图形的左视图，需明确左视图是从物体的左面观察得到的图形。从上面看的形状中，数字代表对应位置小正方体的个数，从左面观察时，看到的是立体图形前后方向的排列，每一列（对应前后排）的高度是该排所有位置小正方体个数的最大值，据此匹配选项。
【解析】从左面观察该立体图形，可将俯视图分为前后两排：后排（远离观察者的一排）各位置小正方体的最大个数为2，前排（靠近观察者的一排）各位置小正方体的最大个数为3，因此左视图应有两列，左列高度为2，右列高度为3，对应选项C。
【答案】C
【知识点】三视图（左视图）
【点评】本题考查三视图的判断，核心是掌握左视图的观察方向，能根据俯视图的小正方体个数确定左视图的高度，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】从左面观察该立体图形，可将俯视图分为前后两排：后排（远离观察者的一排）各位置小正方体的最大个数为2，前排（靠近观察者的一排）各位置小正方体的最大个数为3，因此左视图应有两列，左列高度为2，右列高度为3，对应选项C。
【答案】C
【知识点】三视图（左视图）
【点评】本题考查三视图的判断，核心是掌握左视图的观察方向，能根据俯视图的小正方体个数确定左视图的高度，属于基础题型。
【难度系数】0.6
